謝建宏，徐菁菁,b，張 宇，李 鳴

(南昌大學(xué) a.信息工程學(xué)院；前湖學(xué)院，南昌 330031)

0 引言

銑削穩(wěn)定性是指銑削系統(tǒng)和切削過(guò)程相互作用構(gòu)成的整體系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其實(shí)質(zhì)是描述刀具與工件的相對(duì)振動(dòng)[1]。銑削過(guò)程失穩(wěn)即發(fā)生銑削顫振，刀具與工件間產(chǎn)生大幅振動(dòng)甚至脫離，使得工件加工精度和表面質(zhì)量超差并顯著加劇刀具磨損，同時(shí)伴隨工作環(huán)境極度惡化，甚至造成機(jī)床損壞和生產(chǎn)安全事故。保守地選擇切削參數(shù)雖然能避免發(fā)生顫振，卻極大地降低了加工效率。因此，對(duì)銑削穩(wěn)定性的準(zhǔn)確、高效分析是保證銑削加工質(zhì)量和效率的關(guān)鍵?？紤]切厚再生效應(yīng)的銑削過(guò)程動(dòng)力學(xué)模型較好地描述了顫振機(jī)理并得到了大量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[2]。該模型將銑削過(guò)程表征為一組周期系數(shù)時(shí)滯微分方程，其特征方程是超越方程,這給穩(wěn)定性分析帶來(lái)了本質(zhì)性困難[3]。Altintas等開(kāi)創(chuàng)性地提出了基于Lyapnov判據(jù)的單頻率法,由此構(gòu)建了臨界切削參數(shù)表征的銑削穩(wěn)定性葉瓣圖(Stability Lobe Diagrams, SLDs)以區(qū)分穩(wěn)定切削參數(shù)域與不穩(wěn)定切削參數(shù)域[4]。Insperger T等提出了基于Floquet判據(jù)的半離散法，具有比單頻率法更好的準(zhǔn)確性和通用性，成為當(dāng)前的主流分析方法[5]。此類分析方法的計(jì)算瓶頸在于微分方程離散狀態(tài)向量映射矩陣的獲取。針對(duì)此問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外研究者提出了許多近似計(jì)算方法以提高計(jì)算效率從而快速構(gòu)建SLDs的葉瓣邊界[6-9]?；谧V方法和時(shí)間有限元法相結(jié)合的譜元法給出了一種效率顯高于傳統(tǒng)半離散法的分析方法[10]，然而大量工程實(shí)踐發(fā)現(xiàn)經(jīng)典譜元法對(duì)于小徑向浸入率銑削工況適用性較差，其原因主要在于刀齒切入切出引起的銑削過(guò)程強(qiáng)不連續(xù)性降低了譜元的收斂性，從而極大地影響了計(jì)算效率[11]。

本文提出一種徑向浸入率通用型譜元法，將銑削過(guò)程時(shí)滯周期劃分為切削振動(dòng)和自由振動(dòng)兩個(gè)時(shí)間段分別進(jìn)行處理。利用譜元法與微分方程數(shù)值解法相結(jié)合解決小徑向浸入率銑削的強(qiáng)不連續(xù)性問(wèn)題，提高狀態(tài)向量離散映射矩陣的計(jì)算效率，進(jìn)而保證銑削穩(wěn)定性分析的準(zhǔn)確性、高效性和通用性。

1 銑削穩(wěn)定性譜元分析方法原理

1.1 銑削過(guò)程動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間模型

經(jīng)典銑削穩(wěn)定性分析采用基于再生型動(dòng)態(tài)銑削力模型和銑削工藝系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性建立的二自由度周期系數(shù)時(shí)滯微分方程組描述銑削過(guò)程動(dòng)力學(xué)，其狀態(tài)空間模型如式(1)所示：

(1)

式中，τ為時(shí)滯周期，在N齒等齒矩銑刀以主軸轉(zhuǎn)速Ω[rpm]銑削的工況下取為一個(gè)刀通周期τ=T=60/NΩ，式中狀態(tài)變量和系數(shù)矩陣表達(dá)式分別為：

(2)

狀態(tài)向量u(t)為X,Y方向位移與速度構(gòu)成的列向量，M,K,C分別表示銑削系統(tǒng)質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣，H(t)表示動(dòng)態(tài)銑削力系數(shù)矩陣，如式(3)所示：

(3)

式中，a為軸向切深，Kt為切向切削力系數(shù)，Kr為徑向與切向切削力系數(shù)之比，s表示sin(2φj)，c表示cos(2φj)。瞬時(shí)浸入角φj=(2πΩ/60)t- (j- 1)2π/N，j=1,…,N。g表示階躍函數(shù)：

(4)

切入角φst和切出角φex由徑向浸入率決定，g(φj)反映了刀齒是否正參與切削。可見(jiàn)，式(1)中，A是常系數(shù)矩陣，B(t)是以T為周期的周期系數(shù)矩陣。

Floquet穩(wěn)定性判據(jù)依據(jù)銑削過(guò)程動(dòng)力學(xué)模型在一個(gè)周期上的離散狀態(tài)映射矩陣的特征乘子在Z平面的分布進(jìn)行銑削過(guò)程判穩(wěn)：若特征乘子都位于單位圓內(nèi)則銑削過(guò)程穩(wěn)定，否則發(fā)生顫振。

1.2 銑削穩(wěn)定性分析的經(jīng)典譜元法

經(jīng)典譜元法將[-τ,τ]時(shí)間線劃分為2M個(gè)時(shí)域譜元，每個(gè)譜元長(zhǎng)h=τ/M，如圖1所示。

圖1 經(jīng)典譜元法時(shí)間線劃分

(5)

(6)

(7)

式(6)回代式(1)，采用加權(quán)余量法即可導(dǎo)出一個(gè)周期上離散狀態(tài)向量的映射關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算離散狀態(tài)向量映射矩陣特征乘子并根據(jù)Floquet判據(jù)判別銑削穩(wěn)定性。由于采用了LGL節(jié)點(diǎn)高階譜插值，使得譜元法相較采用等距節(jié)點(diǎn)插值和均值近似的傳統(tǒng)半離散法具有更高的計(jì)算效率。然而對(duì)于小徑向浸入率銑削，由于刀齒切入和切出導(dǎo)致H(t)具有強(qiáng)不連續(xù)性，使得加權(quán)余量法計(jì)算過(guò)程中LGL數(shù)值積分的收斂速度和精度都明顯下降，影響了經(jīng)典譜元法對(duì)小徑向浸入率銑削的適用性。

2 徑向浸入率通用型銑削穩(wěn)定性譜元分析法

消除刀齒切入切出不連續(xù)性影響的一種思路是將圖1按銑削過(guò)程劃分為切削振動(dòng)時(shí)段tc和自由振動(dòng)時(shí)段tf分別求解式(1)，如圖2所示。基于此思路提出一種徑向浸入率通用型銑削穩(wěn)定性譜元分析方法。

圖2 徑向浸入率通用型譜元法時(shí)間線劃分

式(1)解可描述為積分形式：

(8)

式中，u(t0)為初始時(shí)刻t0的狀態(tài)向量值。不失一般性，設(shè)t0為刀具切出時(shí)刻，在自由振動(dòng)區(qū)間[t0,t0+tf]不存在切厚再生效應(yīng)，式(8)中B(η)項(xiàng)為0，退化為無(wú)時(shí)滯常系數(shù)微分方程齊次解形式，得式(9)：

u(t)=eA(t-t0)u(t0)

(9)

解得刀具切入時(shí)刻狀態(tài)向量為：

u(t0+tf)=eA(tf)u(t0)

(10)

在切削振動(dòng)區(qū)間[t0+tf,t0+τ]，存在切厚再生效應(yīng)使B(η)項(xiàng)不為0，在此區(qū)間及上一周期區(qū)間 [t0+tf-τ,t0]上分別以時(shí)間段h=tc/M等距劃分譜單元并將時(shí)間坐標(biāo)t∈[(k-1)h,kh]規(guī)范化為[-1,1]區(qū)間局部坐標(biāo)ξ，采用式(6)插值近似，導(dǎo)出kth譜單元上方程余量為：

(11)

(12)

式中，

(13)

(14)

權(quán)函數(shù)ψi(ξ)取Legendre正交多項(xiàng)式函數(shù)族：

(15)

采用LGL數(shù)值積分計(jì)算式(13)、式(14)得：

(16)

(17)

式中，I表示4×4單位陣，lj′(ξ)表示重心Lagrange插值函數(shù)對(duì)ξ的一階導(dǎo)。wj為L(zhǎng)GL數(shù)值積分系數(shù)，如式(18)，其中Ln表示n階Legendre多項(xiàng)式。

(18)

可見(jiàn)，n+1點(diǎn)LGL數(shù)值積分具有2n+1階代數(shù)精度，相較Newton-Cotes積分極大提高了計(jì)算精度，且避免了傳統(tǒng)等距節(jié)點(diǎn)高階插值的Runge現(xiàn)象導(dǎo)致系統(tǒng)病態(tài)無(wú)法實(shí)現(xiàn)譜收斂的問(wèn)題。

綜合考慮自由振動(dòng)時(shí)段和切削振動(dòng)時(shí)段，將式(10)和式(12)相結(jié)合，即可導(dǎo)出銑削過(guò)程一個(gè)時(shí)滯周期上離散狀態(tài)向量的映射關(guān)系：

NUτ=PU0

(19)

(20)

(21)

(22)

則式(1)在一個(gè)時(shí)滯周期上的離散狀態(tài)向量映射矩陣Φ為：

Φ=N-1P

(23)

求解矩陣Φ的特征值，根據(jù)Floquet穩(wěn)定性判據(jù)即可分析銑削過(guò)程穩(wěn)定性，并據(jù)此繪制銑削穩(wěn)定性葉瓣圖。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真設(shè)置

為驗(yàn)證本文所提算法的準(zhǔn)確性、高效性和通用性，針對(duì)表1所示相同工藝參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)的二自由度銑削過(guò)程動(dòng)力學(xué)模型分別使用徑向浸入率通用型譜元法和經(jīng)典譜元法進(jìn)行銑削穩(wěn)定性分析，不失一般性地假設(shè)銑削工藝系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性在X,Y方向?qū)ΨQ且互不耦合，即式(2)中M,M-1K,M-1C分別退化為對(duì)角陣mI,ωn2I, 2ζωnI, 其中m,ωn,ζ分別表示銑削工藝系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量、固有頻率和阻尼比。所有算例均在HP-ZBOOK15G3移動(dòng)工作站(Core i7 6700hq處理器, 32 GB內(nèi)存, QUADRO M1000M GPU)上完成。

3.2 仿真結(jié)果與分析

圖3展示了徑向浸入率取1、 0.2、0.05時(shí)，分別采用經(jīng)典譜元法和徑向浸入率通用型譜元法進(jìn)行銑削穩(wěn)定性分析獲取的銑削穩(wěn)定性葉瓣圖，表2給出了兩種分析方法仿真銑削穩(wěn)定性葉瓣圖的計(jì)算時(shí)間對(duì)比?？梢?jiàn)，在最大分析誤差不超過(guò)1%的前提下，徑向浸入率通用型譜元法在大浸入率工況下具有與經(jīng)典譜元法相同的計(jì)算效率，但在小浸入率工況下計(jì)算效率則明顯高于經(jīng)典譜元法，這是由于其較好地處理了銑削力方向系數(shù)的不連續(xù)性，使得采用較低的譜元階次即可實(shí)現(xiàn)SLDs曲線收斂到準(zhǔn)確值。圖4和圖5分別展示了徑向浸入率為0.1的順銑過(guò)程穩(wěn)定性葉瓣圖的經(jīng)典譜元法和徑向浸入率通用型譜元法的收斂情況。對(duì)比結(jié)果表明對(duì)于小徑向浸入率銑削，經(jīng)典譜元法收斂效率明顯降低，當(dāng)譜元階次取60時(shí)葉瓣圖基本收斂，而徑向浸入率通用型譜元法在譜元階次取25時(shí)已經(jīng)收斂到準(zhǔn)確值，且譜元插值計(jì)算僅需在切削振動(dòng)段進(jìn)行，進(jìn)一步縮小了計(jì)算區(qū)間，極大提高了計(jì)算效率，使得算法具有更強(qiáng)的工況通用性。

表1 銑削穩(wěn)定性仿真算例參數(shù)

表2 兩種銑削穩(wěn)定性分析方法的計(jì)算效率對(duì)比

(a) 徑向浸入率= 1經(jīng)典譜元法 (b) 徑向浸入率= 1徑向浸入率通用型譜元法

(c) 徑向浸入率= 0.2經(jīng)典譜元法 (d) 徑向浸入率= 0.2徑向浸入率通用型譜元法

(e) 徑向浸入率= 0.05經(jīng)典譜元法 (f) 徑向浸入率= 0.05徑向浸入率通用型譜元法圖3 經(jīng)典譜元法和徑向浸入率通用型譜元法銑削穩(wěn)定性葉瓣圖仿真結(jié)果對(duì)比

圖4 經(jīng)典譜元法穩(wěn)定性葉瓣圖收斂情況

圖5 徑向浸入率通用型譜元法穩(wěn)定性葉瓣圖收斂情況

4 結(jié)論

本文闡述了一種用于銑削過(guò)程穩(wěn)定性分析的徑向浸入率通用型譜元法，并針對(duì)經(jīng)典銑削工況進(jìn)行了穩(wěn)定性葉瓣圖仿真，結(jié)果表明該方法通過(guò)將LGL節(jié)點(diǎn)高階譜元與微分方程數(shù)值解法相結(jié)合，較好解決了小徑向浸入率銑削強(qiáng)不連續(xù)性導(dǎo)致的譜元收斂效率降低的問(wèn)題。在分析誤差不超過(guò)1%的前提下，相較經(jīng)典譜元法顯著提高了計(jì)算效率，實(shí)現(xiàn)了大/小徑向浸入率銑削工況穩(wěn)定性分析的強(qiáng)通用性，使無(wú)顫振銑削參數(shù)在線優(yōu)化成為可能。