井口究竟變大還是變小？

賈艷萍 江舟軍 洪和森

(浙江省舟山中學(xué) 浙江 舟山 316021)

1 問題的提出

在學(xué)習(xí)人教版選修3-4“光的反射和折射”時，學(xué)生做到這樣一道題目：如圖1所示，井口大小和深度相同的兩口井，一口是枯井，一口是水井(水面在井口之下)，兩井底部各有一只青蛙，則( )

圖1 題圖

A.水井中的青蛙覺得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星

B.枯井中的青蛙覺得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星

C.水井中的青蛙覺得井口小些，晴天的夜晚，枯井中的青蛙能看到更多的星星

D.兩只青蛙覺得井口一樣大，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星

此題正確答案為選項A，然近一半的學(xué)生選擇了選項B．為了了解學(xué)生錯誤的原因，筆者請幾位選擇選項B的學(xué)生說出自己的解題思路．其中一典型的解釋是這樣的：學(xué)生畫了一光路圖(圖2)，認(rèn)為AB長度是枯井中的青蛙看到的井口真實(shí)的大小，折射光線反向延長線上A′B′的長度為水井中的青蛙看到的井口大小，因此枯井中的青蛙覺得井口大些．

圖2 學(xué)生作光路圖

筆者發(fā)現(xiàn)一些權(quán)威性的資料中也是這樣解釋的．問題是這種作圖法畫出的A′，B′是A，B的像嗎？井口究竟是變大還是變小呢？下面筆者利用物理規(guī)律結(jié)合數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)水井中的青蛙看到的井口位置和實(shí)際井口位置的關(guān)系．

2 理論推導(dǎo)

2.1 構(gòu)建模型

如圖3所示，設(shè)A為井口左邊緣一點(diǎn)，根據(jù)折射定律，兩條折射光線反向延長線的交點(diǎn)A′即為A點(diǎn)的像．假設(shè)兩條折射光線均能進(jìn)入青蛙的眼睛，由于青蛙的瞳孔很小，因此，M，N兩點(diǎn)的距離必須非常小，這樣兩入射角大小差別很小，我們記為γ和γ+dγ．兩折射角的差別也很小，我們記為θ和θ+dθ[1～4]．為了討論方便，取空氣的折射率為1，水的折射率用n表示．光在水中的臨界角用C表示，則

A點(diǎn)距水面的高度為h，A′距水面的高度為h′，A和A′的水平距離用d表示(圖3)．

圖3 構(gòu)建模型

2.2 數(shù)學(xué)推導(dǎo)

由折射定律可知

(1)

nsinθ=sinγ

ncosθdθ=cosγdγ

得

(2)

由幾何關(guān)系知

MN=h[tan(γ+dγ)-tanγ]=

h′[tan(θ+dθ)-tanθ]

得

(3)

由式(1)、(2)、(3)得

討論：由已知信息可知，h′>0，說明A′在A的上方，如圖3所示．當(dāng)θ=0時，h′=nh，即青蛙在A點(diǎn)正下方觀察到A′在其正上方(n-1)h位置．當(dāng)θ增大且小于臨界角C時，h′也將增大，即當(dāng)青蛙從A點(diǎn)正下方向右移動時，它看到的A′點(diǎn)將上移．

由幾何關(guān)系知

d=h′tanθ-htanγ=

化簡得

討論：由已知信息可知，d>0,說明A′在A點(diǎn)左側(cè)，正如所作圖像．當(dāng)θ=0時，d=0，即A′和A點(diǎn)在同一豎直線上．當(dāng)θ增大且小于臨界角時，d也將增大，即當(dāng)青蛙從A點(diǎn)正下方向右移動時，它看到的A′點(diǎn)將向左側(cè)移．

2.3 結(jié)論

從以上討論可知，青蛙從水面下方看井口左邊緣A點(diǎn)時，看到的A′點(diǎn)在A點(diǎn)上方且向左偏離觀察者．同樣道理，青蛙觀察井口右邊緣的B點(diǎn)，看到的像B′點(diǎn)在B點(diǎn)上方且向右偏離觀察者．由此可知，水井中的青蛙看到的井口大小A′B′大于枯井中青蛙看到的井口大小AB．

2.4 釋疑解惑

學(xué)生之所以像圖2那樣分析問題，實(shí)際上是犯了“想當(dāng)然”的錯誤．知道利用折射定律分析問題，但是又沒有規(guī)范地根據(jù)成像原理畫光路圖．在關(guān)鍵時刻，憑自己的感覺找到了自認(rèn)為正確的答案．從對物理問題的認(rèn)識角度分析，學(xué)生混淆了青蛙眼中井口大小和天的大小的區(qū)別．青蛙眼中天的大小取決于視角，枯井中青蛙的視角為α，水井中青蛙的視角為β(圖4)．因?yàn)棣?β，所以枯井中青蛙看到的天比較大．雖然枯井中的青蛙覺得天比較大，但是，在晴朗的夜晚，它只能看到光線3到光線4范圍內(nèi)的星星，而水井中的青蛙看到光線1到光線2范圍內(nèi)的星星．因此，水井中的青蛙看到的星星更多．

圖4 青蛙的視角

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)器材

水下攝像機(jī)，內(nèi)徑高8.70 cm的飯桶，手機(jī)，刻度尺，水等．

3.2 實(shí)驗(yàn)過程

步驟一：打開攝像機(jī)自帶的wifi,用手機(jī)連接其wifi．將水下攝像機(jī)放在飯桶中心，打開其拍照功能．打開手機(jī)中GoPlus Cam軟件，調(diào)整攝像機(jī)的位置，確?？吹降木谑菆A形的，并在屏幕中心．最后打開手機(jī)的錄屏功能．

步驟二：開始往飯桶中加水，感受到井口的大小有明顯變化時，測量水的高度約為3.40 cm．繼續(xù)往桶中加水，大約水的高度為8.00 cm時，停止加水．錄屏結(jié)束．

步驟三：借助暴風(fēng)影音的截屏功能，截取未加水時，水高約3.40 cm時和水高約8.00 cm時的圖片．

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

未加水、水高3.4 cm、水高8.00 cm時截取的圖片如圖5所示.

圖5 截取的圖片

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

圖5為視頻中截取的3幅圖片，對比可以發(fā)現(xiàn)桶口的大小隨著水位的升高，逐漸變大．參考天花板上燈的位置，可以看出桶外的視野也逐漸變大．因此選項A是正確的．

4 總結(jié)

要想解決因?yàn)椤跋氘?dāng)然”導(dǎo)致的錯誤，最有效的方法就是規(guī)范化做題．物理課堂上，不僅要熟練掌握每個知識點(diǎn)，對于教師強(qiáng)調(diào)的如何規(guī)范化答題也要作為重點(diǎn)內(nèi)容．這樣才能提高解題能力和應(yīng)試能力，才能削弱所謂的“物理題一聽就懂，一做就錯”的魔咒．另一方面，物理有趣的原因之一就是實(shí)驗(yàn)，因此，對于一些易錯題，如果可以做實(shí)驗(yàn)的話，教師應(yīng)該通過實(shí)驗(yàn)突破學(xué)生的錯誤點(diǎn)．不僅效果好，而且還可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣．