反雙紐線正弦函數(shù)的漸近不等式

張依婷，王淼坤

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

眾所周知，在平面直角坐標(biāo)系下，伯努利雙紐線標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2+y2)2=x2-y2,其弧長(zhǎng)公式可表示為4arcsl(1),其中arcsl(x)是著名的反雙紐線(三角)正弦函數(shù)，定義為[1-3]：

由文獻(xiàn)[3]中的定理1.7表明:

近年來(lái)，利用二元平均值研究特殊函數(shù)的漸近性質(zhì)及不等式是一種非常有效的方法[4-5].本文將在平均值理論中探究反雙紐線正弦函數(shù)滿足的新不等式,并引入與本文研究相關(guān)的幾個(gè)二元平均值.

設(shè)p∈,兩個(gè)正數(shù)a和b的p階冪平均定義為：

2015年，Witkowski[6]引入Seiffert函數(shù)，給出了一族二元平均值——Seiffert型平均值.特別地，若令Seiffert函數(shù)為反雙紐線(三角)正弦函數(shù)，可得如下的反雙紐線正弦平均值Marcsl(a,b)：

對(duì)p∈和s≥1，定義兩個(gè)正數(shù)a和b推廣的p階冪平均為：

并記以下幾個(gè)特殊情形：

2017年，王根娣等[7]建立了反雙紐線正弦函數(shù)的Shafer-Fink型不等式：

不難發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)不等式可表示為反雙紐線正弦平均值Marcsl(a,b)與推廣的p階冪平均之間的平均值不等式，即當(dāng)a,b>0且a≠b時(shí)，

更多關(guān)于反雙紐線正弦函數(shù)的不等式，如Wilker型不等式、Huygens型不等式見(jiàn)文獻(xiàn)[8-10].

定理1設(shè)α,β∈(0,1)，不等式

對(duì)所有a,b>0,a≠b均成立，當(dāng)且僅當(dāng)α≤α0=8/27及β≥β0=10/(9ω)≈0.848.

定理2設(shè)λ,μ∈(0,1)，不等式

對(duì)所有a,b>0,a≠b均成立，當(dāng)且僅當(dāng)λ≤λ0=2/3及μ≥μ0=5/(4ω)≈0.954.

在定理1和定理2中，令a=1+x,b=1-x,可得到以下結(jié)論：

結(jié)論當(dāng)x∈(0,1)時(shí),不等式

成立，其中,10/(9ω)≈0.848,8/27,5/(4ω)≈0.954和2/3是滿足上述不等式成立的最佳參數(shù).

1 引 理

為證明本文的主要結(jié)果，建立以下兩個(gè)引理：

引理1設(shè)p∈(0,1)，定義(0,1)上的函數(shù)

則下列論斷成立：

(Ⅰ)當(dāng)α0=8/27時(shí)，Gα0(x)>0且Gα0(x)在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)增加；

(Ⅱ)當(dāng)β0=10/(9ω)時(shí)，Gβ0(x)<0且存在x0∈(0,1),Gβ0(x)在(0,x0)上嚴(yán)格單調(diào)減小，在(x0,1)上嚴(yán)格單調(diào)增加.

證明計(jì)算得：

(1)

(2)

其中，

(3)

Hp(0+)=40-40p,Hp(1-)=0.

(4)

下面分p=α0和p=β0兩種情況進(jìn)行討論:

情形1p=α0,則由式(3)得：?t∈(0,1),

(5)

結(jié)合式(1)和式(2)知,Gα0(x)在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)增加，且Gα0(x)>0對(duì)所有的x∈(0,1)均成立.

情形2p=β0,則

Hβ0(t)=-β02t24-30β0t19+20β0(β0-1)t15-18β02t14+60(-β0+1)t10+
130β0t9-100(β0-1)2t6+180β0(β0-1)t5-81β02t4+40-40β0.

(6)

計(jì)算得：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

由式(6)～(14)可推斷Hβ0(t)在(0,1)上的單調(diào)性和正負(fù)性,結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 Hβ0(t)在(0,1)上的單調(diào)性和正負(fù)性

結(jié)合式(2)可知,存在x0∈(0,1),當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)G′β0(x)<0;當(dāng)x∈(x0,1)時(shí)G′β0(x)>0.因此,Gβ0(x)在(0,x0)上嚴(yán)格單調(diào)減小,在(x0,1)上嚴(yán)格單調(diào)增加.最后,由式(1)及Gβ0(x)在(0,1)上的分段單調(diào)性,可推斷Gβ0(x)<0對(duì)所有的x∈(0,1)均成立.

引理2設(shè)p∈(0,1)，定義(0,1)上的函數(shù)

則下列論斷成立：

(Ⅰ)當(dāng)λ0=2/3時(shí)，Iλ0(x)>0且Iλ0(x)在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)增加；

證明計(jì)算得:

(15)

(16)

其中,

Jp(t)=-p(5+p)t14+5(2p2-5p+3)t10+4p(5-2p)t9-
25(p-1)2t6+40p(p-1)t5+2p(5-8p)t4+10(1-p),

(17)

Jp(0+)=10-10p，Jp(1-)=0.

(18)

下面分p=λ0和p=μ0兩種情況進(jìn)行討論:

情形1p=λ0,則由式(16)得：?t∈(0,1),

(19)

結(jié)合式(15)和式(16)知,Iλ0(x)在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)增加,且Iλ0(x)>0對(duì)所有x∈(0,1)均成立.

情形2p=μ0,則

Jp(t)=-μ0(5+μ0)t14+5(2μ02-5μ0+3)t10+4μ0(5-2μ0)t9-
25(μ0-1)2t6+40μ0(μ0-1)t5+2μ0(5-8μ0)t4+10(1-μ0),

(20)

計(jì)算得:

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

由式(20)～(28)可推斷Jμ0(t)在(0,1)上的單調(diào)性與正負(fù)性，結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 Jμ0(t)在(0,1)上的單調(diào)性與正負(fù)性

2 主要結(jié)果證明

設(shè)p∈(0,1)，則

其中，Gp(x)同引理1.

下面分兩種情形進(jìn)行討論：

情形Ap=α0=8/27,則由引理1(Ⅰ)得：當(dāng)x∈(0,1),Gα0(x)>0.因此,當(dāng)a,b>0且a≠b時(shí)，不等式

成立.

情形Bp=β0=10/(9ω)≈0.848,則由引理1(Ⅱ)得：當(dāng)x∈(0,1)時(shí),

Gβ0(x)

因此,當(dāng)a,b>0且a≠b時(shí)，不等式

成立.

最后證明α0=8/27及β0=10/(9ω)是滿足定理1中不等式的最佳常數(shù).事實(shí)上，將Gp(x)在x=0處Taylor展開(kāi)得:

由此表明，要使不等式

對(duì)所有a,b>0且a≠b成立,僅當(dāng)p≤8/27.

另一方面，由引理1知，

因此，不等式

對(duì)所有a,b>0且a≠b成立,僅當(dāng)p≥10/(9ω).

定理1得證.

設(shè)p∈(0,1)，則

其中Ip(x)同引理2.

下面分兩種情形進(jìn)行討論：

情形Ap=λ0=2/3,則由引理2(Ⅰ)得：當(dāng)x∈(0,1)時(shí),Iλ0(x)>0.因此,當(dāng)a,b>0且a≠b時(shí)，不等式

成立.

情形Bp=μ0=5/(4ω)≈0.953 5,則由引理2(Ⅱ)得：當(dāng)x∈(0,1)時(shí),

Iμ0(x)

因此，當(dāng)a,b>0且a≠b時(shí)，不等式

成立.

最后證明λ0=2/3及μ0=5/(4ω)是滿足定理2中不等式的最佳常數(shù).事實(shí)上，將Ip(x)在x=0處Taylor展開(kāi)得:

由此表明，要使不等式

對(duì)所有a,b>0且a≠b成立,僅當(dāng)p≤2/3.

另一方面，由引理2知:

因此不等式

對(duì)所有a,b>0且a≠b成立,僅當(dāng)p≥5/(4ω).

定理2得證.