王凌

摘要：在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”第二個(gè)階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要把一些物體看作一個(gè)整體平均分成若干份，知道其中的一份或幾份可以用怎樣的分?jǐn)?shù)表示。這時(shí)，由于整數(shù)視角與分?jǐn)?shù)視角的混用，學(xué)生會(huì)把平均分的份數(shù)與每份的個(gè)數(shù)、整體的個(gè)數(shù)糾纏在一起，從而引發(fā)錯(cuò)誤。對(duì)此，教師在教學(xué)中，不能只關(guān)注整體（單位“1”）和平均分的份數(shù)，同時(shí)也要關(guān)注整體的個(gè)數(shù)和每份的個(gè)數(shù);進(jìn)而，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)同一對(duì)象的兩種表示方式，在比較的過(guò)程中達(dá)成認(rèn)知平衡，即認(rèn)識(shí)率與量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí);整數(shù)視角;分?jǐn)?shù)視角

三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，通常要經(jīng)歷兩個(gè)階段：第一個(gè)階段，把一個(gè)物體或一個(gè)圖形平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示;第二個(gè)階段，把一些物體看作一個(gè)整體平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示。

在多年的聽(tīng)課過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在第二個(gè)階段的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：用24或28表示圖1中的涂色部分。即便教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)平均分的份數(shù)與涂色部分所表示的份數(shù)，這樣的錯(cuò)誤也還是反復(fù)出現(xiàn)。

為什么學(xué)生會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤呢？筆者嘗試基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)做出分析。

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之前，學(xué)生都是用整數(shù)表示生活中物體的個(gè)數(shù)，即表示具體的量的多少的。他們看到2個(gè)蘋果時(shí)會(huì)自動(dòng)想到“2”，看到5個(gè)皮球時(shí)會(huì)自動(dòng)想到“5”。此外，學(xué)生也會(huì)用整數(shù)表示兩種量的倍數(shù)關(guān)系。這時(shí)，他們眼中看到的是兩種量，腦中有著明確的比較意識(shí)，因而，知道所用的整數(shù)與用于表示物體個(gè)數(shù)的整數(shù)在意義上是不同的。通常來(lái)說(shuō)，學(xué)生更擅長(zhǎng)用整數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)。我們不妨稱之為兒童認(rèn)識(shí)世界的整數(shù)視角。

在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”第一階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通常是根據(jù)部分與整體之間的關(guān)系認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的，即通過(guò)比率的倍數(shù)關(guān)系理解分?jǐn)?shù)。比如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材引導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)蛋糕平均分成2份，知道每一份是它的12，這里的12反映的是1份與整體之間的關(guān)系。當(dāng)然，分?jǐn)?shù)也可以表示量，如一個(gè)蛋糕的12就是12個(gè)蛋糕。但是，這像繞口令一樣的描述，并不能讓三年級(jí)學(xué)生區(qū)分出其中的不同，反而會(huì)讓他們愈發(fā)迷茫。因此，教材在這里并不突出分?jǐn)?shù)意義中量的屬性，而是通過(guò)平均分的份數(shù)與要表示的份數(shù)之間的關(guān)系，讓學(xué)生初步理解分?jǐn)?shù)。這樣的安排在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”第一階段的學(xué)習(xí)中，不會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生干擾，因?yàn)檫@一階段學(xué)習(xí)的都是將一個(gè)物體（圖形）平均分成若干份，其中的1份或幾份既是這個(gè)物體（圖形）的幾分之一或幾分之幾，又是幾分之一或幾分之幾個(gè)這個(gè)物體（圖形）。這時(shí)，學(xué)生不需要具體地區(qū)分所寫的分?jǐn)?shù)究竟是表示倍數(shù)關(guān)系的分率還是表示具體的量的數(shù)值，因?yàn)閷懗龅姆謹(jǐn)?shù)是同一個(gè)分?jǐn)?shù)。

但在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”第二階段的學(xué)習(xí)中，情況發(fā)生了變化：表示1份的分?jǐn)?shù)與這1份中物體的個(gè)數(shù)不相等了。比如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材引導(dǎo)學(xué)生把一盤（6個(gè)）桃平均分成2份，知道每一份是這盤桃的12，但學(xué)生同時(shí)也知道每一份有3個(gè)桃。這樣，觀察同樣的對(duì)象就有了不同的視角，會(huì)得到不同的結(jié)果：（1）整數(shù)視角，即6÷2=3（個(gè)）桃;（2）分?jǐn)?shù)視角，即部分與整體之間關(guān)系的視角，也就是把一盤桃平均分成2份，每一份是這盤桃的12。正是同一對(duì)象的兩種觀察視角和觀察結(jié)果，導(dǎo)致學(xué)生的認(rèn)知沖突，進(jìn)而導(dǎo)致上述用分?jǐn)?shù)表示時(shí)的錯(cuò)誤。具體來(lái)說(shuō)，用24表示的原因在于：等分的份數(shù)是4份，1份中有2個(gè)。也就是說(shuō)，觀察1份時(shí)，整數(shù)視角在發(fā)生作用，看到了其中的2個(gè)。用28表示的原因在于：整體中有8個(gè)，1份中有2個(gè)。也就是說(shuō)，觀察整體與觀察1份時(shí)，整數(shù)視角都在發(fā)生作用。可以看出，整數(shù)視角的干擾，讓學(xué)生在用分?jǐn)?shù)表示時(shí)，把平均分的份數(shù)與每份的個(gè)數(shù)、整體的個(gè)數(shù)糾纏在了一起，引發(fā)了錯(cuò)誤。

那么，教師在教學(xué)中如何應(yīng)對(duì)這樣的錯(cuò)誤呢？

從根本上說(shuō)，就是不能只關(guān)注整體（單位“1”）和平均分的份數(shù)，同時(shí)也要關(guān)注整體的個(gè)數(shù)和每份的個(gè)數(shù);進(jìn)而，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)同一對(duì)象的兩種表示方式，在比較的過(guò)程中達(dá)成認(rèn)知平衡，即認(rèn)識(shí)率與量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

具體來(lái)說(shuō)，可以設(shè)計(jì)表1，引導(dǎo)學(xué)生逐步填寫、不斷比較，并重點(diǎn)觀察每份的個(gè)數(shù)與每份表示的分?jǐn)?shù)，從而體會(huì)到雖然平均分后每份的個(gè)數(shù)是客觀存在的，但是用分?jǐn)?shù)表示時(shí)“論份不論個(gè)”，即不管有多少個(gè)桃，只要是1份，就是這盤桃的幾分之一。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊凱.數(shù)學(xué)教學(xué)要克服前攝抑制——《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)嘗試與改進(jìn)[J].教育研究與評(píng)論（課堂觀察），2018（4）.