二鉬酸銨母液循環(huán)中鉀的數(shù)模研究與淺析

郝紹鵬

(金堆城鉬業(yè)股份有限公司化學(xué)分公司，陜西 渭南 714000)

0 引 言

雜質(zhì)鉀的含量嚴(yán)重影響鉬產(chǎn)品的性能，如在金屬制品中影響合金的物理性能，在高溫電光源原件中氣化后粘結(jié)導(dǎo)致原件污損或腐蝕[1]。從鉬產(chǎn)品的加工過程分析，用鉬焙砂加工二鉬酸銨的生產(chǎn)過程，是鉬產(chǎn)業(yè)鏈降鉀的重要環(huán)節(jié)[2]。目前國內(nèi)的二鉬酸銨濕法工藝，普遍采用母液循環(huán)工藝，即將蒸發(fā)結(jié)晶后剩余的母液返回氨浸工序，以減少鉬金屬的損失，提高金屬回收率并降低運(yùn)營成本[3]。在此過程中，包括鉀在內(nèi)的雜質(zhì)也隨母液的循環(huán)而返回到前端工藝，在生產(chǎn)體系中循環(huán)和富集。

與不使用母液循環(huán)的工藝相比，母液循環(huán)使鉀的流向趨于復(fù)雜，由單向去除的過程，變?yōu)閹в芯植扛患目傮w去除過程。單向的生產(chǎn)過程中，投入原料的鉀量直接決定本次產(chǎn)品鉀含量，蒸發(fā)母液帶走的鉀量越大越有利于產(chǎn)品中鉀含量的減少。母液循環(huán)生產(chǎn)過程，母液帶走的鉀量返回前端并最終回到蒸發(fā)環(huán)節(jié)，同時(shí)也把每次投入原料的鉀量與最后一次產(chǎn)品的鉀含量聯(lián)系起來。面對鉀流向分布的改變，有必要進(jìn)行產(chǎn)品中鉀含量的計(jì)算研究，探索關(guān)系式中的內(nèi)在聯(lián)系，補(bǔ)充和完善生產(chǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中分析出的實(shí)際結(jié)果。初步研究產(chǎn)品中鉀含量的計(jì)算方式，有助于明確除雜規(guī)律、原料影響規(guī)律，也有益于探索產(chǎn)品鉀含量控制的宏觀方向和生產(chǎn)運(yùn)營的宏觀調(diào)控。

1 母液循環(huán)工藝中鉀的流向梳理

1.1 鉀的循環(huán)流程

二鉬酸銨生產(chǎn)中，原料三氧化鉬經(jīng)過預(yù)處理、氨浸、凈化、過濾等分離程序后進(jìn)行蒸發(fā)結(jié)晶，結(jié)晶母液返回氨浸工序重新使用，預(yù)處理廢水、氨浸渣等排出生產(chǎn)體系。二鉬酸銨生產(chǎn)流程見圖1。

圖1 母液循環(huán)生產(chǎn)二鉬酸銨流程

二鉬酸銨產(chǎn)品中的鉀由原料帶入，存在于體系中的液相和固相，不進(jìn)入氣相[4]。部分鉀隨廢水、廢渣和產(chǎn)品排出生產(chǎn)體系，其余的鉀在體系中循環(huán)，且循環(huán)集中在氨浸及其后續(xù)的生產(chǎn)過程中。

1.2 鉀流向分布規(guī)律淺析

根據(jù)鉀的循環(huán)流程，鉀流向的總體規(guī)律是在所有固液分離環(huán)節(jié)均會(huì)出現(xiàn)分流。根據(jù)物質(zhì)守恒，每個(gè)分流環(huán)節(jié)的鉀量分配規(guī)律雖然不同，但任一支流的鉀量必然不大于分流前的鉀量；根據(jù)生產(chǎn)實(shí)踐，每個(gè)單一分流環(huán)節(jié)的規(guī)律或許不能準(zhǔn)確描述，但支流的鉀量隨分流前鉀量的增大而增大。

由于工業(yè)控制、檢測精度以及數(shù)據(jù)分析工具的限制，各環(huán)節(jié)的分流分配規(guī)律一般擬合成一次函數(shù)曲線和一次函數(shù)關(guān)系式；在實(shí)際應(yīng)用中，一般簡化為比例關(guān)系[5]。

2 數(shù)學(xué)建模

2.1 鉀流向分布抽象為數(shù)學(xué)模型

所有含鉀的物料如原料、氨浸液、渣、母液、產(chǎn)品等，均抽象為鉀量；所有工序如預(yù)處理、氨浸、蒸發(fā)等，抽象為加入物料的鉀量之和；所有涉及鉀分流的分離過程，假定其分流分配規(guī)律不隨鉀量增減而改變，即計(jì)算規(guī)則不變，將分流分配規(guī)律抽象為函數(shù)，以分離前鉀量為自變量，分離后某一支流的鉀量為因變量，如氨浸工序中鉀量為x，固液分離后的溶液中的鉀量為y，則有y=f(x)。任一固液分離的分流分配規(guī)律為一次函數(shù)關(guān)系時(shí)f(x)=kx+b，分配規(guī)律為二次函數(shù)關(guān)系時(shí)f(x)=ax2+bx+c，分配規(guī)律為對數(shù)關(guān)系時(shí)f(x)=lnx，以此類推。

2.2 數(shù)學(xué)模型優(yōu)化

根據(jù)上述模型，對各環(huán)節(jié)分別立式：濾餅鉀量=f1(原料鉀量)，氨浸液鉀量=f2(氨浸鉀量)，待蒸發(fā)液鉀量=f3(氨浸液鉀量)，母液鉀量=f4(待蒸發(fā)液鉀量)。母液循環(huán)所導(dǎo)致的氨浸鉀量的變化，對于氨浸鉀至氨浸液的鉀分配規(guī)律，僅是自變量的變化，分配規(guī)律即運(yùn)算規(guī)則不變亦即f2函數(shù)不變，故可將上述各關(guān)系依次帶入得：母液鉀量=f4(f3(f2(濾餅鉀量)))。

根據(jù)函數(shù)的傳統(tǒng)定義，可將嵌套函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則整合[6]，即有：母液鉀量=f(濾餅鉀量)，其中函數(shù)f為f2、f3、f4嵌套運(yùn)算后所得的新函數(shù)，其現(xiàn)實(shí)意義是以濾餅鉀量為自變量，以母液鉀量為因變量，在變化過程中所構(gòu)成的關(guān)系式。由此可知，可將各個(gè)固液分離過程根據(jù)需要進(jìn)行整合，選取關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)進(jìn)行討論。如從氨浸至蒸發(fā)之間，可將各凈化分離過程的函數(shù)整合為：待蒸發(fā)液鉀量=f(氨浸鉀量)，亦可整合為：母液鉀量=f(氨浸鉀量)。

本文選取濾餅及其后物料和流程為研究對象，整合氨浸至蒸發(fā)液之間的變化關(guān)系，優(yōu)化后的模型流程如圖2。

圖2 核心流程及其對應(yīng)符號

A、B、C、D、E分別表示濾餅鉀量、氨浸鉀量、溶液鉀量、產(chǎn)品鉀量、母液鉀量，函數(shù)f1、f2分別表示分離1和分離2中鉀在液相中的變化規(guī)律，函數(shù)f由函數(shù)f1、f2嵌套獲得，表示鉀在氨浸至母液過程中的變化規(guī)律。n為母液循環(huán)次數(shù)，以大寫字母與下標(biāo)組合代表第n次母液循環(huán)時(shí)某物料或環(huán)節(jié)的鉀量，如An代表第n次母液回用時(shí)投入濾餅的鉀量，A0代表母液未回用時(shí)所投入濾餅的鉀量；En代表母液循環(huán)使用第n次所產(chǎn)生母液的鉀量，E0代表母液未回用所產(chǎn)生母液的鉀量。值得注意的是，以原料至產(chǎn)品的方向去描述，f1代表氨浸至待蒸發(fā)液過程中鉀的殘留規(guī)律，f2代表濃縮結(jié)晶過程中鉀的去除規(guī)律。

2.3 函數(shù)的簡化

(1)將鉀分流規(guī)律淺析的結(jié)論抽象為函數(shù)表達(dá)，支流鉀量隨分流前鉀量增大而增大，即限定了f(x)在x≥0時(shí)單調(diào)遞增；(2)支流鉀量不大于分流前鉀量，即限定了f(x)≤x(x≥0)，即函數(shù)y=f(x)的圖像在第一象限內(nèi)始終在直線y=x下方。(3)另外，考慮極端情況，分流前鉀量可以為0，則x取值范圍包含0；此時(shí)支流鉀量必然為0，即x=0時(shí)，y=f(0)=0，即函數(shù)圖像經(jīng)過直角坐標(biāo)系原點(diǎn)。

根據(jù)上述3個(gè)函數(shù)條件，一般函數(shù)圖像在第一象限上的直觀描述為：該函數(shù)圖像為與x軸夾角小于等于45°的直線；或?yàn)椤巴埂毙椭饾u上揚(yáng)的曲線，且其任意一點(diǎn)上的切線與x軸的夾角小于45°。其代數(shù)表達(dá)為：x≥0時(shí)f(x)單調(diào)遞增，且f′(x)≤1。其圖像具有共同特征：x=0時(shí)，圖像切線斜率最大，但不超過1；0≤x≤1時(shí)，圖像曲度較大；x>1時(shí)，圖像近似直線，且近似后所得直線的斜率k∈(0，1)。

圖3 函數(shù)示意圖

在生產(chǎn)實(shí)踐中，檢測誤差一般在數(shù)量級內(nèi)正負(fù)5個(gè)單位，所以1個(gè)單位以內(nèi)的變化規(guī)律對總體研究的影響及其微弱。取x>1時(shí)圖像的近似直線作為計(jì)算基礎(chǔ)，將難以準(zhǔn)確描述的復(fù)雜函數(shù)簡化成一次函數(shù)或比例關(guān)系，精度幾乎不受影響，計(jì)算難度大大下降。對于有可能存在的更復(fù)雜的曲線，如斜波紋形式的曲線，由上述3個(gè)條件限制，其總體趨勢仍然可以近似為直線。

這說明在生產(chǎn)實(shí)踐中選擇使用比例描述鉀流向的分布，在客觀上具有一定的科學(xué)性。本文以一次函數(shù)為基礎(chǔ)進(jìn)行關(guān)系式整理，以比例關(guān)系為基礎(chǔ)展開主要討論。

3 關(guān)系式整理

3.1 計(jì)算原理

根據(jù)鉀的流向模型可知：初始投入即無母液循環(huán)時(shí)B=A，有母液循環(huán)時(shí)B=A+E，C=f1(B)，E=f2(C)=f2(f1(B))=f(B)，D=C-f2(C)=f1(B)-f(B)。以此計(jì)算規(guī)律為原則，按照母液循環(huán)順序逐次計(jì)算B、E的值，并代入下一輪，利用數(shù)學(xué)歸納推導(dǎo)出Bn、En的表達(dá)式，再利用Dn=f1(Bn)-En=f1(Bn)-f(Bn)計(jì)算出Dn的表達(dá)式。

3.2 推 導(dǎo)

鉀分流規(guī)律均為一次函數(shù)，即f1(x)=k1x+b1，f2(x)=k2x+b2，f(x)=f2(f1(x))=kx+b(k=k1k2，b=k2b1+b2)；每次投入的濾餅鉀量不同，以An=A+hnA(其中hn為實(shí)數(shù))表示。如初始投入為A0=A+h0A，第一母液循環(huán)時(shí)的投入為A1=A+h1A，以此類推。

初始無母液：

B0=A0=A+h0A，

E0=f(B0)=f(A+h0A)=k(A+h0A)+b=kA+kh0A+b，

第1次母液循環(huán)：

B1=A1+E0=A+h1A+kA+kh0A+b=A(1+k)+A(h1+kh0)+b，

E1=f(B1)=A[k+k2]+A[kh1+k2h0]+b(1+k)，

第2次母液循環(huán)：

B2=A2+E1=A[1+k+k2]+A[h2+kh1+k2h0]+b(1+k)，

E2=f(B2)=A[k+k2+k3]+A[kh2+k2h1+k3h0]+b(1+k+k2)，

……

第n次母液循環(huán)

Bn=A[1+k+k2+k3+…+kn-1+kn]+A[hn+khn-1+k2hn-2+…+kn-1h1+knh0]+b[1+k+k2+k3+…+kn-2+kn-1]，

En=kA[1+k+k2+k3+…+kn-1+kn]+A[khn+k2hn-1+k3hn-2+…+knh1+kn+1h0]+b[1+k+k2+k3+…+kn-1+kn]，

整理得：

由Dn=f1(Bn)-En=f1(Bn)-f(Bn)得：

(1)

4 關(guān)系式的分析、簡化與近似

4.1 投入鉀量浮動(dòng)的分析

構(gòu)建一個(gè)常數(shù)組成的多項(xiàng)式An+kAn-1+k2An-2+…+kn-1A1+knA0，將An=A+hnA代入得等式：

An+kAn-1+k2An-2+…+kn-1A1+knA0

=A(1+k+k2+…+kn-1+kn)+A(hn+khn-1+k2hn-2+…+kn-1h1+knh0)

整理得：

將此結(jié)果帶入(1)式得：

(2)

(3)

(4)

4.2 常數(shù)項(xiàng)的取舍

由于0

(5)

(6)

Dn≈(k1-k)(An+kAn-1+k2An-2+…+kn-1A1+knA0)

(7)

5 綜合討論

5.1 工藝系數(shù)初步討論及不循環(huán)對比

在A值不變且除雜、蒸發(fā)等工藝水平相同時(shí)，不使用母液循環(huán)的產(chǎn)品鉀量為：D單=(k1-k1k2)A=(k1-k)A。對比得D單=(1-k)Dn，由于0

5.2 工藝系數(shù)影響趨勢

由式(7)可知，產(chǎn)品鉀量為兩個(gè)因式的乘積。將k=k1k2代入式(7)，當(dāng)k2不變、歷次投入鉀量為常數(shù)時(shí)，第一個(gè)因式隨k1的減小而減小，第二個(gè)因式同樣隨k1的減小而減小，即產(chǎn)品鉀量Dn隨k1的減小而減小。

當(dāng)k1不變、歷次投入鉀量為常數(shù)時(shí)，Dn是k2的高次函數(shù)，且兩因式增減性相反。從數(shù)學(xué)理論不易確定k2對Dn的影響，從生產(chǎn)實(shí)踐中難以實(shí)現(xiàn)k2的線性調(diào)整，故在Excel表格中以式(7)為算法進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬計(jì)算[10]。

圖4 數(shù)據(jù)模擬趨勢圖

表1 趨勢模擬的投入鉀量

此時(shí)規(guī)律與A值不變時(shí)以及不使用母液循環(huán)時(shí)的規(guī)律相同，即氨浸至待蒸發(fā)液過程中的除鉀比例越大，或者蒸發(fā)母液帶走的鉀量越大，都有利于產(chǎn)品中鉀量的減少。

5.3 權(quán)重與工藝調(diào)節(jié)能力的探討

上述權(quán)重性質(zhì)結(jié)合式(6)、k=k1k2、D—k1趨勢、D—k2趨勢進(jìn)行分析可知，k1值越小，影響產(chǎn)品鉀量的原料最后投入次數(shù)越少，而k2不具備這種必然關(guān)系。

實(shí)踐生產(chǎn)中，k1、k2確定，前期投料鉀量和次數(shù)可統(tǒng)計(jì)，借助計(jì)算機(jī)軟件以式(7)以及k=k1k2為算法，可以預(yù)先計(jì)算出后期投入幾次、鉀量多大的原料，產(chǎn)品鉀量能達(dá)到何種水平，再結(jié)合庫存原料的鉀含量水平，可以判斷產(chǎn)品鉀量調(diào)整的可行性和預(yù)期水平，有助于及時(shí)對生產(chǎn)進(jìn)行研判和科學(xué)的計(jì)劃生產(chǎn)。這個(gè)性質(zhì)和方法，可以衡量生產(chǎn)線對原料的適應(yīng)能力，也可以估算生產(chǎn)線原料的供應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)，對實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品鉀含量滿足客戶需求的調(diào)控和研究具有指導(dǎo)意義。

6 結(jié)論與建議

6.1 結(jié) 論

(1)同等原料和除雜工藝水平，母液循環(huán)工藝較單向工藝的產(chǎn)品鉀量有所增高，增高幅度取決于k值(即氨浸至待蒸發(fā)液過程鉀殘留率與蒸發(fā)過程鉀去除率的乘積)，且k值越小增幅越小。

(2)母液循環(huán)生產(chǎn)二鉬酸銨，不改變投入產(chǎn)出比例的前提下，提高所有工段包括蒸發(fā)工段的除雜能力，均對降低產(chǎn)品鉀量有益，此規(guī)律與不適用母液循環(huán)時(shí)的規(guī)律相同。

(3)相對于單向工藝，原料對產(chǎn)品鉀量的影響，由單次投入的鉀量變?yōu)闅v次投入鉀量的加權(quán)平均值。歷次投入鉀量對產(chǎn)品鉀量的影響，以投入順序的逆向順序遞減，最后一次投料對該次產(chǎn)出的產(chǎn)品鉀量影響最大。

(4)條件允許或時(shí)機(jī)適當(dāng)，控制最后幾次投入可以有效實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品鉀量的轉(zhuǎn)變；亦可利用5.2中所述變量對加權(quán)平均值的影響，通過排列不同鉀量原料的投入順序，分段產(chǎn)出不同鉀含量的產(chǎn)品。

(5)整理出的(1)至(6)式適合于用投入鉀量簡單計(jì)算氨浸鉀量、母液鉀量、產(chǎn)品鉀量，式(7)更適合于產(chǎn)品鉀量調(diào)控。需要特別說明的是，本文中提到的“鉀量”指如質(zhì)量、物質(zhì)的量等為單位的數(shù)量，并非檢測所得的濃度、百分比等“鉀含量”，實(shí)際使用中必須根據(jù)相應(yīng)的投入產(chǎn)出比例進(jìn)行換算。

6.2 建 議

母液循環(huán)應(yīng)采用盡可能少量、多次的均勻回用，其中均勻回用尤為重要。均勻回用一方面可以減少工藝過程中的變量，有利于工藝穩(wěn)定，便于摸索運(yùn)行規(guī)律、異常查找和工藝改進(jìn)，另一方面，對產(chǎn)品含鉀量市場適應(yīng)性的調(diào)控尤為重要。

提高產(chǎn)品市場適應(yīng)性，或提高生產(chǎn)線對原料鉀含量的容納范圍，應(yīng)注重進(jìn)行待蒸發(fā)液之前各環(huán)節(jié)除鉀能力的研究和優(yōu)化。

作為實(shí)現(xiàn)上述建議的基礎(chǔ)，生產(chǎn)經(jīng)營控制和技術(shù)改進(jìn)方面，應(yīng)注重收集氨浸至待蒸發(fā)液、蒸發(fā)工段的鉀量分布、變化規(guī)律，研究和明確這些過程中的微觀規(guī)律。