曹宏舉， 郭巧麗

(1.大連外國語大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 大連116044； 2.大連東軟信息學(xué)院 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，遼寧 大連116026)

1 引 言

線性代數(shù)是理工、經(jīng)管類等專業(yè)學(xué)生必修的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，并且現(xiàn)在線性代數(shù)已經(jīng)滲透到工程、經(jīng)濟(jì)、信息、社會等各個領(lǐng)域[1].但因為線性代數(shù)本身計算復(fù)雜、高度抽象、邏輯性強(qiáng)、概念多和結(jié)論多等特點，再加上傳統(tǒng)教學(xué)重計算、重推理、輕應(yīng)用，導(dǎo)致課程枯燥乏味，學(xué)生學(xué)習(xí)時往往不知道該課程的用處.這就使得學(xué)生不知為何學(xué)、不知學(xué)有何用，從而喪失了學(xué)習(xí)的興趣和動力，最終學(xué)生認(rèn)為課程難學(xué)、老師認(rèn)為課程難教.在教育部號召“金課”的背景下，如何打破學(xué)與用之間的壁壘，為學(xué)生打開一扇窗，讓學(xué)生在陰暗枯燥的學(xué)習(xí)暗室內(nèi)可以看到窗外繁盛的應(yīng)用之花，正是本文要討論的內(nèi)容.

2 強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用教學(xué)的必要性

(i)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)在能動性的需要.傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)忽視了應(yīng)用的教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生要么在“將來肯定能用的上”的自我安慰中悶頭學(xué)習(xí)，要么在“學(xué)這何用”的質(zhì)疑中放棄[2].通過強(qiáng)化應(yīng)用教學(xué)，可以讓學(xué)生更好地了解到線性代數(shù)的應(yīng)用，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣，從而實現(xiàn)“要我學(xué)”到“我要學(xué)”的轉(zhuǎn)變.

(ii)提升教師自身教學(xué)水平的需要.如果授課教師長時間按照傳統(tǒng)教學(xué)方式講解傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容，會使得自己的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式與時代越來越脫節(jié)，這無益于提升自己的教學(xué)水平、改善教學(xué)效果、完成“立德樹人”的根本任務(wù).反之，如果老師能夠充分認(rèn)識到加強(qiáng)應(yīng)用教學(xué)的重要性，積極尋找相關(guān)應(yīng)用的切入點，既可以更新自己的知識結(jié)構(gòu)，使自己的知識獲得源頭活水，也能夠更好地充實教學(xué)內(nèi)容、提升教學(xué)水平、改善教學(xué)效果.

(iii)打造“金課”、破除“水課”的需要.2018年11月，教育部高教司吳巖司長提出了“金課”的標(biāo)準(zhǔn)，即高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度[3].高階性就是知識能力素質(zhì)的有機(jī)融合，是要培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合能力和高級思維；創(chuàng)新性是指課程內(nèi)容要反映前沿性和時代性，教學(xué)形式呈現(xiàn)先進(jìn)性和互動性，學(xué)習(xí)結(jié)果具有探究性和個性化；挑戰(zhàn)度是指課程要有一定難度，需要跳一跳才能夠得著，老師備課和學(xué)生課下有較高要求.通過強(qiáng)化線性代數(shù)的應(yīng)用教學(xué)，特別是和現(xiàn)代工程技術(shù)相關(guān)的應(yīng)用，可以更好地擠壓課程的水分、提高課程的含金量.

(iv)落實學(xué)院人才培養(yǎng)目標(biāo)的需要.因為筆者教授的學(xué)生均為我校軟件學(xué)院學(xué)生，所以線性代數(shù)教學(xué)改革服務(wù)于學(xué)院的辦學(xué)定位和人才培養(yǎng)目標(biāo).我院面向東北亞區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展和軟件行業(yè)，以行業(yè)需求為導(dǎo)向、以工程實際為背景、以工程技術(shù)為主線，構(gòu)建了“基本技能培養(yǎng)、專業(yè)技能培訓(xùn)、綜合技能培育”上下貫通的多層次實踐教學(xué)體系，同時具備外語院校語言優(yōu)勢和IT企業(yè)資源綜合優(yōu)勢，著重培養(yǎng)兼具中國情懷和國際化視野的“計算機(jī)+外語”應(yīng)用型人才.通過強(qiáng)化線性代數(shù)的應(yīng)用教學(xué)，一方面可以讓學(xué)生了解線性代數(shù)的工程實際背景，讓他們較深入地了解線性代數(shù)應(yīng)用和工程技術(shù)的緊密關(guān)系，達(dá)到培養(yǎng)基本技能、培訓(xùn)專業(yè)技能和培育綜合技能的目標(biāo)；另一方面，加強(qiáng)線性代數(shù)的應(yīng)用教學(xué)，也可以為學(xué)生從事工程技術(shù)的學(xué)習(xí)和工作奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

3 強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用教學(xué)的實踐

3.1 強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用教學(xué)的原則

基于強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用教學(xué)的必要性分析，立足我院實際，我們積極穩(wěn)妥地開展相關(guān)實踐，并借鑒了李大潛院士在[4]中提出的將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程的意見，堅持以下原則：

(i)線性代數(shù)為主、相關(guān)應(yīng)用為輔的原則.順利完成線性代數(shù)的教學(xué)任務(wù)、保證線性代數(shù)的教學(xué)效果，是進(jìn)行相關(guān)教學(xué)改革的出發(fā)點和落腳點.強(qiáng)化線性代數(shù)的應(yīng)用教學(xué)，是這些改革的一個切入點，不能用線性代數(shù)的應(yīng)用教學(xué)代替線性代數(shù)教學(xué)，防止應(yīng)用喧賓奪主，否則只會過度增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，最終使學(xué)生線性代數(shù)基礎(chǔ)知識和線性代數(shù)應(yīng)用兩個方面都掌握不好.

(ii)自然、有效、簡潔的原則.教學(xué)時選用的線性代數(shù)的應(yīng)用應(yīng)該不需要太多的鋪陳，通過簡短的介紹，就可以讓應(yīng)用與線性代數(shù)相關(guān)知識自然、有效地結(jié)合.這種水到渠成的結(jié)合，可以讓學(xué)生輕松地感受到線性代數(shù)知識和相關(guān)應(yīng)用之間的銜接，從而使學(xué)生體驗到線性代數(shù)知識在實際中的廣泛應(yīng)用.

(iii)碎片化的原則.強(qiáng)化線性代數(shù)的應(yīng)用教學(xué)，不追求這些應(yīng)用自成體系、自我完善，選擇線性代數(shù)的有關(guān)知識，進(jìn)行碎片化的應(yīng)用講解，利用這些應(yīng)用增加相關(guān)知識的趣味性和實用性.

3.2 強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用教學(xué)的內(nèi)容選擇

線性代數(shù)中有很多知識點都有極強(qiáng)的應(yīng)用背景，在準(zhǔn)備線性代數(shù)的應(yīng)用素材時，我們參閱了大量的教材和論文，并從中進(jìn)行精心選擇，匯總?cè)绫?所示.

表1 線性代數(shù)知識及其應(yīng)用

(續(xù)表1)

表1中8、10、11、13、14，涉及到的線性代數(shù)知識比較綜合，具有一定的挑戰(zhàn)性，需要略微鋪陳或推導(dǎo)；其余的應(yīng)用涉及到的線性代數(shù)的知識都較為簡單，對學(xué)生來說挑戰(zhàn)性不太大，相關(guān)應(yīng)用可以在講課時作為例題講解，不需要額外花費(fèi)太多時間.

3.3 強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模的區(qū)別

需要說明的是，本文所說的強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模有很多的不同：

(i)過程不同.數(shù)學(xué)建模，是根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實際問題，每一個環(huán)節(jié)都需要過渡和訓(xùn)練；強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用，是針對線性代數(shù)的某些知識點，通過強(qiáng)化應(yīng)用以增加有關(guān)知識的趣味性，讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)到有關(guān)知識，這些知識點和應(yīng)用之間的銜接較為簡單、直接，不需要或者不需要太多鋪陳和訓(xùn)練.

(ii)目的不同.數(shù)學(xué)建模，是為了訓(xùn)練學(xué)生分析實際問題、建立數(shù)學(xué)模型、利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行相關(guān)計算和根據(jù)計算結(jié)果去解決實際問題的能力；強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用，則是為了讓學(xué)生更好地掌握線性代數(shù)中的相關(guān)知識點，把數(shù)學(xué)應(yīng)用作為更好地完成教學(xué)目標(biāo)的輔助手段.

(iii)要求不同.數(shù)學(xué)建模，作為一個完整的過程，每個環(huán)節(jié)都必須讓學(xué)生得到較為系統(tǒng)的訓(xùn)練，使學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建?？梢垣@得一定的分析問題和解決問題的能力；強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用，是為了增加有關(guān)知識點的實用性和趣味性，因此對于應(yīng)用的要求較為靈活.

4 調(diào)查與反饋

為了貫徹教育部有關(guān)“金課”標(biāo)準(zhǔn)的要求，也為了增加學(xué)生對工程實際背景的了解、培養(yǎng)學(xué)生的工程技術(shù)素養(yǎng)，在筆者進(jìn)行的教學(xué)實踐中，表1中標(biāo)號為2、8、11、13、14的應(yīng)用都是相關(guān)班級必講的內(nèi)容；表1中標(biāo)號為10的應(yīng)用因為較復(fù)雜，在教學(xué)過程中，是作為素材提供給學(xué)生，供學(xué)生自學(xué)；表1中列舉的其余應(yīng)用，我們所使用的教材[5]中已經(jīng)詳細(xì)給出了講解，因此我們會根據(jù)具體情況，有選擇性地進(jìn)行講解.課程結(jié)束時，對加強(qiáng)線性代數(shù)應(yīng)用的教與學(xué)的情況進(jìn)行了調(diào)查.共計發(fā)放調(diào)查問卷153份，回收問卷127份，均為有效問卷.

4.1 強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用教學(xué)的必要性認(rèn)知調(diào)查

為了解學(xué)生對于線性代數(shù)應(yīng)用教學(xué)的必要性認(rèn)知，設(shè)計了三個問題，問題及調(diào)查結(jié)果如表2所示，表中數(shù)字是選擇該選項的學(xué)生的占比，后文表格中數(shù)字同理.

表2 強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用教學(xué)的必要性認(rèn)知的問題設(shè)置及調(diào)查結(jié)果

以上問題表明:相當(dāng)高比例(89.8%)的同學(xué)對線性代數(shù)的應(yīng)用性抱有懷疑或疑惑的態(tài)度，如果老師不及時增加線性代數(shù)應(yīng)用的教學(xué)，隨著學(xué)習(xí)難度的加大、知識的累計和問題的疊加，學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的內(nèi)在動力必然會逐漸受到打擊.此外，大部分同學(xué)也希望在課程的學(xué)習(xí)過程中能夠涉及到一些線性代數(shù)的應(yīng)用，同時他們又不希望給自己帶來太大壓力.

4.2 線性代數(shù)應(yīng)用的自學(xué)情況調(diào)查

為了解學(xué)生對于線性代數(shù)應(yīng)用的自學(xué)情況，設(shè)計了四個問題，問題及調(diào)查結(jié)果如表3所示.

表3 線性代數(shù)應(yīng)用的自學(xué)情況的問題設(shè)置及調(diào)查結(jié)果

以上問題表明：學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)應(yīng)用時，對課堂教學(xué)存在一定的依賴性.這就要求老師要結(jié)合學(xué)生的實際需求和接受能力，在內(nèi)容選擇、講解方式等方面進(jìn)行更精心的準(zhǔn)備.

4.3 強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用的教學(xué)情況調(diào)查

為了解學(xué)生對于線性代數(shù)應(yīng)用教學(xué)情況的體會，設(shè)計了四個問題，問題及調(diào)查結(jié)果如表4所示.

表4 強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用的教學(xué)情況問題設(shè)置及調(diào)查結(jié)果

以上問題表明：通過線性代數(shù)應(yīng)用的教學(xué)，學(xué)生對于線性代數(shù)應(yīng)用的認(rèn)知得到了進(jìn)一步提高，同時也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣.因此，99.2%的學(xué)生對于我們加強(qiáng)線性代數(shù)應(yīng)用的教學(xué)改革持肯定態(tài)度.

關(guān)于“就我們講的線性代數(shù)的應(yīng)用的數(shù)量，你的感覺是”，需要說明的是：鑒于筆者著重講解的為表1中的標(biāo)號為2、8、11、13、14的應(yīng)用，屬于難度較大的應(yīng)用，特別是奇異值分解(表1中的標(biāo)號為14)，有41.7%的同學(xué)認(rèn)為它在這五個應(yīng)用中是最難的；而最小二乘法(表1中的標(biāo)號為8)，因為筆者是從微積分的角度切入，過渡到線性代數(shù)，學(xué)生接受起來較為容易，因此有66.1%的同學(xué)認(rèn)為它是最簡單的(排名第一)，同時也有33.1%的同學(xué)表示最感興趣(排名第一).由此可見，在講解線性代數(shù)應(yīng)用時，既要考慮“金課”的標(biāo)準(zhǔn)，同時也要考慮學(xué)生的基礎(chǔ)和接受程度，另外任課教師講解有關(guān)內(nèi)容時也要注意方式和方法.

5 調(diào)查綜合分析

本論文設(shè)計的調(diào)查問卷涵蓋了強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用教學(xué)的必要性、教學(xué)各個環(huán)節(jié)和教學(xué)效果等多方面的問題，主要反映出來的問題有：

(i)對應(yīng)用教學(xué)的必要性認(rèn)知和學(xué)習(xí)主動性之間的差異

問題 盡管93.7%的同學(xué)認(rèn)為有必要加強(qiáng)線性代數(shù)應(yīng)用的教學(xué)，并且55.9%的同學(xué)也反應(yīng)通過加強(qiáng)線性代數(shù)應(yīng)用的教學(xué)，可以提高自己的學(xué)習(xí)興趣，但如果只把材料提供給學(xué)生，完全讓學(xué)生自學(xué)，就會有56.7%的學(xué)生不能自學(xué)相關(guān)內(nèi)容.

措施 一方面需要注意通過布置學(xué)習(xí)任務(wù)、設(shè)置學(xué)習(xí)小組等方式，督促學(xué)生完成一些相對簡單的應(yīng)用的學(xué)習(xí)；另一方面，任課教師可以在課堂上對一些應(yīng)用進(jìn)行點題、指導(dǎo)或詳細(xì)講解等多種方式進(jìn)行學(xué)習(xí)引領(lǐng).經(jīng)過教和學(xué)兩方面努力，進(jìn)一步提升學(xué)生的自學(xué)能力、幫助學(xué)生打開線性代數(shù)的應(yīng)用之門.

(ii)“金課”標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生接受能力之間的差異

問題 從“金課”的標(biāo)準(zhǔn)上講，講授線性代數(shù)的應(yīng)用需要一定的難度；考慮到學(xué)生的接受能力和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等因素，如果講的線性代數(shù)的應(yīng)用太難，又會讓學(xué)生望而生畏，反而進(jìn)一步打擊了學(xué)生學(xué)習(xí)的信心和興趣.如奇異值分解，本來是線性代數(shù)的一個很重要的應(yīng)用，但從講解的效果看，相對于41.7%的學(xué)生的接受能力和基礎(chǔ)而言，還是有些偏難.

措施 任課老師要平衡好“金課”標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的接受能力，防止二者之間出現(xiàn)難以逾越的鴻溝，要讓老師的講解和相關(guān)素材的提供能夠架起一座溝通之橋，使學(xué)生通過一定的努力即可以完成相關(guān)應(yīng)用，讓學(xué)生能夠在線性代數(shù)基礎(chǔ)知識和線性代數(shù)應(yīng)用兩方面都有收獲.

6 下一步設(shè)想

強(qiáng)化線性代數(shù)應(yīng)用是我們推進(jìn)線性代數(shù)教學(xué)改革、增加線性代數(shù)課程含金量、強(qiáng)化課程工程實際背景的一個嘗試.根據(jù)調(diào)查問卷、個別訪談以及課堂觀察等渠道獲得的信息，可以從以下三個方面進(jìn)行繼續(xù)探索：

(i)實施翻轉(zhuǎn)課堂.因為線性代數(shù)的應(yīng)用范圍較廣，再加上線性代數(shù)課時、班型等方面的限制，所以完全依賴課堂講解來推進(jìn)線性代數(shù)應(yīng)用的教學(xué)非常不現(xiàn)實.考慮到學(xué)生在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和接受能力等方面的差異，同時為了督導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)應(yīng)用，可以實施翻轉(zhuǎn)課堂，即：由教師提供一些有關(guān)線性代數(shù)應(yīng)用的課題或?qū)W習(xí)指導(dǎo)，讓學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組，小組成員之間相互配合、分工協(xié)作，在課前完成相關(guān)應(yīng)用的主要學(xué)習(xí)，老師在課堂上再進(jìn)行必要補(bǔ)充、檢測或完善.

(ii)開展數(shù)學(xué)實驗.線性代數(shù)的計算較多，特別是涉及到矩陣的初等變換，對此，在確保學(xué)生已經(jīng)基本掌握相關(guān)計算的前提下，可以適當(dāng)減少不必要的繁瑣計算；通過例題等方式直觀展示一些結(jié)論，適當(dāng)減少理論推導(dǎo)；引導(dǎo)學(xué)生利用MATLAB等軟件進(jìn)行科學(xué)計算，對有關(guān)知識進(jìn)行驗證或歸納.這樣做的優(yōu)點是[15]：一方面能節(jié)省課堂教學(xué)時間，讓老師有更多的時間講解線性代數(shù)的應(yīng)用；另一方面也能讓學(xué)生從復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算中解脫出來，從而更有精力和心情去了解線性代數(shù)的應(yīng)用.此外，熟練操作MATLAB軟件，也是現(xiàn)代工程領(lǐng)域的必備素養(yǎng)之一，通過把線性代數(shù)和MATLAB相結(jié)合，也能培養(yǎng)學(xué)生的工程技術(shù)素養(yǎng).

(iii)探索教學(xué)內(nèi)容.任課教師要發(fā)揮團(tuán)隊優(yōu)勢，多方面搜集、整理和研習(xí)線性代數(shù)的相關(guān)應(yīng)用，特別是與自己研究方向有關(guān)的一些簡單應(yīng)用.通過給學(xué)生介紹貼近工程實際、體現(xiàn)工程技術(shù)的線性代數(shù)應(yīng)用的素材，讓學(xué)生從中了解到線性代數(shù)與前沿科技的銜接，激發(fā)學(xué)生的興趣、訓(xùn)練學(xué)生的基礎(chǔ)，教師甚至可以從中發(fā)現(xiàn)具有一定研究能力的學(xué)生，并將其吸納到自己的研究團(tuán)隊，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

7 結(jié) 論

在線性代數(shù)教學(xué)過程中增加有關(guān)知識的應(yīng)用的講解，是我們貫徹教育部倡導(dǎo)的“金課”標(biāo)準(zhǔn)的一個嘗試，也是執(zhí)行我院的發(fā)展定位和人才培養(yǎng)目標(biāo)的一個舉措.教學(xué)實踐表明，這項教學(xué)實驗不僅契合了學(xué)生了解線性代數(shù)應(yīng)用的需求，而且可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到了我們預(yù)設(shè)的目標(biāo).但一方面需要照顧到課時、學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)興趣和課余時間等諸多限制，另一方面需要根據(jù)“金課”標(biāo)準(zhǔn)，確定素材的選擇、講解的難度、應(yīng)用的深度等，如何平衡這兩方面的需求，也需要在后續(xù)教學(xué)實踐中不斷完善.

致謝作者非常感謝相關(guān)參考文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.