葛存飛，劉慶龍，徐志強，陳 榴

（1.杭州中能汽輪動力有限公司汽輪機研究所，杭州 310018；2.無錫市厚德自動化儀表有限公司，江蘇江陰 214413；3.上海理工大學能源與動力工程學院，上海 200093）

葉輪機械是能源轉(zhuǎn)化為電力最重要的動力機械，葉片作為實現(xiàn)動能轉(zhuǎn)化為機械能的重要做功部件，其安全性關(guān)系到整個葉輪機械的順利運行。葉片長期運行在極為復雜的工作條件下，并承受氣流沖擊以及旋轉(zhuǎn)機械振動等一系列力，因此葉片的振動安全性分析一直是葉片設計研發(fā)的難題之一。在蒸汽輪機中，特別是低壓級組中的長扭葉片設計最為復雜。從國內(nèi)數(shù)據(jù)看，末級葉片損壞占葉片故障統(tǒng)計總數(shù)的52.94%，其中60%～80%的葉片損壞的原因是振動疲勞損傷或者斷裂，因此研究長扭葉片振動安全性能尤為重要。

葉片激振力是指使葉片產(chǎn)生振動的脈沖氣流力等的作用力。研究激振力就是研究其發(fā)生機制，通過分析其大小和頻率，進而得到葉片振動疲勞特性。葉輪機械內(nèi)部流動本質(zhì)上是三維非定常復雜流動，非定常作用將直接在葉片上產(chǎn)生非定常負荷，引起葉片振動。早期的非定常研究主要依靠試驗和理論，很多學者把試驗結(jié)果與理論進行了對比，發(fā)現(xiàn)了試驗得到的結(jié)果與當時的一元理論相去甚遠［1］。隨著氣動理論的完善和計算流體力學（CFD）的發(fā)展，很多學者通過理論分析和數(shù)值模擬的方法對葉片非定常的受力進行分析研究［2-6］，并且得出了很多具有工程意義的結(jié)論。

目前，對于葉片受力的研究著重在各種不同的因素影響下的葉片振動激振力計算方法的研究［7］。但是這些計算方法只能得到非定常激振力的頻率，卻無法準確得到非定常激振力的數(shù)值。在理論推導中一般采用放大系數(shù)等的經(jīng)驗參數(shù)來估算。工程應用中針對具體葉片具體機組，經(jīng)驗參數(shù)波動較大，導致沒法得到精確結(jié)果。特別是末級扭葉片，受到排氣管或者排缸的徑向排汽結(jié)構(gòu)影響較大，末級扭葉片的研發(fā)通常需要攜帶排缸進行三維非定常分析［8］。這項數(shù)值分析任務需要末級動靜整圈葉柵和排缸耦合建模，規(guī)模龐大，研發(fā)工作可能需要幾個月甚至幾年，在實際設計研發(fā)中很少采用。多數(shù)研發(fā)和校核工作是在理論計算結(jié)合定常分析的基礎上進行的，所以確定性較差，對葉片疲勞壽命評估較為吃力。因此，有效地預估汽輪機中的非定常激振力特性，對提高汽輪機葉片的優(yōu)化設計具有重要的意義。本文在結(jié)合 TBR（transient blade row）［9］計算和定常 FFT（fast fourier transformation）變換的基礎上，提出了一種有效的非定常激振力的計算方法。

1 分析方法和理論

末級動葉受到的激振力有很多種，末級來說一般不存在部分進汽，故除開由于加工制造和安裝裝配引起的周向結(jié)構(gòu)不均勻以外，影響末級最大的兩個激振力因素是靜葉噴嘴出口的尾跡不均勻和排缸徑向排汽導致的周向不均勻。由于大功率發(fā)電用汽輪機的末級動葉片頻率基本上低于150 Hz。若靜葉噴嘴只數(shù)為60只，則靜葉噴嘴出口尾跡的不均勻激振力頻率至少應該為50 Hz×60＝3 000 Hz。該頻率遠遠大于150 Hz，因此靜葉噴嘴出口高頻激振力對末級影響很小。對于末級來說，主要的研究對象著重于排缸結(jié)構(gòu)引起的周向不均勻。

凝汽式汽輪機的背壓一般由凝汽器來維持穩(wěn)定。排缸一般都設計為徑向排汽，導致排缸在周向的靠近排汽位置側(cè)壓力較低，相應的另外一側(cè)壓力較高。末級動葉片在一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)將會經(jīng)歷一次壓力震蕩，每個旋轉(zhuǎn)周期所經(jīng)歷的壓力震蕩一致，因此引入傅里葉變換。傅里葉變換的思想可以簡述為，如果一個時域中的周期性函數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為一個繞著中心旋轉(zhuǎn)的柱坐標系上的頻域函數(shù)。其中的θ角即該頻域函數(shù)的相位角，其旋轉(zhuǎn)的時間函數(shù)t自變量轉(zhuǎn)變?yōu)棣兀魏我粋€滿足狄里赫萊條件的周期性函數(shù)可以用傅里葉級數(shù)進行展開。

傅里葉變換公式：

傅里葉變換實質(zhì)是時域轉(zhuǎn)化為頻域函數(shù)的過程，將原來關(guān)于時間t的時域函數(shù)f（t）轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率ω的頻域函數(shù)F（ω）。

傅里葉逆變換公式：

傅里葉逆變換的實質(zhì)是頻域轉(zhuǎn)化為時域函數(shù)的過程。

在末級動靜葉片與排缸組成的系統(tǒng)中，排缸對末級動葉的影響主要體現(xiàn)在壓力周向不均勻性。在末級扭葉片的激振力分析中引入傅里葉逆變換的思想：采用三維定常方法得到排缸參數(shù)（主要是壓力）沿周向分布，通過傅里葉逆變換，將動葉出口周向壓力分布轉(zhuǎn)化為關(guān)于時間的壓力脈動函數(shù)，作為單流道出口邊界條件，實現(xiàn)單流道模擬整圈排缸對動葉片的影響。末級動葉出口壓力隨時間的參數(shù)脈動是以汽輪機旋轉(zhuǎn)一周為周期而且實際運行連續(xù)，可劃分為有限個單調(diào)區(qū)間（圈數(shù)），壓力函數(shù)為有限值，且絕對可積，滿足狄里赫萊條件。

將末級動葉出口壓力P，沿周向按傅里葉級數(shù)展開，則有

式中：ω是旋轉(zhuǎn)角速度；ˉP是末級動葉出口壓力整圈按時間的平均值；k是末級動葉出口壓力脈動階次；PK是第k階末級動葉出口壓力值；φK是排汽壓力值的相位角。

動葉出口壓力脈動變?yōu)闀r域函數(shù)后，結(jié)合TBR（transient blade row）方法，利用單流道，采用非定常方法計算背壓不均勻性對動葉流場的影響，而不再使用動靜葉只數(shù)的最小公倍數(shù)流道，令網(wǎng)格規(guī)模成倍縮減，計算量大幅降低，計算效率增加。

2 計算流程和實例

圖1給出了計算流程圖。動葉出口壓力周向分布，需要通過整圈加排缸的三維定常耦合計算獲得。相對于非定常的耦合計算，其計算量及所需的計算資源都較少。一般的非定常計算需要多個時間步，除去前面參數(shù)波動未趨于穩(wěn)定的時間步以外，至少需要5～6個穩(wěn)定周期，而每個周期都需要多個時間步來計算。楊杰等［10］研究兩級渦輪葉片的定常與非定常比較發(fā)現(xiàn)，同樣的網(wǎng)格和計算域，非定常綜合成本大約是定常計算成本的176倍。按照一般的非定常耦合計算，本文計算的綜合成本可能超過200倍。而采用本文提出的在定常FFT變換的基礎上結(jié)合TBR計算，則可以節(jié)約大量的時間和綜合成本。

圖1 計算流程框圖

以某汽輪機組N50-8.83的末級葉片激振力計算為例，其末級葉片長度是668 mm，設計排汽壓力為8 kPa。假定定常計算結(jié)果經(jīng)過FFT變換以后，整圈動葉出口壓力隨時間的脈動函數(shù)P只有傅里葉一階級數(shù)，高階級數(shù)均為零。此時由于僅有一個Sin函數(shù)，其相位只與起始位置有關(guān)，而和其他波形沒有關(guān)系，故可令ψ1＝0，且可以假定脈動幅值p1為的1%。則有

圖2展示了作為P的壓力脈動隨時間的變化圖表，實際應用中分離出來末級出口壓力可能存在二階甚至高階級數(shù)，可以查看幅值大小確定影響，如果影響較小適當予以忽略。

圖2 壓力-時間脈動

將式（4）的壓力值放入單流道的模型中作為出口條件，末級進出口參數(shù)展示在表1中。其單流道模型，僅有一個動靜葉組流道，網(wǎng)格規(guī)模通過無關(guān)性驗證。靜葉片模型網(wǎng)格n數(shù)為20萬，動葉網(wǎng)格數(shù)為25萬。計算采用SST（shear stress transport）湍流模型，二階迎風空間格式計算，瞬態(tài)流場分析采用TBR模塊，瞬態(tài)計算時間步長為1e-5 s。

表1 末級邊界條件及非定常計算總時

3 結(jié)果分析

整個瞬態(tài)計算耗費資源見表2，可以看到對瞬態(tài)來說，由于僅采用單流道，其內(nèi)存和CPU使用量，運算總時間比較少，綜合成本下降較快。以綜合成本計算（計算總和成本為CPU內(nèi)存和時間乘積），單流道TBR計算資源是全環(huán)非定常計算的2.3‰，不計內(nèi)存資源，計算速度提升約8倍。

表2 末級單流道瞬態(tài)計算資源消耗

通對瞬態(tài)計算的結(jié)果進行后處理，提取壓力已經(jīng)穩(wěn)定的一個周期進行分析。圖3給出了4個不同時刻的動葉壓力云圖?？梢园l(fā)現(xiàn)在t＝0.025 s時刻，壓力均勻，出口面型底壓力出現(xiàn)了低壓區(qū)域，可能是瞬時出現(xiàn)了一定的回流。而在t＝0.027 5 s時入口面型底出現(xiàn)壓力峰值區(qū)域，呈長條形出現(xiàn)在壓力面的頭緣附近，其出氣邊型底壓力提升到背壓平均值上下。

圖3 不同時刻的動葉表面壓力云圖

在t＝0.03 s時刻，壓力峰值區(qū)域向葉片吸力面移動，尾緣附近出現(xiàn)同圖3（a）的小壓力情況，而在t＝0.032 5 s時刻，型底背壓出現(xiàn)壓力峰值，甚至其大小超過了入口壓力，可能是背壓調(diào)整和越過尾跡區(qū)域后突變引起的。可以從幾個圖中看到：壓力隨時間的變化呈周期性且變化較為明顯。瞬態(tài)葉片的受力和穩(wěn)態(tài)受力結(jié)果很不一樣，因此分析葉片詳細受力的時候必須通過瞬態(tài)流場計算再結(jié)合瞬態(tài)結(jié)構(gòu)分析才能得到最接近真實的結(jié)果。

為了更好地說明葉片受力隨時間的變化，對葉片表面力做FFT變換。在耦合計算中，直接提取葉片表面壓力隨時間的變化數(shù)值導入瞬態(tài)結(jié)構(gòu)分析中。在本文中由于不再具體進行瞬態(tài)結(jié)構(gòu)耦合分析，直接提取了葉片表面力（Force）作為研究對象。葉片表面力其實分為3個分量，本文提取了其中2個z和y、z向是軸向力，y是切向力（周向力）。圖4展示了2個方向力隨著時間的變化，其中圖4（a）顯示了葉片的軸向受力，僅提取了其中一個時間周期。可以看到：葉片受力的周期性比較明顯，且幅值也相應變化。圖4（c）顯示的結(jié)果幾乎與圖4（a）相同，唯一區(qū)別是幅值和相位有所差別。圖4（b）和圖4（d）分別顯示了軸向和周向受力葉片的FFT變換圖，其縱坐標是振幅（magnitude）。這兩圖中橫坐標0 Hz位置均出現(xiàn)非常高的幅值，可認為這就是葉片受力的傅里葉展開后的第0階級數(shù)的幅值，即葉片受力的時間平均值。Fz的時間平均值約為33 N，F(xiàn)y的時間平均值約為51 N。同時在0～200 Hz之間出現(xiàn)了一個較小的峰值，其頻率在50～100之間?？烧J為這個是由于背壓變化引起的傅里葉級數(shù)，但由于背壓變化可能影響級前壓力和靜葉的出口壓力分布，因此其產(chǎn)生的對葉片表面受力的激振頻率可能發(fā)生遷移。

圖4 軸向和周向葉片表面力及FFT變換

由于本次模擬的背壓一階幅值僅取了1%，其振幅較小。剩余兩個較大的峰值出現(xiàn)在1 000 Hz和2 000 Hz附近，這應該是由于靜葉噴嘴出口的尾跡不均勻?qū)е碌膭尤~壓力脈動頻率，由于背壓脈動導致了高階倍數(shù)頻率的出現(xiàn)。不過這個頻率距離葉片的固有頻率相去甚遠，不能激發(fā)葉片共振。

背壓頻域變化的加入導致了原有動葉片受力發(fā)生改變，且可能在動靜葉片之間也出現(xiàn)了壓力波動，因此對于該問題還需要進行更加詳細的分析。本文方法已被驗證是可行的，且計算時間和占用的系統(tǒng)資源遠遠小于傳統(tǒng)的非定常計算。

4 結(jié)論

1）FFT將空間轉(zhuǎn)換到時間，使定常數(shù)據(jù)可用于非定常計算。

2）利用FFT變換結(jié)合TBR方法實現(xiàn)瞬態(tài)單流道非定常計算方法模擬實際問題是可行的，TBR方法的計算綜合成本是全環(huán)非定常計算的2.3‰，不計內(nèi)存消耗，計算速度提升約8倍。

3）通過實例驗證了該方法的可行性和效率，并給出了計算結(jié)果。結(jié)果表明：其背壓壓力波動的存在影響了靜葉噴嘴出口壓力脈動大小和頻率。