徐昌彪，吳 霞，馬珺杰，莫運輝，何穎輝

(1.重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065；2.重慶郵電大學 光電工程學院，重慶 400065；3.陜西鐵路物流集團有限公司，西安 710076)

0 引 言

平衡點對混沌系統(tǒng)具有重要意義，其性質(zhì)決定了混沌系統(tǒng)的特征[1]。平衡點分為穩(wěn)定平衡點和不穩(wěn)定平衡點，不同類型平衡點對系統(tǒng)的吸引子有重要影響。Leonov和Kuznetsov把系統(tǒng)吸引子分為自激吸引子和隱藏吸引子[2-5]。自激吸引子的吸引域至少包含一個不穩(wěn)定平衡點，而隱藏吸引子的吸引域與任意不穩(wěn)定平衡點的鄰域均不相交[6-9]。值得注意的是，平衡點個數(shù)與系統(tǒng)的階數(shù)沒有實質(zhì)性的聯(lián)系，系統(tǒng)可能只會有1個平衡點或多個平衡點，也可能沒有平衡點。具有穩(wěn)定平衡點、無窮多平衡點或沒有平衡點的混沌系統(tǒng)的吸引子存在隱藏吸引子[10-13]。V. T. Pham認為增加系統(tǒng)平衡點類型可以構(gòu)造出具有更多不同吸引子的混沌系統(tǒng)，這意味著構(gòu)造具有多種平衡點類型的混沌系統(tǒng)可以豐富系統(tǒng)的動力學行為。目前大多數(shù)研究只關(guān)注具有一類平衡點的混沌系統(tǒng)，具有多種平衡點類型的系統(tǒng)討論相對較少[14]。

含多種平衡點類型的混沌系統(tǒng)具有復雜的動力學行為，在混沌密碼學和保密通信等領(lǐng)域[15-16]具有較大應用價值。目前已提出的具有多種平衡點類型的混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)大多比較復雜，通常需要改變狀態(tài)方程中的多個非線性項或參數(shù)值才能獲得多種類型的平衡點。文獻[17]在增加或刪除眾多線性項或非線性項時，使三維系統(tǒng)具有多個平衡點，但平衡點類型較為單一。V. T. Pham等[18]通過改變非線性函數(shù)獲得了具有環(huán)形平衡和無平衡點的混沌系統(tǒng)；Kingni等[19]提出了一個改變多個參數(shù)可以具有3種不同類型平衡點的混沌系統(tǒng)：有線平衡的系統(tǒng)、只有穩(wěn)定平衡點的系統(tǒng)、無平衡點的系統(tǒng)；此外，F(xiàn). Nazarimehr等[20]引入了一個多特征動態(tài)系統(tǒng)，改變多個參數(shù)系統(tǒng)可以出現(xiàn)不同特性：具有無平衡點、一條線平衡點、穩(wěn)定的平衡點，同時存在多穩(wěn)定性現(xiàn)象。表1對已報道的具有多種平衡點類型的三維混沌系統(tǒng)進行了具體說明與對比。上述文獻中，系統(tǒng)獲得多種平衡點類型時，均改變了多個系統(tǒng)參數(shù)或者增刪了系統(tǒng)狀態(tài)方程中的線性項或非線性項，這加大了系統(tǒng)實際應用的難度。

本文基于Lü系統(tǒng)提出了一個新型三維混沌系統(tǒng)。與已有具有多種平衡點類型的混沌系統(tǒng)相比，此系統(tǒng)的重要特性是在給定系統(tǒng)參數(shù)值，且不需要改變系統(tǒng)狀態(tài)方程中的任何非線性項或線性項的情況下，系統(tǒng)具有一個穩(wěn)定平衡點、一個不穩(wěn)定平衡點和線平衡點；系統(tǒng)狀態(tài)方程項數(shù)較少，且只有一個控制參數(shù)。通過詳細的動力學分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)隨機性強，且存在多種吸引子共存現(xiàn)象。

表1具有不同平衡點類型的混沌系統(tǒng)

1 新型混沌系統(tǒng)模型

本文基于Lü[21]系統(tǒng)，構(gòu)建出一個具有多種平衡點類型的三維混沌系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為

(1)

系統(tǒng)中，x,y和z為系統(tǒng)狀態(tài)變量，c為系統(tǒng)參數(shù)。系統(tǒng)的動力學特性依賴于控制參數(shù)c=2.5的變化。當c=2.5，初始狀態(tài)變量(x0,y0,z0)=(1,2,3)時，系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌特性，相軌圖如圖1。

圖1 系統(tǒng)(1)的相軌圖Fig.1 Phase diagram of system(1)

2 系統(tǒng)平衡點及其穩(wěn)定性分析

2.1 系統(tǒng)平衡點

為計算系統(tǒng)平衡點，將系統(tǒng)左側(cè)置0，即

(2)

取參數(shù)c=2.5，可計算出以下平衡點：s0(0,y,0);s1(1.581,1,1.581);s2(-1.581,1,-1.581)。其中，s0是線平衡點，而且平衡點全部落在y軸上。s1，s2分別位于線平衡點的兩側(cè)，如圖2。

2.2 穩(wěn)定性分析

在平衡點(x,y,z)處作線性化處理，可得系統(tǒng)的Jacobian矩陣為

(3)

令det(λE-J)=0，得到其特征方程為

f(λ)=λ3+A2λ2+A1λ+A0

(4)

(4)式中：

A2=3z2-1.5z,

A1=x4+3x3-2.5z2-4.5z3-6x2yz，

A0=7.5x2z2y-7.5x3z-7.5z4+6x3z3。

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，當且僅當A2>0，A1>0，A0>0，A2A1-A0>0時，平衡點穩(wěn)定。

將平衡點s1(1.581,1,1.581)代入特征方程，有A1<0，A2A1-A0<0，特征根為λ1=-9.362 1，λ2,3=2.117 4±2.350i，可以看出，λ1是正實數(shù)；λ2和λ3是實部為正的共軛復數(shù)。因此，s1是不穩(wěn)定指標2的鞍焦點。指標2的鞍焦平衡點對產(chǎn)生混沌運動來說是十分關(guān)鍵的，一般，指標2的鞍焦平衡點是渦卷運動產(chǎn)生的前提，這也從側(cè)面驗證了系統(tǒng)的混沌特性存在的合理性。

圖2 3類平衡點位置示意圖Fig.2 Positions of 3 kinds of equilibrium points

同理，對于s2(-1.581,1,-1.581)，將其代入特征方程中，可得特征根為λ1,2=-1.1391±3.323 2i；λ3=-7.591 9，可以看出，λ1,2是實部為負數(shù)的共軛復根；λ3是負實數(shù)。因此，s2是一個穩(wěn)定的焦點。圖3為s2穩(wěn)定平衡點附近的相軌圖，可以看出，當初始條件穩(wěn)定在s2平衡點附近時，系統(tǒng)吸引子表現(xiàn)為一個穩(wěn)定點。

圖3 當c=2.5時，初始值在s2平衡點附近的相軌圖Fig.3 Phase diagram of system(1)for c=2.5 and the initial condition s2

3 動力學性質(zhì)

3.1 Lyapunov指數(shù)譜和分維數(shù)

Lyapunov指數(shù)可以表征系統(tǒng)的運動特性，對于混沌系統(tǒng)，至少有一個Lyapunov指數(shù)為正。取初始值(x0,y0,z0)=(1,2,3)，通過MATLAB編程對系統(tǒng)參數(shù)c的不同取值進行計算，繪出系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜，如圖4。隨著c在[1,3]變化，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)也相應變化：①當1.2≤c≤1.5時，LE1>0，LE2<0，LE3<0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；②當1.5

圖4 Lyapunov指數(shù)譜Fig.4 Lyapunov exponents of the system(1)

Lyapunov維數(shù)可以用來表征混沌吸引子的幾何性質(zhì)。其定義式為

(5)

由上述公式可以計算出c=2.5時，系統(tǒng)維數(shù)為DL=2.013，顯然系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

3.2 分岔圖

隨控制參數(shù)c變化的分岔圖如圖5。從分岔圖可以看出系統(tǒng)通向混沌的道路。明顯地，在1.5

圖5 系統(tǒng)的分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram of system (1)

由上述分析可知，參數(shù)c可以控制系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)或者周期狀態(tài)。通過參數(shù)c的取值變化，系統(tǒng)復雜動態(tài)行為的控制變得更加簡便。

3.3 復雜性分析

混沌系統(tǒng)復雜度是采用相關(guān)算法衡量混沌序列接近隨機序列的程度。復雜度值越大，序列越接近隨機序列，相應的通信安全性能也就越高[22]?；煦缧蛄械膹碗s度可分為行為復雜度和結(jié)構(gòu)復雜度。行為復雜度是指從混沌序列本身出發(fā)，利用一定方法度量短時間窗口內(nèi)序列產(chǎn)生新模式概率的大小，產(chǎn)生新模式概率越大則序列越復雜。結(jié)構(gòu)復雜度是指通過變換域內(nèi)的頻率特性、能量譜特性等來分析序列的復雜程度，序列變換與內(nèi)能量分布越均衡，表示序列越接近隨機信號，序列復雜性越大。結(jié)構(gòu)復雜度對變換域能量特征進行分析，針對的是序列全部而不是局部，因而與行為復雜度算法相比，其結(jié)果具有全局統(tǒng)計意義[16]。

本文采用譜熵(spectral entropy,SE)算法[23]和C0算法[24]對該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜度進行分析。譜熵復雜度采用傅里葉變換，通過傅里葉變換域內(nèi)能量分布，結(jié)合香農(nóng)熵得出相應譜熵值。C0復雜度主要計算思想是將序列分解成規(guī)則和不規(guī)則成分，其測度值為序列中非規(guī)則成分所占的比例。取初始值(1,2,3)，繪出隨參數(shù)c變化的SE復雜度曲線圖和C0復雜度曲線圖，如圖6。分析SE復雜度曲線圖和C0復雜度曲線圖，可以看出其與Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖具有一致性。當1.2≤c≤1.5時，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，復雜度較低；當1.6

圖6 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)復雜度Fig.6 Structural complexity of system

3.4 吸引子共存現(xiàn)象

對于固定的系統(tǒng)參數(shù)，共存吸引子是各種非線性耗散系統(tǒng)固有的特征[25]，是一種典型的與初始條件相關(guān)的非線性現(xiàn)象。具有2個以上吸引子的系統(tǒng)稱為多穩(wěn)定系統(tǒng)。不同類型的吸引子可以共存，如點吸引子、混沌吸引子、周期吸引子等共存[26-27]。

通過詳細的數(shù)值分析和仿真，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在參數(shù)c取不同值時，存在多種不同吸引子共存的現(xiàn)象，例如混沌吸引子、周期吸引子與點吸引子共存，不同的周期吸引子共存以及周期吸引子和穩(wěn)定吸引子共存。表2給出了不同初始值相對應的吸引子類型。具體的吸引子如圖7—圖9。

表2 不同初始值與吸引子對照表

圖7 當c=1.3時的吸引子Fig.7 Phase diagram of system for c=1.3

圖8 當c=1.15的吸引子Fig.8 Phase diagram of system for c=1.3

圖9 當c=2.5的吸引子Fig.9 Phase diagram of system for c=2.5

4 電路設計與仿真

4.1 基于Multisim的模擬電路設計與仿真

本文設計了系統(tǒng)的模擬電子電路，利用Multisim軟件進行了仿真。電路圖如圖10，其中有3個加法器(U1A-U3A)，2個反相器(U7A，U8A)；以及3個積分器(U4A-U6A)，其對應輸出為x,y,z。

根據(jù)圖10很容易推導出電路方程如(6)式。

(6)

圖11是電路仿真圖的在示波器的輸出結(jié)果，可以看到，所設計的電路實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果完全相符顯示，也表明了該電路能夠模擬系統(tǒng)的理論模型，進一步驗證了系統(tǒng)的混沌行為。

4.2 基于FPGA的數(shù)字電路設計與仿真

本節(jié)采用4階龍格-庫塔(Rugge-Kutta)算法對系統(tǒng)進行離散化處理，得到解如(7)式。

(7)

(7)式中各遞歸參數(shù)表示為(8)—(11)式。

圖10 系統(tǒng)的電路原理圖Fig.10 Circuit schematic diagram of system

圖11 系統(tǒng)電路仿真結(jié)果Fig.11 Circuit schematic diagram of system

(8)

(9)

(10)

(11)

(8)—(11)式中，c=2.5，迭代步長T=0.001。全編譯后的XilinxRTL原理圖如圖12。FPGA電路仿真的硬件實驗效果圖如圖13。選取初始值(x,y,z)=(1,2,3)，則可在硬件平臺上觀察相圖如圖14。

圖12 系統(tǒng)Xilinx RTL原理圖Fig.12 Xilinx RTL schematic diagram of the system

圖13 系統(tǒng)FPGA實現(xiàn)Fig.13 System FPGA implementation

5 混沌偽隨機序列發(fā)生器

混沌偽隨機序列是由混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌時間序列量化而得到，由于其具有內(nèi)在隨機性，因而在保密通信領(lǐng)域有廣泛應用。在4.4節(jié)中對系統(tǒng)復雜度進行了分析，已證明該系統(tǒng)具有良好的隨機性。本節(jié)設計了系統(tǒng)相應的偽隨機序列發(fā)生器，采用4階龍格-庫塔(Rugge-Kutta)算法將其離散化，但由于混沌系統(tǒng)的狀態(tài)值是浮點數(shù)，其構(gòu)成的序列不能直接用于保密通信，因而必須將系統(tǒng)的浮點數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制，得到混沌偽隨機序列[28]。利用NIST SP Revla標準的15種測試方法檢驗系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列的隨機性，獲得了序列的P-value。如果計算得到的P-value≥0.01 ，則認為測試的比特序列通過測試，即序列具有隨機性；反之若P-value<0.01，則認為序列是非隨機的。經(jīng)過測試，該系統(tǒng)所產(chǎn)生的序列通過所有測試，測試結(jié)果如表2。

圖14 系統(tǒng)的FPGA電路實驗結(jié)果Fig.14 Experimental results of FPGA circuit of the system

6 結(jié) 論

本文提出了一個具有多種類型平衡點的新型三維混沌系統(tǒng)。此系統(tǒng)的重要特性是在給定系統(tǒng)參數(shù)值，且不改變系統(tǒng)狀態(tài)方程中的任何非線性項或線性項的情況下，系統(tǒng)具有3類平衡點：線平衡點、穩(wěn)定平衡點和不穩(wěn)定平衡點。通過相圖、Lyapunov指數(shù)、分岔圖、結(jié)構(gòu)復雜度等分析了系統(tǒng)的動力學性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其具有多穩(wěn)定性和良好的隨機性。

表2 系統(tǒng)的比特序列NIST檢驗結(jié)果