趙 鵬，宋文波，李 璐

(1.北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044；2.中國鐵路成都局集團(tuán)有限公司 成都北車站，四川 成都 610500；3.中鐵信(北京)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)研究院有限公司，北京 100044)

目前同一OD間運(yùn)行的不同高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)列車，席位級(jí)別相同票價(jià)相同，不能反映列車間在運(yùn)行時(shí)間、發(fā)車時(shí)段等方面存在的差異性，也無法反映旅客對(duì)不同客運(yùn)產(chǎn)品的選擇偏好，造成相同OD間高鐵客運(yùn)產(chǎn)品能力利用緊張與虛糜共存的現(xiàn)象，影響收益的提升。而旅客的選擇偏好直接影響高鐵的收益，因此，綜合考慮旅客的出行選擇行為對(duì)相同OD間的高鐵客運(yùn)產(chǎn)品實(shí)施差別定價(jià)對(duì)于調(diào)節(jié)供需平衡、提高客運(yùn)收益具有重要意義。

針對(duì)旅客出行選擇行為及鐵路列車定價(jià)問題，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了深入研究。文獻(xiàn)[1]針對(duì)不同類型旅客的出行行為特征，分別構(gòu)建了商務(wù)旅客、休閑旅客的出行方式選擇模型。文獻(xiàn)[2]運(yùn)用隨機(jī)效用理論與時(shí)間分配模型，研究了旅客出行時(shí)間價(jià)值與票價(jià)、旅客收入水平及旅行時(shí)間的關(guān)系。文獻(xiàn)[3]通過研究高鐵與航空運(yùn)輸?shù)穆每瓦x擇行為，得到不同類型旅客的支付意愿。文獻(xiàn)[4]通過研究票價(jià)對(duì)需求變化的影響，利用鐵路與航空運(yùn)輸間的交叉價(jià)格彈性來改進(jìn)鐵路票價(jià)制定方法。文獻(xiàn)[5]研究了基于旅客出行時(shí)間價(jià)值的票價(jià)制定方法。文獻(xiàn)[6]分析旅客選擇行為，表明出發(fā)時(shí)段是旅客選擇的關(guān)鍵因素，并以此構(gòu)建考慮出發(fā)時(shí)段偏好的旅客平行車次選擇模型。文獻(xiàn)[7]研究了基于作業(yè)成本法的鐵路票價(jià)制定方法。文獻(xiàn)[8]探討了高鐵基準(zhǔn)票價(jià)制定方法。文獻(xiàn)[9-11]研究了多種交通方式競爭條件下的鐵路票價(jià)制定方法。文獻(xiàn)[12]在旅客市場細(xì)分的基礎(chǔ)上構(gòu)建了高鐵動(dòng)態(tài)定價(jià)的穩(wěn)健優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[13]構(gòu)建了基于旅客選擇效用最大化的時(shí)間價(jià)值模型及差別定價(jià)模型。文獻(xiàn)[14]研究了高鐵單列車、多區(qū)段的動(dòng)態(tài)定價(jià)及票額分配問題。文獻(xiàn)[15]研究了高鐵單列車、多列車的差異化動(dòng)態(tài)定價(jià)問題。但既有旅客選擇行為研究通常從宏觀上將高鐵列車作為一種運(yùn)輸方式，而未進(jìn)行精細(xì)化劃分，并且很少考慮同一OD間多列車之間的相互差異性[1-5]。在票價(jià)制定方面，既有文獻(xiàn)主要研究了基于成本[7-8]、多種交通方式選擇[9-11]、旅客市場細(xì)分[12]、旅客出行時(shí)間價(jià)值[13]的高鐵列車定價(jià)問題及單列車在單區(qū)段和多區(qū)段的定價(jià)策略[14-15]，而對(duì)于同一OD間多列車的差異化聯(lián)合定價(jià)研究較少。

本文針對(duì)既有研究的不足，從更加精細(xì)化的角度出發(fā)，充分考慮同一OD間不同高鐵列車在發(fā)車時(shí)段、運(yùn)行時(shí)間上的差異性，并以此為分類依據(jù)研究旅客對(duì)同一OD間不同高鐵客運(yùn)產(chǎn)品的選擇行為，在此基礎(chǔ)上，以鐵路部門為上層決策者，旅客為下層決策者，構(gòu)建以鐵路部門收益最大化，旅客廣義出行費(fèi)用最小化為目標(biāo)的高鐵客運(yùn)產(chǎn)品的差異化定價(jià)雙層規(guī)劃模型，并設(shè)計(jì)基于靈敏度分析的啟發(fā)式算法，最后通過實(shí)例驗(yàn)證模型的有效性。

1 問題分析

對(duì)同一OD間的高鐵客運(yùn)產(chǎn)品實(shí)施差別定價(jià)的關(guān)鍵是列車間具有差異性，并且旅客對(duì)這些差異性具有一定的選擇偏好，因此在進(jìn)行差別定價(jià)前需要分析旅客的選擇行為。

1.1 旅客出行選擇行為分析

高鐵的同一OD間通常運(yùn)行多趟列車，這些列車在發(fā)車時(shí)段、運(yùn)行時(shí)間上具有差異性，旅客在選擇時(shí)，通常會(huì)根據(jù)自身需求選擇效用最大化的客運(yùn)產(chǎn)品。本文根據(jù)同一OD間不同高鐵列車在運(yùn)行時(shí)間、發(fā)車時(shí)段、票價(jià)等方面的差異性，將高鐵客運(yùn)產(chǎn)品劃分為j種類型，如表1所示。由于目前同一OD間同等席別的高鐵客運(yùn)產(chǎn)品票價(jià)相同，當(dāng)將發(fā)車時(shí)段劃分為k個(gè)時(shí)段，運(yùn)行時(shí)間劃分為m個(gè)水平時(shí)，則可以將同一OD間的不同高鐵列車劃分為不同類型的客運(yùn)產(chǎn)品，即發(fā)車時(shí)段與運(yùn)行時(shí)間的交叉組合。

表1 高速鐵路客運(yùn)產(chǎn)品劃分

在不考慮隨機(jī)因素的影響下，旅客出行費(fèi)用是出行效用的相反數(shù)，假設(shè)同一OD間有N種高鐵客運(yùn)產(chǎn)品，旅客選擇第j(j=1,2,…,N，N=m×k)種產(chǎn)品的出行費(fèi)用為Cj。本文選取票價(jià)、運(yùn)行時(shí)間、發(fā)車時(shí)段為特性變量來描述旅客出行費(fèi)用，即

Cj=ω1Pj+ω2Tj+ω3D1+ω4D2+…+ωk+2Dk

(1)

式中：Pj為第j種產(chǎn)品的票價(jià)，元；Tj為第j種產(chǎn)品的運(yùn)行時(shí)間；Dk為第j種產(chǎn)品的發(fā)車時(shí)段，當(dāng)列車發(fā)車時(shí)段水平為k時(shí)，僅Dk=1，其余均取0；ω1、ω2、ωk+2分別為票價(jià)、運(yùn)行時(shí)間、發(fā)車時(shí)段的權(quán)重系數(shù)。

1.2 用戶均衡配流分析

旅客在選擇不同高鐵客運(yùn)產(chǎn)品出行時(shí)，根據(jù)效用最大化原則，通常會(huì)根據(jù)自身情況選擇效用最大即廣義出行費(fèi)用最小的產(chǎn)品。當(dāng)旅客選擇某一高鐵客運(yùn)產(chǎn)品出行時(shí)，該產(chǎn)品的客流需求會(huì)相應(yīng)增加，隨之帶來的是選擇該產(chǎn)品的廣義出行費(fèi)用的上升，例如票價(jià)上漲等情況，使得部分旅客放棄選擇該產(chǎn)品，而選擇其他廣義出行費(fèi)用較低的客運(yùn)產(chǎn)品，從而導(dǎo)致不同客運(yùn)產(chǎn)品的廣義出行費(fèi)用發(fā)生新的變化，旅客根據(jù)不同客運(yùn)產(chǎn)品廣義出行費(fèi)用的變化不斷調(diào)整選擇，最終使得各客運(yùn)產(chǎn)品間的廣義出行費(fèi)用相等，小于或等于未被選擇的客運(yùn)產(chǎn)品的廣義出行費(fèi)用，客流在各客運(yùn)產(chǎn)品間的分配更加均衡，即Wardrop原則。均衡配流模型為

(2)

(3)

式 (3)表示各客運(yùn)產(chǎn)品的客流量之和等于總的客流量。

2 高鐵差別定價(jià)雙層規(guī)劃模型構(gòu)建

高鐵客運(yùn)產(chǎn)品差別定價(jià)問題可以描述為以高鐵票價(jià)制定部門為上層決策者，旅客為下層決策者的雙層規(guī)劃問題。

上層模型中以鐵路部門在各OD各客運(yùn)產(chǎn)品獲得的客票收益最大化為目標(biāo)，其目標(biāo)函數(shù)為

(4)

OD對(duì)w間第j種產(chǎn)品票價(jià)的上下限約束為

(5)

考慮鐵路運(yùn)輸?shù)纳鐣?huì)公益服務(wù)特性，票價(jià)不能高于一個(gè)票價(jià)上限，防止運(yùn)輸能力緊張時(shí)期票價(jià)過高，造成社會(huì)不良影響。同時(shí)不得低于一個(gè)票價(jià)下限，防止鐵路票價(jià)過低造成收益損失。

下層模型從旅客出行的角度出發(fā)，目標(biāo)函數(shù)為旅客的廣義出行費(fèi)用最小，從式(1)中可以看出影響旅客出行費(fèi)用的主要因素是不同客運(yùn)產(chǎn)品的票價(jià)，旅客會(huì)根據(jù)不同客運(yùn)產(chǎn)品的票價(jià)做出相應(yīng)的選擇調(diào)整，最終使得不同客運(yùn)產(chǎn)品間的客流量達(dá)到相對(duì)均衡穩(wěn)定的狀態(tài)，下層模型為

(6)

(7)

(8)

式(7)為同一OD對(duì)w間不同高速鐵路客運(yùn)產(chǎn)品的客流量之和。式(8)保證各客運(yùn)產(chǎn)品的客流量非負(fù)。

不同OD間的需求函數(shù)可采用相同形式，但由于不同OD間起訖城市的發(fā)達(dá)水平不同，人們的出行需求也具有一定的差異性，因此對(duì)需求函數(shù)參數(shù)的影響程度也不同，需要對(duì)不同OD間的需求函數(shù)進(jìn)行具體分析[16]。需求函數(shù)為

Qw=ABh(uw)

(9)

式中：A、B分別為OD對(duì)w起訖城市的相關(guān)系數(shù)；h(uw)為最小廣義出行費(fèi)用uw的函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)。即當(dāng)uw增加時(shí)，Qw必然下降；由于不同OD的起訖城市間運(yùn)輸能力及其人口規(guī)模的限制，需求總量應(yīng)該是有界的。

而同一運(yùn)輸通道內(nèi)的運(yùn)輸需求總量通常不是一成不變的，其會(huì)隨著旅客廣義出行費(fèi)用的變化而發(fā)生改變，為了更加符合實(shí)際情況，在建模時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮需求的彈性變化，構(gòu)建彈性需求下的模型，因此對(duì)模型L1改進(jìn)可得

(10)

(11)

(12)

綜上通過在模型目標(biāo)函數(shù)中引入需求函數(shù)的反函數(shù)，可以將模型轉(zhuǎn)化為彈性需求問題。由于彈性需求問題直接求解的困難性，本文通過增加一條多余需求路段可以將彈性需求問題轉(zhuǎn)換為等價(jià)的固定需求問題求解。

空余需求ew為實(shí)際需求與需求上限之間的差值，即

(13)

因此，式(10)中的第二項(xiàng)可以擴(kuò)展為

(14)

(15)

由于Hw(ew)具有與普通阻抗函數(shù)相同的特征，可以將其視為運(yùn)輸通道內(nèi)一種客運(yùn)產(chǎn)品的廣義費(fèi)用函數(shù)，即在運(yùn)輸通道的每個(gè)OD間新增一個(gè)虛擬客運(yùn)產(chǎn)品，該客運(yùn)產(chǎn)品的客流量ew為函數(shù)的自變量。因此彈性需求問題通過增加一個(gè)虛擬客運(yùn)產(chǎn)品可以轉(zhuǎn)化為固定需求問題，即

(16)

(17)

(18)

f(qj)=a(qj)b-Vj

(19)

式中：a、b為參數(shù)；Vj為第j種產(chǎn)品不考慮隨機(jī)因素影響時(shí)的效用值，為式(1)的相反數(shù)。

則基于旅客選擇行為的廣義費(fèi)用函數(shù)為

f(qj)=a(qj)b+ω1Pj+ω2×Tj+ω3D1+

ω4D2+…+ωk+2Dk

(20)

綜上所述，模型L3為

ω1Pj+ω2×Tj]dx

(21)

(22)

(23)

3 啟發(fā)式算法

利用靈敏度分析法可以求出變分不等式的解對(duì)擾動(dòng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，假定運(yùn)行時(shí)間、出發(fā)時(shí)段等影響客流變化的因素不變，以票價(jià)作為擾動(dòng)參數(shù)，則模型中各客運(yùn)產(chǎn)品間的均衡配流模型可以用變分不等式為

fw(qw*)T(qw-qw*)≥0w∈W

(24)

(25)

(26)

(27)

若考慮票價(jià)p作為f(qw)中存在的擾動(dòng)參數(shù)，即f(qw,p)，則式(24)可以表示為

fw[qw*(p),p]T[qw-qw*(p)]≥0w∈W

(28)

fw(qw*(p),p)-φw=0w∈W

(29)

(30)

式中：φw為一個(gè)有N個(gè)相同元素的Lagrangian乘子向量。

假設(shè)y(p)=[qw(p),φw(p)]T，Jy(p)為式(29)和式(30)對(duì)于[qw(p),φw(p)]的Jacobian矩陣，Jp(p)表示式(29)和式(30)對(duì)于p的Jacobian矩陣，則有

(31)

(32)

將式(32)代入上層規(guī)劃即可將上層規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為一般的非線性規(guī)劃問題，進(jìn)而可以采用現(xiàn)有方法求解。通過求解上層規(guī)劃問題，又可以得到使目標(biāo)函數(shù)最大化的各類客運(yùn)產(chǎn)品的最優(yōu)票價(jià)，將其作為新的票價(jià)代入下層模型中又可以得到新的均衡配流下的各客運(yùn)產(chǎn)品的客流量，通過不斷迭代即可實(shí)現(xiàn)對(duì)雙層規(guī)劃模型求解，得到收斂判斷條件下的最優(yōu)解，步驟如下：

Step3確定反應(yīng)函數(shù)。利用靈敏度分析法得到客運(yùn)產(chǎn)品j的客流量對(duì)票價(jià)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)式(31)和(32)確定出反應(yīng)函數(shù)的近似表達(dá)形式。

4 案例分析

4.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

以北京—西安高鐵為例進(jìn)行分析，根據(jù)式(20)廣義費(fèi)用函數(shù)形式，確定發(fā)車時(shí)段、運(yùn)行時(shí)間、票價(jià)的水平數(shù)來確定北京至西安高速鐵路客運(yùn)產(chǎn)品的數(shù)量。2017年4月東南沿海高鐵實(shí)現(xiàn)浮動(dòng)票價(jià)，允許票價(jià)最高上浮20%，本文以北京—西安高鐵二等座為例，以20%作為浮動(dòng)基數(shù)，其現(xiàn)有票價(jià)為515.5元，因此可以得到二等座票價(jià)的上、下限值分別為618.5、412.5元；將發(fā)車時(shí)段設(shè)置為4個(gè)等級(jí)，運(yùn)行時(shí)間劃分為3個(gè)水平，則可以將北京—西安的高鐵列車劃分為12種客運(yùn)產(chǎn)品，見表2。

表2 北京—西安高速鐵路客運(yùn)產(chǎn)品屬性

為得到式(20)廣義費(fèi)用函數(shù)中各個(gè)特性變量的系數(shù)，于2018年12月27日、28日，在北京西站候車大廳對(duì)乘坐北京—西安方向的旅客進(jìn)行SP和RP調(diào)查，共計(jì)發(fā)放問卷450份，回收有效問卷429份，有效率達(dá)到95.3%。本文綜合考慮旅客對(duì)列車票價(jià)及運(yùn)行時(shí)間的個(gè)體異質(zhì)性，用ML模型對(duì)旅客的出行選擇行為進(jìn)行描述，即式(20)中ω1，ω2為服從一定分布的隨機(jī)變量。根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，利用Biogeme軟件對(duì)ML模型進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，得到的廣義費(fèi)用函數(shù)的系數(shù)見表3，并且取a=0.65，b=0.4。

表3 廣義費(fèi)用參數(shù)表

f0(q0)=D-1(d)=0.1q0

4.2 差別定價(jià)方案

根據(jù)本文構(gòu)建的模型和算法，利用Matlab對(duì)北京—西安的高鐵列車進(jìn)行差別定價(jià)，得到的各客運(yùn)產(chǎn)品的票價(jià)和客流量及與現(xiàn)有固定票價(jià)制定模式的對(duì)比情況，見表4。

表4 北京至西安各高鐵客運(yùn)產(chǎn)品的最優(yōu)票價(jià)及客流量

由表4可知，通過差別定價(jià)不同客運(yùn)產(chǎn)品的票價(jià)及客流量較現(xiàn)有固定票價(jià)模式都有所變化，差別定價(jià)方案可以根據(jù)不同客運(yùn)產(chǎn)品的特點(diǎn)調(diào)節(jié)票價(jià)來引導(dǎo)客流需求，從而提高客票收益。如客運(yùn)產(chǎn)品2為旅客最偏好的選擇，通過差別定價(jià)，其票價(jià)提升至566.5元，提高約9.89%，雖然客流量較固定票價(jià)的客流量下降約8.25%，但是票價(jià)的上漲使得獲得的客票收益有所提高。差別定價(jià)與固定票價(jià)的對(duì)比情況見圖1，兩種方案的收益對(duì)比情況見表5。

圖1 差別定價(jià)與固定票價(jià)對(duì)比情況

表5 兩種方案收益對(duì)比情況

從圖1和表5可以看出，差別定價(jià)通過調(diào)節(jié)票價(jià)使得各類客運(yùn)產(chǎn)品的客流更加均衡，并且較現(xiàn)有固定定價(jià)方法，差別定價(jià)方法使得獲得的客票收益增加527 738元，因此本文所構(gòu)建的差別定價(jià)方法可以使高速鐵路收益提升約6.1%，從而驗(yàn)證了本文所構(gòu)建模型和算法的有效性。

5 結(jié)論

(1)本文通過對(duì)同一OD間列車在運(yùn)行時(shí)間、發(fā)車時(shí)段上的差異性分析，在綜合考慮旅客出行選擇行為的基礎(chǔ)上，以鐵路部門為上層決策者，旅客為下層決策者，構(gòu)建以鐵路部門收益最大化，旅客廣義出行費(fèi)用最小化為目標(biāo)的高速鐵路差別定價(jià)雙層規(guī)劃模型，并根據(jù)模型特點(diǎn)設(shè)計(jì)了基于靈敏度分析的啟發(fā)式算法，最后以北京至西安的高鐵列車為例驗(yàn)證了模型的有效性。

(2)與現(xiàn)有的固定票價(jià)制定方式相比，利用本文模型得到的差別定價(jià)方案通過調(diào)節(jié)各客運(yùn)產(chǎn)品的票價(jià)來引導(dǎo)客流需求在不同客運(yùn)產(chǎn)品間的均衡分配，有效提高了各類產(chǎn)品的能力利用率，并且能夠使鐵路收益提高約6.1%。

(3)本文僅研究了同一OD間不同高鐵列車客運(yùn)產(chǎn)品的差別定價(jià)問題，并且僅考慮二等座的情況，未來將進(jìn)一步研究多OD、多等級(jí)席位的高速鐵路差別定價(jià)問題。