鄭麗文 鄧玉娟

摘要：雞蛋外殼的形狀是一個非規(guī)則的橢球體.在SolidWorks 中建立三維模型導(dǎo)入到有限元軟件ABAQUS進(jìn)行受力分析，研究雞蛋殼在外壓作用下的應(yīng)力分布情況;同時考慮雞蛋殼的自由振動情況，研究雞蛋殼在自由振動情形下結(jié)構(gòu)模態(tài)情況，利用ABAQUS軟件計(jì)算其自由模態(tài).

關(guān)鍵詞：雞蛋殼;自由振動;模態(tài)分析;ABAQUS

緒論：

國內(nèi)外許多學(xué)者進(jìn)行了雞蛋力學(xué)特性的研究，許多都是在靜態(tài)力作用來研究雞蛋的力學(xué)特性，如把雞蛋放到兩塊鋼板之間進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)。如NIALL MACLEOD[1]研究了不同加載方式下的雞蛋外殼的裂紋擴(kuò)展。但由于準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)要求的設(shè)備比較昂貴，使得它的普及性并不是那么廣。另一方面隨著有限元技術(shù)的發(fā)展，使得用有限元來模擬生活中的力學(xué)事件變得非常便捷。但是由于雞蛋的內(nèi)部結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，許多學(xué)者在建立雞蛋的有限元模型時往往都是不考慮雞蛋的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只是模擬出了雞蛋的外殼[2-3]。如COUCKE[4]研究了雞蛋的振動特性，研究了不同的材料和結(jié)構(gòu)對剛度的影響。

以上研究對深入理解雞蛋結(jié)構(gòu)有限元具有重要意義[5]?；谝陨嫌懻摚卷?xiàng)目將通過幾何、物理學(xué)和力學(xué)特性，通過三維建模軟件建立一個雞蛋外殼的基本模型導(dǎo)入到ABAQUS，建立一個雞蛋外殼的FEM模型。應(yīng)用所建立的模型進(jìn)一步研究雞蛋殼在外部壓力和自由振動狀態(tài)下雞蛋殼的應(yīng)力分布。

一、雞蛋殼的外形結(jié)構(gòu)與應(yīng)力分析

1.雞蛋殼的外形結(jié)構(gòu)

雞蛋的外殼形狀是一個非規(guī)則的橢球體，它的外殼形狀的參數(shù)方程中參數(shù)有長軸，短軸和蛋形角，參數(shù)蛋形角使得雞蛋有大頭和小頭而不同于一般的橢球體。同時雞蛋也是一個旋轉(zhuǎn)殼體，旋轉(zhuǎn)殼體是指以任意直線或曲線作為母線繞其同平面內(nèi)的軸線旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)曲面。不同的平面曲線，得到的回轉(zhuǎn)殼體的形狀也不同。例如：與軸線平行的直線繞軸旋轉(zhuǎn)形成圓柱殼;與軸線相交的直線繞軸旋轉(zhuǎn)形成圓錐殼;圓形曲線繞軸旋轉(zhuǎn)形成球殼。

有關(guān)彈性薄殼的定義，當(dāng)物體的厚度與其中面曲率半徑之比小于1/10則屬于薄殼。由于雞蛋殼的厚度很小，與最小的曲率半徑之比也非常小，因此雞蛋殼屬于彈性薄殼。形狀如圖（1）。外形參數(shù)方程為

雞蛋的外殼屬于非規(guī)則橢球結(jié)構(gòu)外形如圖（2）所示：

2.蛋殼的材料參數(shù)

通常測定雞蛋的強(qiáng)度是通過雞蛋的靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)來完成，壓縮時一開始力與變形成正比，壓縮的力與位移之間呈線性關(guān)系，隨著壓縮力的增大達(dá)到臨界值的時候，雞蛋抵抗變形的能力立即下降，本文中材料參數(shù)參照農(nóng)業(yè)工程學(xué)會有關(guān)雞蛋殼的彈性模量與泊松比和蛋殼密度分別 E=30000Mpa=0.25=2.532。

二、有限元理論應(yīng)用到薄板結(jié)構(gòu)

有限元分析是利用仿真分析的方法來代替真實(shí)樣品的試驗(yàn)。在汽車設(shè)計(jì)領(lǐng)域用碰撞的仿真分析來代替真實(shí)車輛的碰撞，會變得非常便捷;在機(jī)械上的許多產(chǎn)品的加工，如金屬板的成型，擠壓也可以用有限元進(jìn)行模擬;在電子工業(yè)中為了評估產(chǎn)品的質(zhì)量，仿真分析代替了真實(shí)的跌落實(shí)驗(yàn)。在土木工程中，仿真分析也可以應(yīng)用到施工過程?？梢哉f，有限元已經(jīng)滲透到工程中的各個領(lǐng)域種類。

有限元法是將一個幾何形狀進(jìn)行離散，離散的單元通過節(jié)點(diǎn)來進(jìn)行連接，有限元方法的分析步驟主要包括以下5個方面：

（1）建立有限元模型。

（2）推導(dǎo)方程的公式。

（3）單元的離散方程。

（4）求解方程。

（5）有限元結(jié)果的表達(dá)。

有限元方法概述：顯示和隱式有限元方法。有限元法的第一步都是對結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行離散分析，每一個單元則是代表了這一個結(jié)構(gòu)的一部分，同時這些單元是共用節(jié)點(diǎn)的，而一旦節(jié)點(diǎn)的位移已知，那么應(yīng)力應(yīng)變等其他的物理量就可以解出了。有限元方法有顯示解法和隱式的解法。下面以薄板彎曲的例子來說明有限元法。

工程中有很多的薄板構(gòu)件，當(dāng)薄板的厚度相比板的其它兩個方向的尺寸小的多的時候可以認(rèn)為是薄板，在垂直于板的力的作用下，板的中間平面變成了撓曲面。撓度為：

當(dāng)薄板發(fā)生彎曲變形有以下假設(shè)：

（1）薄板在彎曲的變形中，原薄板中面法線上的點(diǎn)則是變形后薄板撓曲面上法線上的點(diǎn)。這個假設(shè)成為直法線假設(shè)。

（2）在薄板的厚度方向上的擠壓變形忽略不計(jì)。

（3）在薄板的中面上沒有平面內(nèi)的收縮變形，只有彎曲變形。

與梁的彎曲變形相似，假設(shè)z為薄板上沿厚度方向上的點(diǎn)到薄板中面的距離，為各個點(diǎn)的應(yīng)變，為撓曲線沿x和y方向的曲率和扭曲率。

當(dāng)不考慮薄板厚度方向上的變形擠壓的時候，則薄板沿厚度方向上的各層材料都是屬于平面應(yīng)力狀態(tài)。對于薄板彎曲問題，只需要研究中面的變形情況，有板彎曲的基本假設(shè)可知，板的節(jié)點(diǎn)的位移包括點(diǎn)的撓度和繞其他兩個軸上的轉(zhuǎn)角，因此可以解得單剛，由單剛的疊加就可以得到總剛，在已知節(jié)點(diǎn)外力的分配下就可以求出節(jié)點(diǎn)的位移，隨著節(jié)點(diǎn)位移的解出就可以算出應(yīng)力應(yīng)變。

三、仿真分析

1.雞蛋殼在均布壓力作用下的應(yīng)力分析

按照雞蛋的模型導(dǎo)入裝配后創(chuàng)建一個Static General分析步step-1，設(shè)置Time period為2 s，雞蛋殼受到外部總載荷為1兆帕大小。單元格類型選擇Standard SC8R，加載下圖（3）所示，仿真得到應(yīng)力云圖如圖（4）所示。最大應(yīng)力為45.6MPa.從應(yīng)力云的分布來看，雞蛋外殼在均布載荷的作用下，其受應(yīng)力最大的地方為接近中性平面附近，小頭受力相對較小。

2.雞蛋殼自由模態(tài)分析

按照雞蛋的模型導(dǎo)入裝配后創(chuàng)建一個Frequency分析步step-1，設(shè)置Frequency Value為30。單元格類型選擇Standard SC8R，仿真得到自由振動情形下前6振動模態(tài)如下圖所示：

靜載作用下雞蛋外殼在均布載荷的作用下，其受應(yīng)力最大的地方為接近中性平面附近，小頭受力相對較小。雞蛋殼自由模態(tài)分析中前9階振動模態(tài)結(jié)果顯示，前9階振動模態(tài)雞蛋外殼的形狀沒有發(fā)生大的變形，第7階到第9階模態(tài)顯示雞蛋結(jié)構(gòu)發(fā)生了一定的變形。雞蛋殼自由振動外殼的應(yīng)力及形狀變化為雞蛋殼的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供一定的參考。

[1]Niall Macleod，Maureen M.Bain，John W.Hancock ，The Mechanics And Mechanisms Of Failure Of Hens' eggs[J].Int J Fract，2006（142）：29-41

[2]任奕林，王樹才，丁幼春，文友先.雞蛋殼生物力學(xué)特性分析及試驗(yàn)研究[J].農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2007：23-29.

[3]崔志平.雞蛋靜載特性分析及有限元研究[D].碩士論文，2009：48-50.

[4]P.Coucke，G.Jacobs，P.Sas， J. De Baerdemaeker，Comparative Analysis of the Static and Dynamic Mechanical Eggshell Behaviour of a Chicken Egg[J].Mechanical Engineering，2003[9]：1-5.

[5] 遲玉杰，于濱.淺析我國蛋品工業(yè)的現(xiàn)狀與特點(diǎn)[J].中國家禽，2008，30（2），6-8.

作者簡介：鄭麗文（1988-），女，碩士，講師，有限元仿真分析

基金項(xiàng)目：2019年衢州市科技局指導(dǎo)性項(xiàng)目（編號：2019019）基于abaqus生物結(jié)構(gòu)的有限元模型和碰撞動力學(xué)分析

（衢州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 衢州 324000）