李明明， 王東強， 陳坤旭， 董學(xué)武， 于賀春， 姜海芹

(中原工學(xué)院機電學(xué)院， 鄭州 451191)

鼠籠彈性支承在各類航空發(fā)動機中使用較廣泛，其用途為調(diào)節(jié)航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速從而實現(xiàn)減振[1]。鼠籠剛度對發(fā)動機的性能影響較大，若其剛度達(dá)不到設(shè)計要求則可能引起發(fā)動機產(chǎn)生過大的振動，從而對發(fā)動機造成嚴(yán)重的破壞[2]。鼠籠彈性支承在工作過程中也常會因為過大的集中應(yīng)力而出現(xiàn)疲勞裂紋甚至鼠條斷裂，從而引發(fā)重大事故[3-4]。為了提高發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及其動力學(xué)特性研究的可靠性，對鼠籠結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化從而得到鼠籠剛度準(zhǔn)確值以及最大程度降低鼠籠的最大應(yīng)力是非常有必要的。

目前，中外較多學(xué)者對帶有彈性阻尼支承結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行了大量的理論和實驗研究[5-13]。對于鼠籠彈性支承剛度的研究，多是剛度值的理論計算以及試驗測試。如徐方程等[14]通過試驗和有限元軟件對6個不同結(jié)構(gòu)鼠籠彈性支承的靜剛度分別進行了測試和計算，分析了其靜剛度的影響因素。張萍等[15]提出了一種通過求解鼠籠式彈性支承的第一階固有頻率，從而計算鼠籠式彈性支承剛度的新方法；付才高等[16]發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運轉(zhuǎn)時鼠籠彈性支承受到了重力和不平衡力作用，并推導(dǎo)了傳統(tǒng)的鼠籠彈性支承剛度的計算公式；徐寧[17]采用參數(shù)公式和有限元兩種方法對鼠籠剛度進行了理論分析，并通過試驗得到了剛度隨鼠籠結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，對鼠籠式彈性支承的剛度計算公式進行了修正；彭京徽等[18]通過實驗測試了鼠籠彈性支承的剛度，基于有限元法計算了鼠籠彈性支承的剛度，分析了其影響因素，并考慮了鼠條截面為梯形而非矩形，重新推導(dǎo)了鼠籠彈性支承剛度的計算公式。關(guān)于鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究較少。文獻[3]建立了鼠籠彈性支承剛度優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，基于MATLAB的遺傳算法軟件包進行了優(yōu)化，此方法可大幅度縮短設(shè)計時間，但其精確度完全取決于計算公式的精確性，由于計算公式未考慮鼠條根部圓角等因素，故計算精度較低；文獻[19]基于參數(shù)化建模思想, 提出了分步優(yōu)化設(shè)計方法，運用了有限元優(yōu)化技術(shù)，避開了計算公式帶來的誤差，但鼠籠剛度的設(shè)計精度仍需進一步提高，設(shè)計過程中需多次迭代，設(shè)計時間也仍需進一步縮短。

鑒于此，現(xiàn)提出一種具有高精度和高效率的鼠籠結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法。首先，建立帶有非線性約束的鼠籠結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，基于該模型運用有效集算法對鼠籠結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化；然后，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果建立鼠籠參數(shù)化有限元模型，通過關(guān)聯(lián)性分析，挑選出對鼠籠剛度較敏感的結(jié)構(gòu)參數(shù)，考慮到遺傳算法不易陷入局部最優(yōu)的特點，采用遺傳算法對結(jié)構(gòu)做進一步優(yōu)化。

1 鼠籠彈性支承優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

鼠籠彈性支承用于航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，其安裝時一端固定于機匣軸承座上，一端懸臂，其內(nèi)部放置用于支承轉(zhuǎn)子的軸承，懸臂端機匣內(nèi)常安裝鋼環(huán)，通過鋼環(huán)與懸臂端的間隙可達(dá)到降振效果[16]。鼠籠式彈性支承的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，套筒上呈偶數(shù)分布若干鼠條，通過調(diào)節(jié)鼠條的長度、寬度、厚度以及數(shù)量可以實現(xiàn)鼠籠彈性支承剛度的調(diào)整，由于加工過程需保證兩個加工平面平行，故鼠條的截面為梯形。

b為籠條寬度；h為籠條厚度；L為籠條長度

文獻[3]給出了考慮各籠條截面主彎曲方向與籠條受力方向不平行特點的柔度、疲勞應(yīng)力參數(shù)化計算公式，雖然該公式未考慮鼠籠的梯形截面等因素，但考慮到公式的簡便性，較易建立鼠籠優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，故采用該公式進行初始優(yōu)化，另外考慮到加工裝配的便利性，所有的鼠條寬度之和應(yīng)不大于其周長的一半[19]，公式為

(1)

(2)

(3)

式中：k為鼠籠剛度；σ為鼠籠應(yīng)力；N為籠條數(shù)量；E為鼠籠彈性模量；u為加載時鼠籠變形量；D為軸承外徑。鼠籠優(yōu)化問題為鼠籠彈性支承在滿足剛度要求以及加工要求的條件下，其疲勞應(yīng)力值最小。因此，鼠籠的優(yōu)化目標(biāo)為疲勞應(yīng)力最小，約束條件為剛度要求以及加工要求，建立帶非線性約束的鼠籠彈性支承優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

(4)

x2x4≤πD/2

(5)

s.t.Li≤xi≤Hi,i=1,2,3,4

(6)

(7)

式中：x1為籠條厚度；x2為籠條寬度；x3為籠條長度；x4為籠條數(shù)目；δ為支承剛度的倒數(shù)；Li、Hi分別為設(shè)計變量xi的下限和上限。

2 鼠籠彈性支承優(yōu)化策略

雖然利用有限元優(yōu)化方法進行鼠籠優(yōu)化能提升設(shè)計精度，但直接利用該方法優(yōu)化較費時，為了縮短設(shè)計周期，首先基于建立的數(shù)學(xué)模型進行初始優(yōu)化，考慮到數(shù)學(xué)模型中的非線性約束，選擇優(yōu)化效率較高的有效集算法為優(yōu)化算法，然后再利用workbench優(yōu)化模塊中的遺傳算法完成鼠籠的進一步優(yōu)化。鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程如圖2所示，具體優(yōu)化步驟可概括如下。

圖2 鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程圖Fig.2 Optimization flow chart of squirrel cage elastic support structure

(1)根據(jù)鼠籠的材料，確定彈性模量E、密度ρ和泊松比μ；再根據(jù)鼠籠具體結(jié)構(gòu)以及安裝工況，確定軸承外徑D和懸臂端允許的最大變形量umax；最后根據(jù)工程需要，確定各設(shè)計變量的取值范圍、剛度設(shè)計目標(biāo)值kdesign。

(2)將確定的參數(shù)值代入數(shù)學(xué)模型，運用基于MATLAB的有效集算法工具箱，編寫鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化程序，確定滿足約束的最優(yōu)值。

(3)考慮到加工的便捷性，調(diào)整優(yōu)化結(jié)果數(shù)值，根據(jù)調(diào)整值運用SolidWorks建立鼠籠三維模型，將鼠條的長度、寬度、厚度和數(shù)量進行參數(shù)化。

(4)采用SolidWorks與workbench的聯(lián)合仿真方法求解鼠籠彈性支承剛度以及疲勞應(yīng)力，設(shè)定設(shè)計變量以及優(yōu)化目標(biāo)，運用spearman方法進行設(shè)計變量之間的關(guān)聯(lián)性分析，挑選出比較敏感的設(shè)計變量。

(5)結(jié)合關(guān)聯(lián)性分析結(jié)果，設(shè)定設(shè)計變量取值范圍，給定優(yōu)化目標(biāo)約束，運用遺傳算法進行鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)的進一步優(yōu)化，輸出最優(yōu)結(jié)果。

(6)為便于加工，對最優(yōu)結(jié)果進行調(diào)整，將調(diào)整值作為新設(shè)計變量進行輸入，求解出鼠籠剛度以及疲勞應(yīng)力，并與設(shè)計目標(biāo)進行對比，若滿足精度要求，則輸出設(shè)計變量終止優(yōu)化，若不滿足，則基于此優(yōu)化結(jié)果，重新設(shè)定設(shè)計變量取值范圍，繼續(xù)優(yōu)化直到得出滿意結(jié)果。

3 算例

為了與已有的鼠籠結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法對比，選取與文獻[3]和文獻[19]相同的鼠籠彈性支承材料、設(shè)計變量取值范圍、設(shè)計值。鼠籠彈性支承的材料為40Cr，其彈性模量為210 000 N/mm2，泊松比為μ=0.3，密度為7 900 kg/m3。設(shè)計變量取值范圍為鼠條長度L∈[20,45] mm，鼠條數(shù)量N∈[24,60]，鼠條厚度h∈[3,6] mm，鼠條寬度b∈[3,6] mm。鼠籠剛度設(shè)計值kdesign=16 670N/mm以及允許的最大應(yīng)力值σmax≤[σ]=200 MPa。根據(jù)鼠籠具體結(jié)構(gòu)以及安裝工況，確定軸承外徑D為100 mm，懸臂端允許的最大變形量umax=0.12 mm。

將上述參數(shù)代入數(shù)學(xué)模型中，運用MATLAB工具箱中的非線性優(yōu)化函數(shù)fmincon，選擇有效集算法，根據(jù)數(shù)學(xué)模型編寫優(yōu)化程序，計算得到鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)最終優(yōu)化結(jié)果為h=3.857 1 mm，b=3 mm，L=45 mm，N=52.359 9，考慮到加工的便捷性，選取結(jié)構(gòu)參數(shù)h=4 mm，b=3 mm，L=45 mm，N=52，得到的剛度和應(yīng)力分別為k=17 975 N/mm，σ=186.666 7 MPa，優(yōu)化函數(shù)迭代情況如圖3所示，函數(shù)僅經(jīng)過三次迭代就達(dá)到了比較穩(wěn)定的數(shù)值，優(yōu)化效率較高。

圖3 各代優(yōu)化函數(shù)值Fig.3 Optimization function values of generations

基于優(yōu)化參數(shù)建立鼠籠彈性支承的有限元模型，對鼠條的長度、寬度、厚度和數(shù)量進行參數(shù)化，將參數(shù)化有限元模型導(dǎo)入workbench中進行結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析。綜合考慮計算的效率和精度，模型網(wǎng)格劃分如圖4所示，為了使得鼠籠達(dá)到設(shè)計剛度的同時變形量也達(dá)到最大，總加載力的大小設(shè)置為F=ukdesign=2 000.4 N?？紤]到鼠籠承受載荷時，可以近似認(rèn)為軸承外圈下表面與鼠籠內(nèi)表面的接觸面均勻受力，因此在與軸承接觸的鼠籠下表面上每個節(jié)點施加大小和方向相同的力[20]。根據(jù)鼠籠的安裝條件，完全約束鼠籠安裝端螺釘孔的自由度，有限元模型的約束和加載方式如圖5所示。計算得到鼠籠加載變形量以及應(yīng)力如圖6和圖7所示。

圖4 鼠籠有限元網(wǎng)格劃分Fig.4 Squirrel cage finite element mesh division

圖5 有限元模型約束和加載方式Fig.5 Constraint and loading mode of finite element model

圖6 鼠籠加載變形圖Fig.6 Squirrel cage loading deformation diagram

圖7 鼠籠加載應(yīng)力云圖Fig.7 Stress nephogram of squirrel cage loading

根據(jù)有限元計算結(jié)果，得到鼠籠的剛度k=F/u=11 231 N/mm，應(yīng)力值為189.23 MPa，其剛度值與設(shè)計值相差較大，因此需要運用有限元優(yōu)化方法完成進一步優(yōu)化。由于有限元方法不能直接計算出鼠籠剛度值，因此將優(yōu)化過程中的剛度約束條件轉(zhuǎn)化為對鼠籠最大變形量的限制[19]。為了提高優(yōu)化效率，首先采用Spearman法進行設(shè)計參數(shù)關(guān)聯(lián)性分析，從而確定對鼠籠彈性支承最大變形量敏感性較高的設(shè)計參數(shù)，分析得到參數(shù)關(guān)聯(lián)性云圖如圖8所示。

圖8 參數(shù)關(guān)聯(lián)性云圖Fig.8 Parameter correlation nephogram

根據(jù)圖8可知，嚴(yán)重影響鼠籠的最大變形量的設(shè)計參數(shù)為鼠條的厚度h和長度L，厚度對最大變形量的線性關(guān)聯(lián)系數(shù)為-0.6，長度對最大變形量的線性關(guān)聯(lián)系數(shù)為0.6，均高于其他參數(shù)，因此選擇鼠條的厚度和長度作為優(yōu)化變量。根據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)的符號可知，為降低鼠籠最大變形量，應(yīng)增大鼠條厚度和減小鼠條長度，確定設(shè)計參數(shù)的取值范圍為h∈[4,5] mm，L∈[38,43] mm。以鼠籠的最大變形量和最大應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)，為縮短計算時間，設(shè)置樣本數(shù)為10，運用多目標(biāo)遺傳算法對鼠籠結(jié)構(gòu)參數(shù)尋優(yōu)，得到優(yōu)化可行點如圖9所示，其數(shù)值如表1所示。

表1 遺傳算法優(yōu)化結(jié)果

圖9 遺傳算法優(yōu)化可行點Fig.9 Feasible point of genetic algorithm optimization

為方便加工，對優(yōu)化結(jié)果進行調(diào)整，將調(diào)整值作為輸入?yún)?shù)重新進行有限元計算，通過計算結(jié)果的對比，最終確定設(shè)計變量的值為h=4.5 mm，L=41 mm，計算得到鼠籠的最大變形量和最大應(yīng)力如圖10和圖11所示。

圖11 優(yōu)化后鼠籠應(yīng)力云圖Fig.11 Stress nephogram of squirrel cage after optimization

圖10 優(yōu)化后鼠籠變形圖Fig.10 Squirrel cage deformation diagram after optimization

本文優(yōu)化結(jié)果與文獻[3]中遺傳算法和文獻[19]中分步優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)果的對比如表2所示。由表2可知，運用本文優(yōu)化方法得到的鼠籠剛度精度較高，最大應(yīng)力值較小，由于初始優(yōu)化較大程度縮小了有限元優(yōu)化設(shè)計變量的優(yōu)化范圍，因此其迭代次數(shù)較少，故優(yōu)化效率也較高。

表2 3種優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)果對比

4 結(jié)論

提出了一種鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。首先，運用有效集算法對建立的數(shù)學(xué)模型進行鼠籠結(jié)構(gòu)參數(shù)尋優(yōu)，然后基于優(yōu)化結(jié)果，采用有限元優(yōu)化方法對鼠籠結(jié)構(gòu)繼續(xù)優(yōu)化，此方法聯(lián)合了計算公式優(yōu)化方法和有限元優(yōu)化方法。通過算例對鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的過程中，可以得到以下結(jié)論。

(1)基于建立的數(shù)學(xué)模型，運用有效集算法對鼠籠結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，可以在滿足非線性等式以及不等式的約束的同時以較快的速度獲得最優(yōu)結(jié)果，但計算精度較差，運用該方法進行初始優(yōu)化可較大程度縮小設(shè)計參數(shù)優(yōu)化范圍。

(2)基于有效集算法的優(yōu)化結(jié)果，建立參數(shù)化有限元模型，采用參數(shù)關(guān)聯(lián)性分析獲得關(guān)鍵性參數(shù)，運用遺傳算法進行鼠籠結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化。在計算公式優(yōu)化方法的基礎(chǔ)上進行有限元優(yōu)化，可明顯減少優(yōu)化迭代次數(shù)以及提高優(yōu)化精度。

(3)提出的優(yōu)化方法將計算公式優(yōu)化的高效率與有限元優(yōu)化的高精度進行了結(jié)合，具有較大的實用價值，對鼠籠彈性支承的結(jié)構(gòu)設(shè)計方案的篩選具有指導(dǎo)意義，對其他結(jié)構(gòu)的優(yōu)化具有一定的參考意義。