李杰民 廖運章

【摘 要】 與實驗教材相比，人教A版高中數(shù)學(xué)新教材中概率內(nèi)容的改編力度很大：有新增有刪減，有強調(diào)有淡化，有順序調(diào)整，有概念重構(gòu). 新教材明晰了概率論的研究對象與研究方法，降低了概率起始教學(xué)的難度. 概率教學(xué)需要理解“樣本空間”的基礎(chǔ)地位與構(gòu)建原則，重視“隨機(jī)事件”概念及其符號化的教學(xué)，盡量采用計算機(jī)軟件開展隨機(jī)模擬活動.

【關(guān)鍵詞】 人教版高中數(shù)學(xué)教材;概率;樣本空間;隨機(jī)事件;事件的相互獨立性

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）[1]編寫的人教版高中數(shù)學(xué)新教材即將在全國多地投入使用，這是一套核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)新教材，關(guān)于新教材的解讀與研究成為當(dāng)前的重要任務(wù)與研究熱點. 文[2]從整體上介紹了人教A版高中數(shù)學(xué)新教材在編寫理念、教材結(jié)構(gòu)、知識內(nèi)容編排、例題和習(xí)題設(shè)置五個方面的特色，提出了教材的使用建議. 筆者認(rèn)真研讀了上述教材，發(fā)現(xiàn)“概率”部分除了具有文[2]所指出的特色以外，還具有改編力度大，知識結(jié)構(gòu)更加符合學(xué)科邏輯的顯著特點. 特別是，新教材給出了與舊教材完全不同的“隨機(jī)事件”的定義，將“頻率與概率”提升為單獨一節(jié)，將“事件的相互獨立性”由舊教材選修提前到新教材必修. 筆者認(rèn)為，這三個主要變化帶動了概率章節(jié)內(nèi)容的一系列調(diào)整，應(yīng)當(dāng)重點關(guān)注，認(rèn)真研究.

為了全面、準(zhǔn)確地理解新教材中“概率”內(nèi)容的編寫情況及其理念，本文首先給出新舊教材“概率”章節(jié)教學(xué)內(nèi)容的比較，梳理新教材出現(xiàn)的深刻變化;然后，圍繞上述三個主要變化，對變化的原因、內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系與教學(xué)中需要重點關(guān)注的內(nèi)容進(jìn)一步解讀;最后，給出教學(xué)建議.1 新舊教材“概率”內(nèi)容的比較

為了對“概率”內(nèi)容的改寫情況有一個清晰的認(rèn)識，首先對新教材必修第二冊的第十章“概率”與舊教材必修3的第三章“概率”作一個比較，如表1所示. 可以看出，新教材必修第二冊的第十章“概率”分為三節(jié)：“10.1 隨機(jī)事件與概率”“10.2 事件的相互獨立性”“10.3 頻率與概率”;舊教材必修3的第三章“概率”也分為三節(jié)：“3.1 隨機(jī)事件的概率”“3.2 古典概型”“3.3 幾何概型”. 雖然新舊教材都是分為三節(jié)，但從三節(jié)的標(biāo)題對比即可以看出，教學(xué)重點發(fā)生了明顯的改變.

具體而言，主要變化是：其一，舊教材“3.3幾何概型”在新教材中被刪除，新教材增加了“有限樣本空間”;舊教材“3.1.2 概率的意義”被刪除，但保留了其中的“孟德爾遺傳規(guī)律的試驗與發(fā)現(xiàn)”，改編調(diào)整到章尾處的“閱讀與思考”之中. 其二，舊教材“3.2 古典概型”“降級”為新教材中的“10.1.3 古典概型”，新教材的目錄部分不再有“古典概型”，不難理解，這是一種淡化之意;而“隱藏”在舊教材“3.1.1 隨機(jī)事件的概率”中的“頻率與概率”提升為新教材“10.3 頻率與概率”，單獨列為一節(jié)， 可以理解為凸顯其難度或重要性之意，但也并非簡單的強調(diào)，筆者認(rèn)為，由于頻率的穩(wěn)定性涉及“依概率收斂”理論，內(nèi)容抽象，難度較大，中學(xué)階段并不介紹概率論中的收斂理論，因此，單獨列出考慮到了該內(nèi)容的難度、所需學(xué)時以及內(nèi)容的獨特性. 其三，“事件的相互獨立性”由舊教材選修23的“2.2二項分布及其應(yīng)用”的子目錄“2.2.2 事件的相互獨立性”提前到新教材必修，這是一個跨度最大的教學(xué)順序調(diào)整，提前教學(xué)并且“升級”為單獨一節(jié)“10.2 事件的相互獨立性”. 另外，原本分散在“3.2 古典概型”與“3.3幾何概型”中的“隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生”合并調(diào)整到新教材“10.3 頻率與概率”的子目錄“10.3.2 隨機(jī)模擬”.

此外，還有一個容易被忽視但特別重要的細(xì)節(jié)：舊教材“3.1 隨機(jī)事件的概率”與新教材“10.1 隨機(jī)事件與概率”的標(biāo)題存在差異，新教材明確區(qū)分了“隨機(jī)事件”與“隨機(jī)事件的概率”，對“隨機(jī)事件”概念進(jìn)行了重構(gòu). 換言之，新教材概率起始教學(xué)內(nèi)容發(fā)生了深刻的改變.

2 新教材概率教學(xué)需要重點關(guān)注的內(nèi)容

通過上述比較可知，概率內(nèi)容改動力度很大，既有新增也有刪減，既有“升級”強調(diào)也有“降級”淡化，還有教學(xué)順序的前后調(diào)整，等等. 需要指出的是，這些變化具有很強的邏輯關(guān)聯(lián)性，并非簡單的知識重組. 另外，還有概念的重構(gòu)，比如，改寫了“隨機(jī)事件”的定義，這需要進(jìn)一步研究具體內(nèi)容才能了解重構(gòu)的細(xì)節(jié)與原因. 為此，以下對新教材概率教學(xué)需要重點關(guān)注的內(nèi)容做進(jìn)一步的解讀.

2.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件

新教材“章首語”首先介紹“隨機(jī)現(xiàn)象”以及概率論的研究對象，然后，“10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件”指出概率論研究隨機(jī)現(xiàn)象的方法——隨機(jī)試驗，逐步得到“樣本點”“樣本空間”“有限樣本空間”等概念，最后給出“隨機(jī)事件”的定義，將“隨機(jī)事件”定義為“樣本空間的子集”. 換言之，新教材對“隨機(jī)事件”概念進(jìn)行了重構(gòu)，有兩點需要特別注意.

其一，新教材“隨機(jī)事件”的定義與舊教材完全不同. 該定義的優(yōu)點在于：首先，與日常生活中的同名概念劃清了界限，有效區(qū)分了生活中的“隨機(jī)事件”與數(shù)學(xué)世界中的“隨機(jī)事件”，避免了舊教材以“在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件”這樣一個不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x所帶來的教學(xué)上的混亂. 其次，保證了“隨機(jī)事件”定義的科學(xué)性. 嚴(yán)格地說，“隨機(jī)事件是樣本空間的子集”是一個真命題，但“樣本空間的子集是隨機(jī)事件”是一個假命題，原因在于：對于無限樣本空間而言，可能存在不可測子集，即并非每一個子集都可以稱為隨機(jī)事件，但如果限定為“有限樣本空間”，則不會出現(xiàn)上述困惑. 因此，“有限樣本空間”保證了“隨機(jī)事件”定義的科學(xué)性，同時，降低了高中“概率”起始教學(xué)的難度，與新課標(biāo)界定的“必修”課程的定位相符. 第三，接近大學(xué)階段的定義，有利于高中與大學(xué)階段的銜接.

其二，新教材明晰了概率論的研究對象與研究方法. 新教材從“章首語”到“10.1隨機(jī)事件與概率”，花費大量篇幅推出概率論的基本概念——隨機(jī)事件，并介紹隨機(jī)事件的關(guān)系和運算、“古典概型”情形下的概率計算以及概率的性質(zhì)，詳細(xì)展示了概率論的研究對象與研究方法，以及通過“隨機(jī)試驗”將研究對象轉(zhuǎn)化為“隨機(jī)事件”的技術(shù)路線，對于增進(jìn)師生對概率論的理解非常有益. 比較新舊教材的“章小結(jié)”的“知識結(jié)構(gòu)圖”可知，新教材“概率”的知識結(jié)構(gòu)更加清晰，更加符合概率學(xué)科的邏輯結(jié)構(gòu)，明晰了概率論的研究對象與研究方法，有利于師生對概率內(nèi)容的理解與整體把握.

2.2 事件的相互獨立性

舊教材選修23“2.2.2 事件的相互獨立性”的編寫情況：以“三名同學(xué)有放回地抽取獎券”為引例，事件A表示“第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券”，事件B表示“最后一名同學(xué)抽到中獎獎券”，憑常識可知P（BA）=P（B），結(jié)合乘法定理P（AB）=P（A）P（BA），得到P（AB）=P（A）P（B），由此引出事件A與事件B相互獨立的定義.

新教材必修第二冊“10.2 事件的相互獨立性”編寫情況：首先，從兩個隨機(jī)試驗（拋擲硬幣試驗，有放回摸球試驗）為探究載體，分別計算P（A）、P（B）、P（AB），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個試驗的共性，即P（AB）=P（A）P（B），從而歸納出“獨立性”概念. 此外，例題增加到3個，且3個例題代表不同的使命：例1是一個反例，告誡初學(xué)者“獨立性”不常有，使用需謹(jǐn)慎. 例2、例3給出了使用獨立性解題的條件，其中例2本身沒有說明“獨立性”，“獨立性”條件隱含在事件的實際意義中;例3聲明“互不影響”，直接告知“獨立性”條件.

需要特別提醒的是，舊教材將“事件的相互獨立性”作為“條件概率”的后續(xù)，作為“乘法定理”的特殊情形，采用的是演繹推理的形式. 新教材重構(gòu)了“事件的相互獨立性”，通過歸納推理方式獲得概念，并且，通過正反例結(jié)合深化對概念的理解，改寫力度很大. 從現(xiàn)實課堂教學(xué)以及公開的教學(xué)視頻與教學(xué)論文可知，許多教師受到傳統(tǒng)教材（包括大學(xué)教材）編寫順序的影響，機(jī)械套用“最近發(fā)展區(qū)”理論，認(rèn)為從“條件概率”入手才能深刻地理解“獨立性”. 新教材將“事件的相互獨立性”提前到必修課程，此時尚未學(xué)習(xí)“條件概率”，適應(yīng)舊教材的教學(xué)設(shè)計必須改變[3].

2.3 頻率與概率

頻率的穩(wěn)定性、頻率穩(wěn)定于概率、頻率穩(wěn)定于概率為獲取隨機(jī)事件的概率提供了一種估算方法，這些重要而且具有難度的知識點原本內(nèi)嵌于舊教材“3.1.1 隨機(jī)事件的概率”之中，新教材將這些內(nèi)容改寫并“升級”為單獨一節(jié)“10.3 頻率與概率”，其中“10.3.1 頻率的穩(wěn)定性”通過“探究”“試驗”“折線圖”等方法歸納出“頻率的穩(wěn)定性”概念;“10.3.2 隨機(jī)模擬”介紹了“用頻率估計概率”的計算機(jī)模擬方法——采用電子表格軟件模擬大量重復(fù)試驗.

可見，新教材明確區(qū)分了概率的理論計算與估算，理論計算放在前兩節(jié)，估算方法放在最后一節(jié)，編寫思路更加清晰，給師生的教與學(xué)帶來了便利.3 新教材概率內(nèi)容的教學(xué)建議

為了理解好、使用好、發(fā)揮好新教材的價值，走出舊教材造成的思維定勢，在對新舊教材內(nèi)容的比較、以及新教材主要內(nèi)容解讀的基礎(chǔ)上，給出以下教學(xué)建議，供高中數(shù)學(xué)同仁教學(xué)參考.

3.1 理解“樣本空間”的基礎(chǔ)地位與構(gòu)建原則

新教材從“章首語”到“10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件”“10.1.2 事件的關(guān)系和運算”花費了大量的篇幅介紹“隨機(jī)事件”，凸顯了“隨機(jī)事件”作為概率論的基礎(chǔ)概念的重要性. 因為“隨機(jī)事件”是“樣本空間的子集”，所以，構(gòu)建合適的樣本空間是表達(dá)和刻畫“隨機(jī)事件”的前提. 因此，教師研讀教材，不僅要熟悉知識點，還要理解“樣本空間”在概率論中的基礎(chǔ)地位與構(gòu)建原則.

比如，因為“有限樣本空間”的限制，“幾何概型”被刪除也就成為必然. 從多年的教學(xué)實踐來看，“幾何概型”教學(xué)存在許多誤區(qū)甚至錯誤，“幾何概型”中的“等可能性”與“古典概型”中的“等可能性”存在質(zhì)的區(qū)別，中學(xué)階段很難解釋清楚，因此，刪除“幾何概型”也是出于難度的考慮.

又如，“10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件”出現(xiàn)了4個要求寫出樣本空間的例題，由于都是有限樣本空間，初學(xué)者很容易產(chǎn)生錯覺：其一，寫出樣本空間是一件容易的事情;其二，寫出樣本空間后，隨機(jī)事件可以一一列出，因此寫出隨機(jī)事件也是一件容易的事情. 然而，在復(fù)雜隨機(jī)現(xiàn)象的研究中，寫出樣本空間往往是一件很困難的事情，即使在大學(xué)或中學(xué)的概率教學(xué)中，也存在一定的困難. 困難在于：其一，難以寫出甚至無法寫出. 比如，學(xué)習(xí)選擇性必修課程第三冊第七章中的“全概率公式”時將會發(fā)現(xiàn)，涉及“全概率公式”的問題往往是先寫出“完備事件組”，即給出樣本空間的一個“劃分”，間接確定樣本空間;學(xué)習(xí)“隨機(jī)變量”后將會發(fā)現(xiàn)，“隨機(jī)變量”建立起“樣本空間”到“歐式空間”的一個映射，有關(guān)概率計算的問題轉(zhuǎn)移到“歐式空間”（中學(xué)階段主要是直線或平面），此時已經(jīng)看不到“樣本空間”，但要真正理解通過“隨機(jī)變量”表達(dá)的“隨機(jī)事件”，依然依賴于作為原像集的“樣本空間”. 其二，即使是較為簡單的問題，容易寫出樣本空間，也需要考慮樣本空間的創(chuàng)建原則. 一般而言，樣本點盡量簡單，或者說，基本事件盡量簡單，不能再分解. 不能“再分解”的標(biāo)準(zhǔn)由問題背景決定. 正如史寧中先生指出：樣本空間的創(chuàng)建與問題背景有關(guān)，與問題本身無關(guān)[4]. 因此，教師應(yīng)理解“樣本空間”的構(gòu)建原則，不可隨意構(gòu)建樣本空間，否則，將給教學(xué)帶來困擾.

另外，教師要引導(dǎo)學(xué)生感受樣本空間的動態(tài)性與復(fù)雜性. 比如，新教材“10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件”中的4個例題的樣本點分別是英文字母、自然數(shù)、2維的點、3維的點. 教師要做好示范，引導(dǎo)初學(xué)者認(rèn)認(rèn)真真寫好樣本空間，為研究后續(xù)復(fù)雜的概率問題奠定基礎(chǔ).3.2 重視“隨機(jī)事件”概念及其符號化的教學(xué)

“事件”與“事件的概率”是概率論中兩個最基本的概念[5]. 換言之，兩者都很重要，兩個概念都要清楚的界定，這是概率論研究者的常識，新教材的編寫為此付出了努力. 具體表現(xiàn)在：其一，舊教材的目錄與子標(biāo)題均沒有出現(xiàn)“隨機(jī)事件”，新教材則花費大量的篇幅重構(gòu)“隨機(jī)事件”，凸顯“隨機(jī)事件”概念的重要性，避免了舊教材不講“隨機(jī)試驗”直接進(jìn)入“隨機(jī)事件的概率”而造成的教學(xué)上的混亂[6]. 其二，“事件的概率”的準(zhǔn)確定義要在公理化概率論中才能嚴(yán)格的表達(dá)，舊教材第一節(jié)“3.1.1 隨機(jī)事件的概率”直奔“事件的概率”，新教材的目錄與子標(biāo)題均沒有出現(xiàn)“隨機(jī)事件的概率”，直到“10.1.3古典概型”才出現(xiàn)“事件的概率”的字樣，但并非定義. 總之，新教材給出了和大學(xué)階段接近的“隨機(jī)事件”的定義，但對于中學(xué)階段無法嚴(yán)格定義的“事件的概率”，則采取了“低調(diào)”的處理方式. 換言之，新教材傳遞了需要重視“隨機(jī)事件”概念教學(xué)的信號.

關(guān)于隨機(jī)事件概率的計算，除了基本事件的概率比較容易獲得，一般而言，計算較為復(fù)雜的隨機(jī)事件的概率，需要借助事件的關(guān)系和運算，以及概率的性質(zhì). 因此，隨機(jī)事件的符號化特別重要，需要引起教師的重視，耐心做好示范教學(xué). 事件符號化以后，把待求概率的隨機(jī)事件轉(zhuǎn)化為基本事件或者容易求出概率的事件的數(shù)學(xué)表達(dá)式，再利用概率的性質(zhì)，計算出待求隨機(jī)事件的概率.

比如，“10.2 事件的相互獨立性”中的例3，事件A=“兩輪活動星隊猜對三個成語”，事件A的概率難以直接計算，但可以表示為：A=A1B2∪A2B1，而事件A1、A2、B1、B2的概率的計算相對簡單，利用事件的關(guān)系與性質(zhì)得到P（A）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1），從而獲得較為復(fù)雜的事件A的概率.

3.3 重視概率的估算方法的教學(xué)，盡量采用計算機(jī)軟件開展隨機(jī)模擬活動

概率的計算與估算是研究隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的兩種不同的方法. 新教材明確區(qū)分了兩者的差異，將舊教材“3.1.1 隨機(jī)事件的概率”之中的一個知識點“用頻率估計概率”提升為單獨一節(jié)“10.3 頻率與概率”，明顯表達(dá)了需要引起重視的信號. 筆者認(rèn)為，新教材將“頻率與概率”單獨列為一節(jié)，一是有利于分解教學(xué)難點，二是通過“探究”“試驗”“折線圖”等方法體驗“頻率的穩(wěn)定性”，是中學(xué)生喜聞樂見的有利于化解抽象概念的數(shù)學(xué)探究活動，有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與課堂參與. 但采用電子表格軟件模擬大量重復(fù)試驗的活動往往需要占用較多的教學(xué)時間，對不熟悉電子表格的概率統(tǒng)計功能的教師而言，還需要花一些時間學(xué)習(xí)如何使用. 但是，隨機(jī)數(shù)學(xué)具有不同于確定性數(shù)學(xué)的獨特性，隨機(jī)模擬不僅有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也是促進(jìn)概率與統(tǒng)計融通的技術(shù)手段. 因此，教師需要轉(zhuǎn)變觀念，與時俱進(jìn)，為發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)而教，盡量采用計算機(jī)軟件開展隨機(jī)模擬活動，不要因為測評難以考查或者因為占用較多時間而忽視該內(nèi)容的教學(xué).

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作者簡介

李杰民（1973—），男，湖南平江人，嶺南師范學(xué)院講師，博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究，發(fā)表論文10余篇.

廖運章（1964—），男，廣西羅城人，廣州大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究.