□ 張僑平 陳慕丹

一、背景

經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD：Organization for Economic Cooperation and Development）在 1997 年發(fā)起國際學(xué)生評價項(xiàng)目（Programme for International Student Assessment，以下簡稱PISA），旨在通過一種國際公認(rèn)的衡量標(biāo)準(zhǔn)，測量世界范圍內(nèi)15 歲學(xué)生（大約是我國初中畢業(yè)年級）的閱讀、科學(xué)和數(shù)學(xué)三個學(xué)習(xí)領(lǐng)域的素養(yǎng)，自2000 年起PISA 每三年測試一次，每次聚焦三個領(lǐng)域中的一個主題。目前，PISA 已逐漸發(fā)展成為最具國際影響力的大型教學(xué)評價項(xiàng)目之一。我國首次正式參加的是PISA2009，到目前為止已經(jīng)參與了四次測試，在三個領(lǐng)域的成績均表現(xiàn)優(yōu)異。最新的PISA2021 將聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科（因疫情關(guān)系推遲到2022 年開展），主要采用基于計算機(jī)的數(shù)學(xué)評價模式（Computer-Based Assessment of Mathematics，以下簡稱 CBAM）測量學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識以及學(xué)生在不同情境下運(yùn)用數(shù)學(xué)推理和問題解決的能力。2020年在新冠疫情的影響下，大規(guī)模的線上教學(xué)給習(xí)慣于傳統(tǒng)面授教學(xué)的教師帶來壓力和挑戰(zhàn)。如何在線上教學(xué)或在今后線上線下混合教學(xué)的新常態(tài)中，培養(yǎng)和評估學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)已經(jīng)成為目前國內(nèi)外教育研究者和一線教師關(guān)注的焦點(diǎn)。本文在解讀PISA 2021數(shù)學(xué)框架的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)推理和問題解決過程、數(shù)學(xué)內(nèi)容知識、情境三個方面結(jié)合具體的CBAM試題進(jìn)行分析，闡釋其背后的設(shè)計思路和意圖，以期為我國當(dāng)前培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和進(jìn)行相關(guān)測試題的編制提供啟示。

二、PISA2021數(shù)學(xué)框架

PISA2021 數(shù)學(xué)框架將數(shù)學(xué)素養(yǎng)定義為個人進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的能力，以及通過公式表示、應(yīng)用和解釋數(shù)學(xué)，從而解決一系列現(xiàn)實(shí)環(huán)境中問題的能力。它包含掌握數(shù)學(xué)中的概念、程序、事實(shí)，以及運(yùn)用工具去描述、解釋和預(yù)測現(xiàn)實(shí)世界中的一些現(xiàn)象。它有助于個人作為具有建設(shè)性、參與性和反思性的21 世紀(jì)的公民，了解數(shù)學(xué)在世界上所發(fā)揮的作用并做出有充分根據(jù)的判斷和決定。該框架將數(shù)學(xué)推理和三種問題解決的過程（即形成、應(yīng)用、詮釋和評價）視為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心，更加突出數(shù)學(xué)推理在問題解決和數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的核心地位，并將數(shù)學(xué)內(nèi)容劃分為數(shù)量、不確定性和數(shù)據(jù)、變化和關(guān)系以及空間和形狀四個領(lǐng)域。同以往框架相一致，將現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)一步解釋為包括個人、職業(yè)、社會和科學(xué)在內(nèi)的四種情境。另外，PISA2021 將八項(xiàng)21 世紀(jì)技能融合到數(shù)學(xué)素養(yǎng)評估框架中，具體包括批判性思維，創(chuàng)造力，研究與探究，自我導(dǎo)向、主動和堅毅，信息使用，系統(tǒng)思維，交流，反思（見圖1），并指出在試題的編制中會滲透21世紀(jì)技能的相關(guān)內(nèi)容。為進(jìn)一步了解PISA2021 數(shù)學(xué)框架，將從數(shù)學(xué)推理和問題解決過程、數(shù)學(xué)內(nèi)容知識、情境三個方面對框架進(jìn)行闡釋。

圖1 PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價框架

（一）數(shù)學(xué)推理和問題解決過程

推理是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，教學(xué)生學(xué)會邏輯推理是學(xué)校數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)之一。學(xué)生只有具備良好的數(shù)學(xué)推理能力，才能真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦。PISA2021數(shù)學(xué)框架提出可以從以下六個方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力：（1）理解數(shù)量、數(shù)系和代數(shù)性質(zhì)；（2）欣賞抽象性和符號表征，讓學(xué)生理解從特殊到一般的推理過程；（3）掌握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和規(guī)律，讓學(xué)生學(xué)會類比；（4）認(rèn)識數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生了解變量間的相互關(guān)系；（5）應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，鼓勵學(xué)生學(xué)會對問題進(jìn)行化簡，發(fā)現(xiàn)問題的核心要素；（6）理解變化是統(tǒng)計的核心，鼓勵學(xué)生用數(shù)據(jù)說話，并意識到結(jié)論的局限性。

數(shù)學(xué)推理充分體現(xiàn)了PISA2021所定義的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵，而數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力正是透過數(shù)學(xué)問題解決來實(shí)現(xiàn)。PISA2021 數(shù)學(xué)框架將問題解決劃分為三個數(shù)學(xué)過程，首先是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，其次是應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、法則和原理得出結(jié)論，最后對所得數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行詮釋、應(yīng)用和評價。

數(shù)學(xué)推理和問題解決是PISA2021所界定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的組成部分，二者有相互重疊的部分，即問題解決的不同過程需要應(yīng)用到數(shù)學(xué)推理；同時，數(shù)學(xué)推理不僅局限于現(xiàn)實(shí)世界的問題解決，還可以幫助學(xué)生從數(shù)量和邏輯的角度評估社會熱點(diǎn)議題信息的有效性。

（二）數(shù)學(xué)內(nèi)容知識

現(xiàn)實(shí)世界中進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和問題解決需要借助一定的數(shù)學(xué)知識。PISA2021大致沿用了以往框架對數(shù)學(xué)內(nèi)容四個領(lǐng)域的劃分（數(shù)量、不確定性和數(shù)據(jù)、變化和關(guān)系以及空間和形狀），該劃分反映數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)，涵蓋數(shù)學(xué)的整體領(lǐng)域，也契合學(xué)校的課程主線。

數(shù)量是數(shù)學(xué)中最基本且最常見的概念，而量化是基于數(shù)量描述和測量事物屬性的主要方法。在“數(shù)量”維度，數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要體現(xiàn)在數(shù)感、數(shù)的多重表征、最優(yōu)計算、心算、估計和評估結(jié)果的合理性等方面。

不確定性常常出現(xiàn)在對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)解析的過程中，概率和統(tǒng)計理論、數(shù)據(jù)表示和描述有助于分析和解決這一類問題。“不確定性和數(shù)據(jù)”維度的內(nèi)容包括識別變量在現(xiàn)實(shí)世界中的重要性，對變化的事物和關(guān)系能夠以量化的方法處理，認(rèn)識相關(guān)推論中的不確定性和誤差，形成、解釋并評估在不確定性存在的情況下得出的結(jié)論。

現(xiàn)實(shí)世界的事物之間存在相互關(guān)系，而不同的關(guān)系中又存在變化，“變化和關(guān)系”維度的內(nèi)容涉及用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和方程對“變化和關(guān)系”進(jìn)行建模，用符號表征和圖形表征建構(gòu)、揭示和轉(zhuǎn)化不同的關(guān)系。

在現(xiàn)實(shí)世界中，空間和形狀隨處可見，數(shù)學(xué)素養(yǎng)在“空間和形狀”維度下體現(xiàn)為理解圖形、創(chuàng)建和閱讀地圖、轉(zhuǎn)換圖形、解讀三維場景以及構(gòu)建形狀表征。值得注意的是，PISA2021 特別強(qiáng)調(diào)上述四個數(shù)學(xué)內(nèi)容類別下的四個主題：計算機(jī)模擬（數(shù)量）、條件決策（不確定性和數(shù)據(jù)）、增長現(xiàn)象（變化和關(guān)系）和幾何近似（空間和形狀）。

（三）問題情境

PISA2021 提出，學(xué)會用數(shù)學(xué)解決不同情境下的問題是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)之一，現(xiàn)實(shí)情境包括個人、職業(yè)、社會和科學(xué)在內(nèi)的四種情境。個人情境聚焦個人及其家庭或同伴的活動，涵蓋食物準(zhǔn)備、購物、游戲、健康、交通、娛樂、體育、旅行、日程安排和個人財務(wù)等情境。職業(yè)情境以工作領(lǐng)域?yàn)橹行?，涉及測量、成本計算和建筑材料訂購、工資單/會計、質(zhì)量監(jiān)控、調(diào)度/庫存、設(shè)計/架構(gòu)以及與工作相關(guān)的決策等。社會情境更關(guān)注群體，包括投票制度、公共交通、政府、公共政策、人口統(tǒng)計、廣告、國家統(tǒng)計和經(jīng)濟(jì)等方面?？茖W(xué)情境關(guān)注數(shù)學(xué)在自然世界中的應(yīng)用以及與科學(xué)技術(shù)相關(guān)的問題和主題，包括天氣或氣候、生態(tài)學(xué)、醫(yī)學(xué)、空間科學(xué)、遺傳學(xué)、測量學(xué)等。

三、試題解析

從上述PISA2021 數(shù)學(xué)框架的分析可以看出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)更關(guān)注數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用，衡量個人在運(yùn)用公式表示、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和詮釋數(shù)學(xué)內(nèi)涵以解決一系列現(xiàn)實(shí)環(huán)境中問題的能力。因此，基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測評與以往傳統(tǒng)測評專注于課程內(nèi)容不同，它需要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合理的真實(shí)情境，讓學(xué)生根據(jù)不同情境運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)問題解決。

既然PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試題的設(shè)計以上述框架為基礎(chǔ)，那么數(shù)學(xué)素養(yǎng)框架中的組成元素在試題中又是如何呈現(xiàn)的呢？下面將以PISA2021 數(shù)學(xué)框架中的試題“智能手機(jī)的使用（SMARTPHONE USE）”為例（圖2～圖6），圍繞內(nèi)容、過程、情境三個層面對試題進(jìn)行分析。

圖2 智能手機(jī)的使用簡介

PISA2021 指出，在目前的職業(yè)生活中，使用計算機(jī)工具和數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有相互依存的關(guān)系，基于計算機(jī)評價模式相較于紙筆測試更能滿足現(xiàn)實(shí)生活和21世紀(jì)的需求。

作為PISA2021 主要評估工具，計算機(jī)的使用能夠?yàn)閿?shù)學(xué)素養(yǎng)測評提供一系列發(fā)展機(jī)會，例如向?qū)W生展示真實(shí)世界的數(shù)據(jù)，給予學(xué)生進(jìn)行自適應(yīng)測評（根據(jù)學(xué)生的回答和早期的學(xué)習(xí)單元分?jǐn)?shù)為他們提供更多的個性化測試單元組合，從而獲得學(xué)生詳細(xì)的學(xué)習(xí)表現(xiàn)）的機(jī)會，使測評更符合現(xiàn)代世界發(fā)展的趨勢，即從執(zhí)行基本計算的需求轉(zhuǎn)變?yōu)橛尚录夹g(shù)驅(qū)動發(fā)展的新世界，個體在其中具有創(chuàng)造力和參與度，可以對自己和所生活的社會做出判斷和評估。

圖2到圖6展示了例題“智能手機(jī)的使用”的計算機(jī)測試界面截圖（其中Zed是虛構(gòu)的國家Zedland的貨幣單位）。PISA 將題目和問題數(shù)據(jù)以及圖表分別設(shè)置在屏幕的左右兩側(cè)以方便學(xué)生閱讀，不僅從視覺上吸引學(xué)生，還有助于學(xué)生理解題意。另外，基于計算機(jī)的測試可以為學(xué)生提供圖像及不同表征之間的鏈接，方便學(xué)生依據(jù)已有的變量估計未知的變量來解決問題。例如，在第二小題中（圖4），考生可以使用電子表格上方的按鈕對數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，以輔助答題。

值得注意的是，在例題中，所有計算機(jī)工具的使用都是為了滿足培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需求，這使得計算機(jī)評估對于不熟悉使用計算機(jī)工具的學(xué)生來說也是友好的，不會影響他們解決數(shù)學(xué)問題。這是PISA測試?yán)糜嬎銠C(jī)對學(xué)生進(jìn)行有效評估的重要前提。

圖3 智能手機(jī)的使用問題1

圖4 智能手機(jī)的使用問題2

除此之外，本文分析的PISA2021例題“智能手機(jī)的使用”基于“社會”情境，關(guān)注不同國家人口數(shù)量及智能手機(jī)使用的問題，涉及“數(shù)量”和“變化和關(guān)系”兩個內(nèi)容知識領(lǐng)域。

第一小題（圖3）考查學(xué)生對比例概念的掌握程度，要求學(xué)生選出使用智能手機(jī)的人數(shù)比例的表達(dá)式；第二小題（圖4）考查學(xué)生獲取圖表信息的能力，要求學(xué)生對人口數(shù)量和使用智能手機(jī)人數(shù)之間、人口數(shù)量和使用智能手機(jī)的人數(shù)比例之間的關(guān)系作初步判斷;第三小題（圖5 和圖6）將人口數(shù)量、使用智能手機(jī)的人數(shù)比例和最低時薪視為變量，考查學(xué)生在研究變量間非線性函數(shù)關(guān)系過程中的數(shù)學(xué)推理能力，要求學(xué)生通過圖像提取信息，判斷變量間的相互關(guān)系并解釋原因。三個問題的難度和開放度逐漸遞增，前面的問題設(shè)置為學(xué)生解決后面的問題提供輔助，這也印證了“數(shù)量”與“變化和關(guān)系”維度的結(jié)合，同時凸顯了數(shù)量在數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)地位。

圖5 智能手機(jī)的使用問題3-1

圖6 智能手機(jī)的使用問題3-2

四、啟示

PISA2021數(shù)學(xué)框架在以往的PISA數(shù)學(xué)框架的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生在問題解決過程中的數(shù)學(xué)推理能力，利用計算機(jī)工具讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)問題中數(shù)據(jù)的變化以及理解變量之間的相互關(guān)系，進(jìn)而從特殊到一般，遷移之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)知識去解決其他問題。同時，PISA2021 充分利用計算機(jī)學(xué)習(xí)工具的優(yōu)勢，在數(shù)學(xué)題目中融合了視覺豐富的圖標(biāo)等真實(shí)性情景信息，加強(qiáng)數(shù)學(xué)題目的真實(shí)性和趣味性，在吸引學(xué)生注意力的同時，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的參與度，也達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。除此之外，CBAM題目難度的設(shè)計規(guī)劃對于學(xué)生解題的引導(dǎo)作用也值得注意，比如，例題中的問題從易到難，問題的開放性逐漸增加，逐步引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用推理進(jìn)行解題，并在最后一小題中要求學(xué)生進(jìn)行原因解釋，進(jìn)而可以更準(zhǔn)確地評估學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)。最后，要設(shè)計基于計算機(jī)評價的數(shù)學(xué)題目，關(guān)鍵要確保這些題目能持續(xù)地評價學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此，設(shè)計者需要將無關(guān)的干擾因素維持在最低水平，例如讓學(xué)生避免受到與數(shù)學(xué)素養(yǎng)無關(guān)的因素（比如題目表達(dá)格式）的干擾，以此來保證學(xué)生用計算機(jī)進(jìn)行測評和學(xué)習(xí)的過程能順利進(jìn)行。PISA2021在試題編制中滲透了21 世紀(jì)技能的相關(guān)內(nèi)容，這些技能與我國當(dāng)前發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)是一致的。因此，對PISA2021試題的分析，能對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及進(jìn)行相關(guān)評價有所借鑒和啟示。