非局部拋物方程組解的一致爆破及邊界層估計*

林志強

(福州理工學(xué)院，福建 福州 350506)

1 主要結(jié)果

考慮如下具有非局部化反應(yīng)源項的拋物型方程組初邊值問題的正解：

(1)

其中：Ω?RN(N≥1)為有界區(qū)域，邊界?Ω充分光滑；參數(shù)α1≥0,β1≥0,α2>0,β2>0；初值(u0(x),v0(x))是非負(fù)非平凡函數(shù)，u0(x),v0(x)∈C2+α(Ω)(α∈(0,1))，且滿足相容性條件.

有學(xué)者[1-5]研究了局部或者非局部的拋物方程組初邊值問題解的爆破性質(zhì).筆者主要研究爆破解的一致爆破和邊界層估計，在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上得到以下結(jié)論：

定理1若以下任一條件成立：α1>1;β2>1;0<α1≤1,0<β2≤1,β1α2>(α1-1)(β2-1).則對于大初值，解(u(x,t),v(x,t))在有限時刻爆破.

證明參見文獻(xiàn)[1]中的定理2.

定理2設(shè)(u(x,t),v(x,t))是方程組初邊值問題(1)的解，若u(x,t)和v(x,t)在有限時刻同時爆破，則參數(shù)滿足α2≥α1-1,β1≥β2-1，或者α2<α1-1,β1<β2-1.

定理3設(shè)(u(x,t),v(x,t))是方程組初邊值問題(1)的解，且在有限時刻爆破，若α2≥α1-1,β1≥β2-1，則u(x,t)和v(x,t)同時爆破.

定理4假設(shè)定理2的條件成立，則在Ω的任意緊子集上一致成立：

(ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1,β1α2>(α1-1)(β2-1), 或者α2<α1-1,β1<β2-1時，

(ⅱ)當(dāng)α2=α1-1,β1>β2-1時，

(ⅲ)當(dāng)α2>α1-1,β1=β2-1時，

(ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時，

定理5假設(shè)定理4(ⅰ)的條件成立，則對于所有的C,存在t0∈(0,T),k2≥k1>0,使得

定理6假設(shè)定理4(ⅰ)的條件成立，且θ1>1,θ2>1，則存在k3>0,t0∈(0,T),對于?(x,t)∈Ω×[t0,T)，有

2 一致爆破模式

為了方便，記

定義1設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在[0，T)的函數(shù)，若存在0

引理1[5]假設(shè)定理2的條件成立，則

0≤u(x,t)≤k2+F1(t),0≤v(x,t)≤k2+F2(t)；

(ⅲ)在Ω的任意緊子集上一致成立

如果僅假定u在有限時刻T爆破，那么這些結(jié)論對u和F1成立；同理，如果僅假定v在有限時刻T爆破，那么這些結(jié)論對v和F2成立.

定理2的證明由引理1(ⅲ)可知u(x,t)～F1(t),v(x,t)～F2(t)，因此

(2)

由(2)式可知

(3)

當(dāng)α2≥α1-1時，假定β1<β2-1.對(3)式兩邊積分，分2種情況來討論：當(dāng)α2=α1-1時，有

當(dāng)α2>α1-1時，有

類似地，可以證明α2<α1-1,β1<β2-1.

證畢.

定理3的證明假定u在有限時刻爆破，v在Ω×(0,T)非負(fù)有界，由引理1(ⅲ)可知u(x,t)～F1(t)，因此

因為v(x,t)非負(fù)有界，所以在Ω×(0,T)上，v(x,t)≥k>0,其中k>0.于是存在常數(shù)0

(4)

(5)

由(5)式可得

證畢.

為了證明定理4，先引入如下結(jié)果：

引理2假設(shè)定理2的條件成立，則有：

(ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1,或者α2<α1-1,β1<β2-1時，

(ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時,lnF1(t)～lnF2(t).

證明因為

所以

(6)

(ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1時，對(6)式兩邊從t0(>0)到t積分，可得

(ⅱ)當(dāng)α2=α1-1,β1>β2-1時，

(7)

對(7)式兩邊從t0(>0)到t積分，可得

(ⅲ)當(dāng)α2>α1-1,β1=β2-1時，

(8)

對(8)式兩邊從t0(>0)到t積分，可得

(ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時，

(9)

對(9)式兩邊從t0(>0)到t積分，可得

于是lnF1(t)～lnF2(t).

證畢.

定理4的證明

(10)

(11)

(ⅰ)當(dāng)α2>α1-1,β1>β2-1,或者α2<α1-1,β1<β2-1時.由(10)式和引理2(ⅰ)，有

于是

即

(12)

由

(13)

從而，在Ω的任意緊子集一致成立

故

同理，在Ω的任意緊子集一致成立

(ⅱ)當(dāng)α2=α1-1,β1>β2-1時.由引理2(ⅱ)，有

于是

(14)

(15)

根據(jù)L′Hospital法則，有

所以

(16)

由(15)，(16)式可得

(17)

由u(x,t)～F1(t)在Ω的緊子集一致成立,令

即

從而

(ⅲ)當(dāng)α2>α1-1,β1=β2-1時.證明與(ⅱ)類似，可得

(ⅳ)當(dāng)α2=α1-1,β1=β2-1時.由(10),(11)式可得

(18)

(19)

由(18)，(19)式可得

于是

(20)

由引理2(ⅳ)可知lnF1(t)～lnF2(t)，即

因此在Ω的任意緊子集一致成立

證畢.

3 邊界層估計

作為討論的基礎(chǔ)，引用文獻(xiàn)[5]中關(guān)于單個方程問題

(21)

引理3[5]假設(shè)g(t)≥0,w是問題(21)的解，且在有限時刻T爆破.若g(t)是標(biāo)準(zhǔn)的，則對于?C>0,存在t0∈(0,T),k2≥k1>0,使得

引理4[5]假設(shè)g(t)≥0,在[0，T)上連續(xù)，在(0,T)上H?lder連續(xù)，w是問題(21)的解，在有限時刻T爆破，且w0(Ω)∈C0(Ω).若G1(t)是標(biāo)準(zhǔn)的，則存在k3>0,t0∈(0,T),使得

定理5的證明由定理4(ⅰ)，有

已知f1(t)，f2(t)在[0，T)上連續(xù)，在(0,T)上H?lder連續(xù).由θ1>1,θ2>1，可得

(22)

(23)

證畢.

定理6的證明

(24)

(25)

對(24)，(25)式積分，可得

經(jīng)過計算可得

同理可得

因為-θ1<-1,-θ2<-1,所以F1(t)，F(xiàn)2(t)是標(biāo)準(zhǔn)的.由引理4可得

(26)

(27)

于是由(22)，(23)，(26)，(27)式可得：

證畢.