蔣昌波， 徐進(jìn)， 屈科

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 水利工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114； 2.水沙科學(xué)與水災(zāi)害防治湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410114； 3.洞庭湖水環(huán)境治理與生態(tài)修復(fù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410114)

近年來(lái)，為滿足海洋油氣工程的需要，工程人員設(shè)計(jì)了一種新型的海底管線稱為“子母管線”。其常見(jiàn)的布置是將2條不同直徑的管線平行地捆綁為一個(gè)整體，其中直徑大的母管用于傳輸油氣，直徑小的子管線用來(lái)安裝監(jiān)測(cè)、通信設(shè)施或傳輸置換介質(zhì)[1]。相比傳統(tǒng)的海底管線，這種子母管線不僅更加安全，而且可以節(jié)省大量的工程建設(shè)費(fèi)用，降低時(shí)間成本[2]。子母管線的布置是工程上比較關(guān)心的問(wèn)題[3]，子母管線相對(duì)位置會(huì)直接影響其水動(dòng)力特性。因此對(duì)子母管線的振動(dòng)特性進(jìn)行系統(tǒng)的研究有助于確定合理的子母管線布置，為工程實(shí)踐提供設(shè)計(jì)方案。

國(guó)內(nèi)外的學(xué)者針對(duì)單管線和等直徑雙管線的水動(dòng)力特性開(kāi)展了系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)[4-6]和數(shù)值模擬研究[7-9]，但是對(duì)于不等直徑雙管線的振動(dòng)特性研究較少。早期，學(xué)者們對(duì)子母管線的研究主要針對(duì)空間固定的管線[10]，不考慮子母管線的運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有系統(tǒng)研究子母管線的渦激振動(dòng)特性。然而渦激振動(dòng)是導(dǎo)致海底管道疲勞斷裂的主要原因[1]，因此需要對(duì)子母管線的渦激振動(dòng)特性進(jìn)行研究。Zang等[11-12]采用實(shí)驗(yàn)手段研究不同布置條件下的單自由度子母管線尾渦強(qiáng)度和管線振幅的變化規(guī)律，分析了子母管線的布置對(duì)其渦激振動(dòng)的抑制作用，找到最優(yōu)的子母管線布置方案。但是這些研究只考慮了管線的橫向運(yùn)動(dòng)，忽略了子母管線在流向的振動(dòng)過(guò)程。然而，相比管線的橫向振動(dòng)，流向振動(dòng)對(duì)管線的破壞作用也不可忽略[13]。而且，在子母管線小質(zhì)量比的情況下，管線的橫向運(yùn)動(dòng)和流向運(yùn)動(dòng)存在明顯的耦合效應(yīng)[14]。因此有必要對(duì)子母管線雙自由度渦激振動(dòng)特性進(jìn)行深入研究。

為了彌補(bǔ)現(xiàn)有研究不足，本文采用高精度浸沒(méi)邊界方法的數(shù)值模擬了低雷諾數(shù)下(Re=150)雙自由度子母管線的渦激振動(dòng)現(xiàn)象，對(duì)比單自由度和雙自由度情況下子母管線渦激振動(dòng)特性的區(qū)別，分析不同的管線布置對(duì)雙自由度子母管線振動(dòng)特性和鎖定區(qū)間的影響。

1 數(shù)值方法

1.1 控制方程

對(duì)于流固耦合問(wèn)題，其不可壓縮流的連續(xù)性方程和動(dòng)量方程分別為：

(1)

(2)

式中：ui為笛卡爾坐標(biāo)系下的流速；p為真實(shí)壓強(qiáng)除以密度ρ；雷諾數(shù)Re=UD/υ；U為流體的速度；υ為動(dòng)力粘度；D為特征長(zhǎng)度。

假設(shè)圓柱用彈簧固定，考慮結(jié)構(gòu)阻尼，其運(yùn)動(dòng)控制方程為：

(3)

式中：對(duì)于物體平動(dòng)；M為質(zhì)量；Yi分別為x、y2個(gè)方向上的位移；C為阻尼因子；K為彈簧的勁度系數(shù)；Fi分別為x、y2個(gè)方向上所受到的水流力。

物體與流體交界面上的邊界條件為：

(4)

為了求解式(3)，將其轉(zhuǎn)化成一階常微分方程：

(5)

(6)

1.2 流固耦合求解

式(3)右側(cè)流體作用在物體上的力矢量F是位移Y和流場(chǎng)信息w的函數(shù)，式(3)可以改寫(xiě)成：

(7)

式中:w為包含所有流場(chǎng)變量的向量，即w=(up)T。將式(7)半離散為：

(8)

式中：a和b為常數(shù)(a+b=1，a>0，b>0)，若采用松耦合(顯式)求解，則b=0，若采用強(qiáng)耦合(隱式)求解，則b≠0。本文主要探討松耦合情況：

1)根據(jù)已知物體位置Yn，即物體邊界條件，通過(guò)求解式(2)得到un+1和pn+1；

2)利用n步的位置Yn和n+1步的流場(chǎng)向量wn+1計(jì)算得到物體上受到的力(或力矩)，F(xiàn)=F(Yn,wn+1)；

3)

(9)

(10)

通過(guò)式(9)、(10)離散格式求解式(8)得到Y(jié)n+1，實(shí)現(xiàn)浸沒(méi)邊界方法重要的一步是將網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分為流體、邊界和物體內(nèi)部網(wǎng)格，如圖1所示。物體周?chē)W(wǎng)格節(jié)點(diǎn)作為邊界節(jié)點(diǎn)需要進(jìn)行邊界條件重構(gòu)，邊界外的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為流體，而物體內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)不參與計(jì)算，詳細(xì)的數(shù)值方法參考文獻(xiàn)[15]。

圖1 浸沒(méi)邊界網(wǎng)格劃分Fig.1 The schematic of immersed-boundary grid

1.3 無(wú)量綱化

將式(3)的變量無(wú)量綱化，得到：

(11)

2 模型驗(yàn)證

當(dāng)圓柱的自然頻率與渦脫落頻率一致時(shí)，發(fā)生鎖定現(xiàn)象，此時(shí)圓柱有較大的振幅。為了驗(yàn)證本模型模擬渦激振動(dòng)問(wèn)題的準(zhǔn)確性，采用與文獻(xiàn)[15-16]相同的工況進(jìn)行驗(yàn)證。計(jì)算區(qū)域?yàn)?4D×16D的二維矩形區(qū)域，圓柱距離進(jìn)口和底邊界皆為8D。在圓柱周?chē)?D×3D的矩形區(qū)域中對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行加密，最小網(wǎng)格尺寸為dx=dy=0.02D，計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)為0.008 s。雷諾數(shù)Re和圓柱的質(zhì)量比m*不變分別為150和2，改變圓柱的約化速度Ur，并將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[15-16]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖2展示了最大橫向振幅與約化速度的關(guān)系，圖中的Ay為最大橫向無(wú)因次振幅，Ay=(ymax-ymin)/2D，其中ymax和ymin分別為橫向位移的最大值和最小值。從圖中可以看出本模型的計(jì)算值與文獻(xiàn)[15-16]結(jié)果吻合度高，圓柱的鎖定區(qū)域?yàn)?.5≤Ur≤7.5。通過(guò)驗(yàn)證可以證明本模型能夠準(zhǔn)確地模擬出圓柱渦激振動(dòng)的振幅和鎖定發(fā)生的范圍。

圖2 最大橫向振幅Ay隨約化速度Ur的變化Fig.2 The relationship between the maximum cross-flow amplitude Ay and reduced velocity Ur

3 問(wèn)題描述

如圖3所示，直徑為D的大圓與直徑為d的小圓捆綁在一起組成一個(gè)整體，該整體稱為“子母管線”，同時(shí)擁有x和y方向2個(gè)平動(dòng)自由度，且在x、y方向具有相同的自然頻率。由于子管與母管之間存在剛性連接，因此兩者作為一個(gè)整體同時(shí)運(yùn)動(dòng)。坐標(biāo)原點(diǎn)位于母管圓心處。圖中D為母管直徑、d為子管直徑、G為母管與子管之間的間距，e為母管與床面之間的間隙，θ為母管與子管圓心的連線與x軸負(fù)方向的夾角。為了研究子母管線的布置對(duì)渦激振動(dòng)的影響，設(shè)置母管與子管的間距比G/D為0.2～0.5、母管與床面之間的空隙比e/D的范圍為0.2～1.0、角度θ分別為0°、90°和180°、子母管整體的質(zhì)量比m*分別為1、2和7。子管直徑d=0.5D、雷諾數(shù)Re=150和阻尼系數(shù)ξ=0.01固定不變。具體計(jì)算工況如表1所示。

圖3 子母管線布置Fig.3 The layout of piggyback pipeline

表1 計(jì)算工況表Table 1 The computational case

計(jì)算區(qū)域?yàn)?5D×10D的矩形區(qū)域，母管至進(jìn)口的距離為10D，母管與床底的空隙e是變化的。在子母管線周?chē)?D×4D的區(qū)域?qū)W(wǎng)格進(jìn)行局部加密，最小網(wǎng)格尺寸dx=dy=0.02D，計(jì)算的時(shí)間步長(zhǎng)為0.008 s。

4 結(jié)果分析

4.1 流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)的影響

以m*=1、2、7和Ur=6的工況為例，分析流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)產(chǎn)生的影響。圖4(a)給出了m*=1，Ur=6時(shí)橫向無(wú)因次位移隨時(shí)間變化曲線，圖4中A=y/D，其中y為圓柱瞬時(shí)位移。此時(shí)雙自由度管線的最大橫向振幅和平均振幅分別比單自由度時(shí)大8.1%和14%。除了振幅不同外，雙自由度管線的振動(dòng)頻率也略快于單自由度的情況。圖4(b)展示了m*=2，Ur=6時(shí)橫向無(wú)因次振幅隨時(shí)間變化曲線，與m*=1時(shí)相同，也是雙自由度的管線具有更大的振幅，但是由于質(zhì)量比的增大，其振幅增大的幅度略有減小，雙自由度的管線最大橫向振幅和平均振幅分別比單自由度時(shí)增大7.9%和12%。圖4(c)展示了m*=7，Ur=6時(shí)橫向無(wú)因次位移隨時(shí)間變化曲線，此時(shí)雙自由度與單自由度時(shí)管線的最大橫向振幅和平均振幅的差值均小于1%，且兩者具有相同的振動(dòng)頻率。

4.2 質(zhì)量比對(duì)子母管線渦激振動(dòng)的影響

為了研究質(zhì)量比對(duì)子母管線渦激振動(dòng)的影響，共設(shè)置3個(gè)不同的質(zhì)量比，分別為m*=1、2、7。除了質(zhì)量比外，其余參數(shù)皆不變，即母管和子管的直徑比d/D=0.5、子管相對(duì)于母管的角度θ=90°、間距比G/D=0.5、空隙比e/D=0.5。

圖5(a)展示了不同質(zhì)量比子母管線的橫向最大振幅隨約化速度的變化，從圖中可看出質(zhì)量比越小Ay的最大值越大，鎖定區(qū)間也越寬。當(dāng)m*=1時(shí)，橫向最大振幅出現(xiàn)了2個(gè)峰值，分別在Ur=6和Ur=13處，而m*=2和m*=7時(shí)的最大橫向振幅只有一個(gè)峰。當(dāng)m*=2時(shí)Ay的最大值與m*=1時(shí)的最大值相近，但是其鎖定區(qū)間較m*=1時(shí)有所縮窄。當(dāng)m*=7時(shí)，只在Ur=4和5時(shí)出現(xiàn)較大振幅，鎖定區(qū)間較m*=2時(shí)進(jìn)一步縮窄，此時(shí)Ay的最大值只有m*=1時(shí)的33.4%。圖5(b)展示了不同質(zhì)量比子母管線的最大流向振幅隨約化速度的變化，圖中Ax為最大流向無(wú)因次振幅，Ax=(xmax-xmin)/2D，其中xmax和xmin分別為流向位移的最大值和最小值。從圖中可看出流向振幅與橫向振幅有相同的變化規(guī)律，m*=1時(shí),出現(xiàn)2個(gè)峰值，m*=2,7時(shí),只有一個(gè)峰值。通過(guò)對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，在該組工況下流向振幅相對(duì)于橫向振幅是不可忽略的，m*=1,2,7時(shí),Ax最大值分別為Ay最大值的32.4%、20.4%和20.0%。

圖4 Ur=6時(shí)橫向位移時(shí)程曲線Fig.4 Time history of cross-flow displacement under Ur=6

圖5 不同質(zhì)量比情況下最大振幅隨約化速度的變化Fig.5 The relationship between the maximum amplitude and reduced velocity under different mass ratio

為了研究質(zhì)量比對(duì)管線振動(dòng)頻率和振動(dòng)軌跡的影響，以Ur=5的工況為例。圖6分別展示了Ur=5，m*=1,2,7時(shí)，橫向和流向無(wú)因次位移的譜分析。從圖6(a)看出所有的質(zhì)量比情況下橫向位移的譜只有一個(gè)譜峰，而且質(zhì)量比越小譜峰越高，譜峰頻率越小。圖6(b)中m*=1和7時(shí)的流向位移的譜峰較m*=2時(shí)要小，但是從圖5(b)可以發(fā)現(xiàn)m*=1時(shí)的最大流向振幅要大于m*=2，導(dǎo)致m*=1時(shí)的譜峰小于m*=2時(shí)的原因是:m*=1時(shí)出現(xiàn)2個(gè)譜峰，分別在f=0.18 Hz和0.35 Hz處，頻率分布更分散，而m*=2時(shí)只有一個(gè)主頻，且其振動(dòng)頻率主要集中于主頻附近。由于m*=1時(shí)有多個(gè)不同的振動(dòng)頻率，所以子母管線的振動(dòng)軌跡沒(méi)有明顯的周期性(圖7(a))。而m*=2和m*=7時(shí)橫向振動(dòng)頻率和流向振動(dòng)頻率相近，因此圖7(b)和(c)中的軌跡呈現(xiàn)出“0”字形。

圖6 Ur=5時(shí)橫向振幅和流向振幅的譜分析Fig.6 The spectrum analysis of cross-flow amplitude and down-stream amplitude under Ur=5

圖7 Ur=5，m*=1,2,7時(shí)子母管線的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.7 The piggyback pipeline movement under Ur=5,m*=1, 2, 7

4.3 間距比對(duì)子母管線渦激振動(dòng)的影響

本節(jié)設(shè)置間距比G/D分別為0、0.15、0.25、0.50，研究間距比對(duì)子母管線渦激振動(dòng)的影響。直徑比d/D、空隙比e/D、質(zhì)量比m*、子管相對(duì)于母管的角度θ皆不變，分別為0.5、1.0、2和90°。

圖8展示了最大橫向振幅和最大流向振幅隨約化速度的變化，從圖中可發(fā)現(xiàn)間距比不同的情況下出現(xiàn)Ay和Ax峰值時(shí)的約化速度是不同的。從圖8(a)中發(fā)現(xiàn)G/D=0,0.15時(shí),Ay最大值出現(xiàn)在Ur=5處，G/D=0.25,0.50時(shí),在Ur=6處出現(xiàn)Ay的峰值。圖8(b)中看出G/D=0,0.15和0.25時(shí),分別在Ur=6、5和5處出現(xiàn)Ax的最大值，而G/D=0.50的流向振幅較小可以忽略。同時(shí)，不同間距比子母管線的振幅也不同，子母管線Ay和Ax的峰值均隨著G/D的增大而減小，其中G/D=0時(shí)Ay的最大值是G/D=0.50時(shí)的2.26倍。除此之外，間距比G/D=0時(shí)的鎖定區(qū)間最寬，而G/D=0.15,0.25,0.50時(shí)的鎖定區(qū)間較為接近。

圖9分別展示了G/D=0，0.15，0.25，0.50，Ur=5時(shí)，子母管線周?chē)矔r(shí)渦量云圖。圖9(a)中子管與母管的間距比為0，可以看到該工況下的子管與母管作為整體一起脫渦，2個(gè)圓柱間的相互干擾較少，導(dǎo)致了G/D=0時(shí)出現(xiàn)最大的橫向和流向振幅。從圖9(b)～(d)中可以看出隨著G/D的增大，2個(gè)圓柱不再作為整體一起脫渦，子管與母管之間的相互干擾增強(qiáng)。圖9(d)中間距比G/D=0.50，子管與母管上均有明顯的渦脫落，在此時(shí)刻子管的渦向下脫落對(duì)母管的脫渦產(chǎn)生了干擾。通過(guò)上述的分析可看出，子管與母管之間的間距較小時(shí)，2個(gè)圓柱作為一個(gè)整體，其相互間的干擾較少，從而導(dǎo)致其振幅較大。隨著間距的增大，子管與母管各自皆有渦脫落，兩圓柱間的相互干擾增強(qiáng)，會(huì)對(duì)子母管線的渦激振動(dòng)產(chǎn)生抑制作用，使得振幅逐漸減小。

圖8 不同間距比情況下最大振幅隨約化速度的變化Fig.8 The relationship between the maximum amplitude and reduced velocity under different the spacing-to-diameter ratio

圖9 不同間距比情況下子母管線周?chē)矔r(shí)渦量云圖Fig.9 The instantaneous vorticity around piggyback pipeline under different spacing-to-diameter ratio

4.4 空隙比對(duì)子母管線渦激振動(dòng)的影響

子管與母管的直徑比d/D=0.5、間距比G/D=0.5、子管相對(duì)于母管的角度θ=90°、質(zhì)量比m*=2保持不變，空隙比分別為0.2、0.3、0.5和1.0，研究空隙比對(duì)子母管線渦激振動(dòng)的影響。

圖10分別展示了最大橫向和流向無(wú)因次振幅隨約化速度的變化。從圖10(a)中可看出，不同的空隙比情況下，出現(xiàn)Ay最大值時(shí)的約化速度是不同的，e/D=0.2，0.3，0.5，1.0時(shí)出現(xiàn)橫向最大振幅峰值的約化速度分別為Ur=8，7，5，6。此外，所有的空隙比情況下Ay的峰值相差較小。圖10(b)中發(fā)現(xiàn)所有的工況下流向振幅均比較小，可以忽略。

圖11分別展示了子母管線振動(dòng)的橫向和流向振動(dòng)平衡位置，圖中的Px=(xmax+xmin)/2D和Py=(ymax+ymin)/2D，分別為x和y方向的平衡位置。從圖11(a)中可以看出e/D=0.5和1.0時(shí)，管線橫向振動(dòng)的平衡位置更接近于初始位置(Py=0)，而e/D=0.2和0.3時(shí)，管線的平衡位置比e/D=0.5和1.0時(shí)偏上些，這是由于管線離床面近使其向下振動(dòng)的過(guò)程受到了床面的抑制。圖11(b)中的流向平衡位置與空隙比無(wú)關(guān)，而隨著約化速度的增大不斷增大。

圖10 不同空隙比情況下最大振幅隨約化速度的變化Fig.10 The relationship between the maximum amplitude and reduced velocity under different the gap-to-diameter ratio

圖11 不同空隙比情況下橫向平衡位置和流向平衡位置隨約化速度的變化Fig.11 The relationship between the cross-flow mean position， down-stream mean position and reduced velocity under different the gap-to-diameter ratios

4.5 角度對(duì)子母管線渦激振動(dòng)的影響

為了研究角度對(duì)子母管線渦激振動(dòng)的影響，改變子管與母管的相對(duì)角度，θ分別為0°、90°和180°。保持子母管線管的直徑比d/D=0.5、間距比G/D=0.5、質(zhì)量比m*=2和空隙比e/D=0.5不變。

圖12分別展示了θ=0°，90°，180°時(shí)橫向最大振幅和流向最大振幅隨約化速度的變化。從圖12(a)中可發(fā)現(xiàn)θ=90°即雙圓柱并列時(shí)，最大橫向振幅的峰值出現(xiàn)在Ur=6處，其峰值是θ=0°和180°時(shí)的2.5倍以上。當(dāng)θ=0°即子管位于母管上游時(shí)，子母管線的Ay較小而且只有很窄的鎖定區(qū)間，只在Ur=4和5的情況下出現(xiàn)較大振幅；當(dāng)θ=180°即子管位于母管下游時(shí)，Ay的峰值與θ=0°時(shí)相近，但是其鎖定區(qū)間更寬。從圖12(b)中看出θ=90°時(shí)最大流向振幅與最大橫向振幅相差較大，Ax的峰值只有Ay峰值的20.4%，而θ=0°和180°時(shí)的最大Ax的最大值占到Ay最大值的50%以上。

圖12 不同角度情況下最大振幅隨約化速度的變化Fig.12 The relationship between the maximum amplitude and reduced velocity under different angles

圖13分別展示了θ=0°,90°,180°，約化速度Ur=5時(shí)，子母管線周?chē)臏u量云圖，其中圖13(a)、(b)、(c)中的子母管線處于上升趨勢(shì)，圖13(d)、(e)、(f)處于下降趨勢(shì)。圖13(a)、(d)中母管位于子管的下游，母管有渦脫落，而由于兩圓柱的間距小于子管尾渦的長(zhǎng)度，使得子管的脫渦受到母管的抑制。圖13(b)、(e)中的母管和子管皆有渦脫落，當(dāng)子母管線處于上升階段時(shí)，圓柱的渦向下脫落，而當(dāng)子母管線處于下降階段時(shí)，圓柱的渦向上脫落，可看出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中子管與母管脫渦相互干擾。圖13(c)、(f)中子管位于母管的尾渦區(qū)中，受到母管尾渦的屏蔽，子管上沒(méi)有渦脫落，同時(shí)由于子管的存在對(duì)母管的脫渦產(chǎn)生了干擾。通過(guò)上述的分析可得出在該組工況下，子管和母管串列時(shí)兩圓柱之間的干擾對(duì)子母管線渦激振動(dòng)的抑制作用更強(qiáng)，而子管與母管并列時(shí)的干擾相對(duì)較弱，因此并列情況下子母管線有更大的振幅。

圖13 不同角度情況下子母管線周?chē)矔r(shí)渦量云圖Fig.13 The instantaneous vorticity around piggyback pipeline under different angles

5 結(jié)論

1)低質(zhì)量比時(shí)流向自由度對(duì)子母管線的橫向振動(dòng)的影響較大，導(dǎo)致雙自由度的子母管線比單自由度時(shí)具有更大的橫向振幅。此外，隨著質(zhì)量比的增大，雙自由度子母管線的橫向振幅和流向振幅的峰值均減小，而且鎖定區(qū)間也逐漸縮窄。

2)在間距比G/D=0時(shí)，子管與母管作為一個(gè)整體一起脫渦，相互之間的干擾較小，導(dǎo)致了子母管線有最大的橫向和流向振幅。而隨著間距比的增大，子管與母管之間的干擾增強(qiáng)，管線的最大振幅逐漸減小。尤其是當(dāng)間距比為0.50時(shí)，管線上的流向振幅很小，可以忽略。

3)空隙比對(duì)子母管線最大橫向振幅的影響相對(duì)較小，但是會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)最大橫向振幅峰值時(shí)的約化速度不同。流向平衡位置與空隙比是無(wú)關(guān)的，而橫向平衡位置與其有關(guān)，當(dāng)空隙比較小時(shí)，床底會(huì)抑制子母管線向下的振動(dòng)，導(dǎo)致管線的平衡位置相對(duì)偏上。

4)通過(guò)分析可以看出θ=90°時(shí)，子母管線上最大橫向振幅的峰值最大，是θ=0°和θ=180°時(shí)的2.5倍以上，說(shuō)明子母管線并列時(shí)對(duì)子母管線渦激振動(dòng)的抑制作用更強(qiáng)。