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      無(wú)限維Hilbert空間上一類算子方程的解

      2021-05-18 02:35:42楊凱凡
      關(guān)鍵詞:單位向量算子結(jié)論

      楊凱凡

      (陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 漢中 723001)

      設(shè)

      H

      是無(wú)限維Hilbert空間,

      B

      (

      H

      )表示

      H

      上的有界線性算子的全體.論文在無(wú)限維Hilbert空間上研究非線性算子方程的正算子解問(wèn)題,其中

      A

      ,

      Q

      B

      (

      H

      ),

      Q

      >0,

      X

      B

      (

      H

      )中的未知算子且

      t

      >1是給定的正整數(shù).近年來(lái),形如

      X

      +

      A

      X

      A

      =

      Q

      X

      -

      A

      X

      -

      A

      =

      I

      等的矩陣方程受到許多學(xué)者的關(guān)注和研究.前人大多數(shù)是利用矩陣論的相關(guān)知識(shí),特別是圍繞矩陣的秩展開(kāi)研究,在有限維空間上,給出這類方程有正定矩陣解的一些條件. 論文在無(wú)限維Hilbert空間上,結(jié)合算子論的相關(guān)知識(shí),給出了方程(1)有正算子解的一些必要條件和充分條件.

      X

      -

      A

      X

      -

      A

      =

      Q

      (1)

      1 預(yù)備知識(shí)

      對(duì)于

      A

      B

      (

      H

      ),‖

      A

      ‖,

      A

      ,

      ω

      (

      A

      ),

      γ

      (

      A

      )分別表示算子

      A

      的范數(shù)、伴隨算子、數(shù)值域半徑及譜半徑. 如果對(duì)任意

      x

      H

      , 都有(

      Ax

      ,

      x

      )≥0,則稱

      A

      為正算子,記為

      A

      ≥0((

      x

      ,

      y

      )表示

      x

      ,

      y

      的內(nèi)積).若

      T

      ,

      S

      B

      (

      H

      ),

      T

      S

      是指算子

      T

      -

      S

      為正算子.

      引理1

      設(shè)

      T

      B

      (

      H

      ). 若

      T

      是正規(guī)的,則

      ω

      (

      T

      )=

      γ

      (

      T

      )=‖

      T

      ‖.

      引理2

      設(shè)

      P

      ,

      Q

      是正算子,且

      P

      >

      Q

      . 如果

      PQ

      =

      QP

      , 則對(duì)任意實(shí)數(shù)

      t

      >1,有

      P

      >

      Q

      .

      對(duì)于

      B

      (

      H

      )上的正算子, 有:(1) 若

      P

      Q

      >0 , 則

      P

      Q

      .設(shè)

      A

      B

      (

      H

      ) 上的正算子,則

      A

      ≤‖

      A

      I

      .(2) 設(shè)

      A

      ,

      B

      B

      (

      H

      )是自伴算子且滿足

      A

      B

      , 則對(duì)任意

      T

      B

      (

      H

      ),有

      T

      AT

      T

      BT

      .

      命題

      A

      B

      (

      H

      )是正規(guī)算子,則由

      A

      生成的

      C

      *-代數(shù)是可交換的.

      2 主要結(jié)論及其證明

      定理1

      若算子方程 (1)有正算子解

      X

      , 則(1)

      γ

      (

      A

      +

      A

      )<‖2

      X

      -

      Q

      ‖;(2)

      γ

      (

      A

      -

      A

      )<‖2

      X

      -

      Q

      ‖;

      證明

      (1) 顯然

      A

      X

      -

      A

      ≥0,所以由方程(1)可知

      X

      =

      A

      X

      -

      A

      +

      Q

      Q

      t

      >1,所以

      X

      X

      ,因此

      X

      -

      A

      X

      -

      A

      -

      A

      -

      A

      X

      -

      A

      X

      -

      A

      -

      A

      -

      A

      =2

      X

      -(

      X

      +

      A

      X

      -

      A

      +

      A

      +

      A

      )=2

      X

      -(

      X

      +

      A

      )*

      X

      -(

      X

      +

      A

      )≤2

      X

      ,所以

      A

      +

      A

      Q

      -2

      X

      .同理

      X

      -

      A

      X

      -

      A

      +

      A

      +

      A

      X

      -

      A

      X

      -

      A

      +

      A

      +

      A

      =2

      X

      -(

      X

      +

      A

      X

      -

      A

      -

      A

      -

      A

      )=2

      X

      -(

      X

      -

      A

      )*

      X

      -(

      X

      -

      A

      )≤2

      X

      ,

      從而,有

      Q

      -2

      X

      A

      +

      A

      ≤2

      X

      -

      Q

      ,

      γ

      (

      A

      +

      A

      )≤‖2

      X

      -

      Q

      ‖.(2) 若

      X

      -

      A

      X

      -

      A

      =

      Q

      有正算子解

      X

      , 則

      X

      -(i

      A

      )

      X

      -(i

      A

      )=

      Q

      也有正算子解

      X

      ,其中i表示虛數(shù)單位.由該定理中的結(jié)論(1)可知

      γ

      ((i

      A

      )+(i

      A

      ))≤‖2

      X

      -

      Q

      ‖ ,即

      γ

      (

      A

      -

      A

      )≤‖2

      X

      -

      Q

      ‖.(3) 若

      X

      -

      A

      X

      -

      A

      =

      Q

      有正算子解

      X

      , 則

      X

      -(ei

      A

      )

      X

      -(ei

      A

      )=

      Q

      也有正算子解

      X

      ,其中

      θ

      ∈[-π,π].由結(jié)論(1)可知

      γ

      ((ei

      A

      )+(ei

      A

      ))≤‖2

      X

      -

      Q

      ‖,而(ei

      A

      )+(ei

      A

      )對(duì)所有的

      θ

      ∈[-π,π]都是自伴的,所以

      ω

      ((ei

      A

      )+(ei

      A

      ))≤‖2

      X

      -

      Q

      ‖,因此對(duì)任意的

      θ

      ∈[-π,π]及單位向量

      x

      ,都有(|((ei

      A

      )+(ei

      A

      ))

      x

      ,

      x

      )|≤‖2

      X

      -

      Q

      ‖.另一方面,對(duì)

      H

      上的單位向量

      x

      ,存在

      θ

      (

      x

      ),使得ei()(

      Ax

      ,

      x

      )≥0,因此|(((ei()

      A

      )+(ei()

      A

      ))

      x

      ,

      x

      )|=((ei()

      A

      )

      x

      ,

      x

      )+((ei()

      A

      )

      x

      ,

      x

      )=2(ei()

      Ax

      ,

      x

      )≤‖2

      X

      -

      Q

      ‖.而對(duì)

      H

      上的單位向量

      x

      ,總有|(

      Ax

      ,

      x

      )|=|(ei()

      Ax

      ,

      x

      )|,

      不管是設(shè)計(jì)單位、制造單位、使用單位,還是檢驗(yàn)單位,都應(yīng)秉著認(rèn)真負(fù)責(zé)的態(tài)度來(lái)對(duì)待工作,將責(zé)任落到實(shí)處,這樣才能避免壓力容器事故的發(fā)生。

      定理2

      若算子方程 (1)有正算子解

      X

      , 則‖

      A

      ‖<‖

      X

      -

      Q

      ‖‖

      X

      .

      證明

      由方程

      X

      -

      A

      X

      -

      A

      =

      Q

      ,可得

      根據(jù)Douglas 值域包含定理, 存在單位算子

      C

      B

      (

      H

      )(其中‖

      C

      ‖=1),使得

      因此

      所以

      AA

      <‖

      X

      -

      Q

      X

      .由此可得‖

      A

      ‖<‖

      X

      -

      Q

      ‖‖

      X

      .

      定理3

      若算子方程 (1)有正算子解

      X

      , 則‖

      X

      ‖=‖

      Q

      ‖的充要條件是

      A

      不是下有界的.

      證明

      由定理1及正算子的性質(zhì)知,若方程由正算子解

      X

      ,則

      X

      Q

      ,‖

      X

      ‖≥‖

      Q

      ‖.必要性.設(shè)‖

      X

      ‖=‖

      Q

      ‖,而

      X

      Q

      都是正算子(記‖

      Q

      ‖=

      b

      ),所以

      ω

      (

      X

      )=

      γ

      (

      X

      )=‖

      X

      ‖=

      b

      ,(

      Xx

      ,

      x

      )=((

      A

      X

      -

      A

      +

      Q

      )

      x

      ,

      x

      )=(

      Qx

      ,

      x

      )+(

      A

      X

      -

      Ax

      ,

      x

      ),從而(A

      X

      -

      Ax

      ,

      x

      )→0.

      由引理3知

      從而

      Ax

      →0,因此

      A

      不是下有界的.充分性.反證法:假設(shè)‖

      X

      ‖>‖

      Q

      ‖=

      b

      ,則

      X

      -

      bI

      是可逆的.因此存在常數(shù)

      δ

      ,使得對(duì)于任意向量

      x

      H

      ,有((

      X

      -

      bI

      )

      x

      ,

      x

      )≥

      δ

      x

      ‖.由

      X

      =

      A

      X

      -

      A

      +

      Q

      ,結(jié)合

      Q

      ≤‖

      Q

      I

      =

      bI

      可得, 對(duì)任意向量

      x

      H

      ,有

      證明

      構(gòu)造正算子序列

      (2)

      根據(jù)迭代序列(2),

      X

      在由

      A

      Q

      生成的

      C

      *-代數(shù)中,且

      A

      是正規(guī)的,由命題1知, 對(duì)任意的

      n

      =0,1,2,…,有

      AX

      =

      X

      A

      ,

      X

      +1

      X

      =

      X

      X

      +1,

      且顯然

      X

      Q

      ,所以,有

      Q

      =

      X

      X

      X

      =

      Q

      +

      A

      Q

      -

      A

      逐次類推可得

      Q

      =

      X

      X

      X

      ≤…≤

      X

      X

      X

      =

      Q

      +

      A

      Q

      -

      A

      .

      (3)

      Q

      X

      Q

      +

      A

      Q

      -

      A

      .記‖

      Q

      +

      A

      Q

      -

      A

      ‖=

      a

      ,‖

      Q

      ‖=

      b

      ,則

      b

      ≤‖

      X

      ‖≤

      a

      ,所以

      (4)

      (5)

      逐次類推可得

      所以,有

      結(jié)合(4)式可得

      X

      2+1-

      X

      2‖≤

      b

      -2

      A

      ‖2

      a

      -1

      X

      2-

      X

      2-1‖.

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      不容忽視的基本概念—單位向量
      Roper-Suffridge延拓算子與Loewner鏈
      結(jié)論
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