嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣的逆矩陣的無(wú)窮大范數(shù)的上界估計(jì)

趙仁慶, 甘小艇, 張 坤

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 楚雄 675000)

1 引言

M-矩陣在矩陣論、計(jì)算數(shù)學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等諸多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用價(jià)值，由于M-矩陣為這些問(wèn)題的研究和解決提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而被許多學(xué)者關(guān)注和研究[1-12]，在這些研究中嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣A的逆矩陣的無(wú)窮大范數(shù)//A?1//∞上界估計(jì)是其熱點(diǎn)之一.本文繼續(xù)這些問(wèn)題的研究，給出了//A?1//∞上界的新估計(jì)式，這些估計(jì)式推廣了前人的研究結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

為敘述方便，先給出本文需要用到的一些記號(hào).

用Rm×n表示m×n階實(shí)矩陣的集合，記N={1,2,··· ,n}，設(shè)A= (aij)∈Rn×n且aii ?=0，

定義1[1]設(shè)A= (aij)∈Rn×n，如果對(duì)任意的i,j ∈N, i ?=j，都有aij ≤0，則稱A為Z矩陣，記為A ∈Zn×n.

定義2[1]設(shè)A= (aij)∈Rn×n，如果對(duì)任意的i,j ∈N, i ?=j，都有aij ≥0，則稱A為非負(fù)矩陣，記為A ≥0.

定義3[1]設(shè)A為Z矩陣，A可逆且A?1≥0，則稱A為非奇異M-矩陣.

定義4[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，如果滿足下列條件：

1)|aii|≥∑j?=i|aij|, i ∈N；

2)J(A)?=?；

3) 對(duì)于任意i ∈N, i/∈J(A)，存在非零元素序列aii1ai1i2···airk，其中i ?=i1,i1?=i2,··· ,ir ?=k, k ∈J(A)，則稱A為弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣.

定義5[2]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，若J(A)=N，則稱A為行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

注1 由定義4 和定義5 可知，如果A為行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A為弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理1[2]設(shè)A= (aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則A(k,n)(k= 1,··· ,n ?1)也是弱鏈對(duì)角占優(yōu)的M-矩陣.這里A(n1,n2)表示由A= (aij)∈Rn×n的n1至n2行和n1至n2列的元素組成的子矩陣.

引理2[2]A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，B=A(2,n), A?1=(αij)ni,j=1,B?1=(βij)ni,j=2，對(duì)任意i,j ∈N，有

其中

引理3[3]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

3 //A?1//∞的上界估計(jì)

本節(jié)討論嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣A的//A?1//∞的上界估計(jì)，為此先給出如下引理.

引理4[5]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則A?1=(αij)滿足

引理5設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則A?1=(αij)滿足

當(dāng)i=1 時(shí)，有

令

由引理4 得

即

得

令上式中ε →0，得

引理6設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則A?1=(αij)滿足

證明 由引理5 得

故

證明 設(shè)

則

由引理2、(1)式和(5)式，可得

當(dāng)2≤i ≤n時(shí)，由引理2 和(4)式，得

故當(dāng)2≤i ≤n，由引理2、(4)式和(7)式，可知

若r1≤l1r1+MB，則

若r1>l1r1+MB，則

綜上有

對(duì)定理1 利用迭代法可得如下結(jié)論.

定理2設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

知

故定理2 改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]的定理3.2，進(jìn)而優(yōu)于文獻(xiàn)[2]中定理3.3 和文獻(xiàn)[3]中定理3.4.

推論1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則A的最小特征值滿足

4 數(shù)值算例

例1 設(shè)顯然A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，用Matlab 計(jì)算得//A?1//∞=10.應(yīng)用文獻(xiàn)[2–4]中的估計(jì)式分別計(jì)算得

應(yīng)用本文定理2 得//A?1//∞≤83.2786.

5 結(jié)論

文中給出了嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M矩陣的逆矩陣的無(wú)窮大范數(shù)上界的新估計(jì)式，改進(jìn)了文獻(xiàn)[2–4]中的相關(guān)結(jié)果.數(shù)值算例也表明新估計(jì)式比文獻(xiàn)[2–4]中的結(jié)果更精確.