段劉宇
在“平面圖形的認(rèn)識(shí)(二)”中,我們用從特殊到一般的方法,依據(jù)“三角形的內(nèi)角和是180°”得出多邊形內(nèi)角和的一般結(jié)論:180°?(n-2)(其中n為多邊形的邊數(shù))。教材上是從四邊形開(kāi)始,通過(guò)添加輔助線,把四邊形分成2個(gè)三角形,把五邊形分成3個(gè)三角形,把六邊形分成4個(gè)三角形……然后一般化,把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形,最終獲得結(jié)論(當(dāng)然分割轉(zhuǎn)化的方法不唯一)。
教材上研究的都是凸多邊形。凸多邊形指如果把多邊形的任意一條邊向兩方無(wú)限延長(zhǎng)成為一直線時(shí),其他各邊都在此直線的同一旁的多邊形。凸多邊形的內(nèi)角沒(méi)有一個(gè)是優(yōu)角(大于180°且小于360°的角),如圖1。凹多邊形指把一個(gè)多邊形的某條邊向兩方無(wú)限延長(zhǎng)成為一直線時(shí),其他各邊不全在此直線的同一旁的多邊形。凹多邊形的內(nèi)角中至少有一個(gè)優(yōu)角,如圖2。凹多邊形的內(nèi)角和也是一樣的結(jié)論嗎?
我們可以先回顧一下探究凸多邊形內(nèi)角和的方法,然后將同樣的辦法遷移到探究凹多邊形的內(nèi)角和中。
以凹四邊形為例,如圖3。連接點(diǎn)A和點(diǎn)C,線段AC把這個(gè)凹四邊形分為兩個(gè)三角形,這兩個(gè)三角形的內(nèi)角和就是這個(gè)凹四邊形的內(nèi)角和,即2×180°=360°。看到這個(gè)結(jié)果,我們不由自主地猜想:凹多邊形的內(nèi)角和公式會(huì)不會(huì)跟凸多邊形的內(nèi)角和公式一樣呢?多舉幾個(gè)例子,如表1。
這樣,我們就更有理由歸納一般性規(guī)律,即凹n邊形內(nèi)角和為180°?(n-2)(其中n為多邊形的邊數(shù)),這與凸n邊形的結(jié)論一樣。
但這仍然是片面的,如果凹多邊形包含兩個(gè)及以上優(yōu)角,該結(jié)論還能不能成立呢?不妨以包含兩個(gè)優(yōu)角的凹多邊形為例,如表2。
我們?nèi)匀豢梢灶?lèi)似地去考慮含3個(gè)優(yōu)角(從凹八邊形開(kāi)始)的凹多邊形,特殊的例子越充分、越全面,我們就越有信心確信凹n邊形內(nèi)角和的結(jié)論。
因此,不論是凸多形還是凹多邊形,可以得到一個(gè)關(guān)于多邊形內(nèi)角和的通用公式,即n邊形的內(nèi)角和為180°?(n-2)(其中n為多邊形的邊數(shù))。
這是一個(gè)多么簡(jiǎn)潔美妙的結(jié)論啊!小伙伴們,從特殊到一般,這是我們?cè)诳唇滩?、學(xué)新知的時(shí)候,經(jīng)常碰到的方法。特殊的例子中蘊(yùn)含著一般的規(guī)律,一般的規(guī)律可以用特殊的例子驗(yàn)證。當(dāng)我們運(yùn)用這種方法遷移運(yùn)用、研究問(wèn)題的時(shí)候,就能體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣,體會(huì)到結(jié)論的美妙,領(lǐng)悟到方法的神奇。同學(xué)們,在遇到具有一般性的問(wèn)題時(shí),試著用特殊到一般的方法大膽探索吧。
教師點(diǎn)評(píng)
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是記住結(jié)論,更應(yīng)該掌握數(shù)學(xué)結(jié)論形成的過(guò)程及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,更包含在過(guò)程中所感受到的積極情感、數(shù)學(xué)之美和嚴(yán)謹(jǐn)求證的價(jià)值觀念等。小作者不僅能夠?qū)W好多邊形內(nèi)角和的結(jié)論,還能夠把結(jié)論形成過(guò)程中的方法遷移到更全面的多邊形的不同類(lèi)別中,最終形成了更全面的認(rèn)識(shí)。在這個(gè)過(guò)程中,他不僅學(xué)會(huì)了知識(shí),更掌握了方法,還領(lǐng)悟了特殊與一般的關(guān)系,獲得了美好的體驗(yàn),產(chǎn)生了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極的興趣。他的這種學(xué)習(xí)方法,值得同學(xué)們借鑒。
(指導(dǎo)教師:鐘 鳴)