【摘 要】 同課異構是提升教學質量和教師專業(yè)素質的一種行之有效的校本教研方式.文章呈現(xiàn)四位青年教師對同一教材內容《二項式定理》（第1課時）的不同處理，不同的教學策略、迥異的風格所產生的不同教學效果，并加以點評，然后給出自己的見解，彰顯了數(shù)學文化的融入和學科素養(yǎng)的發(fā)展.

【關鍵詞】 同課異構;數(shù)學文化;數(shù)學素養(yǎng);教學思考

前不久筆者應邀參加了洋縣中學開展的《二項式定理》（北師版教材第1課時）教學的同課異構活動，活動組織安排的井然有序，首先是連續(xù)四節(jié)聽課，評委打分，緊接著兩節(jié)交流研討，評委及聽課教師分類評課交流，活動開展的扎實有效，受益匪淺.但反思參與授課的四位年輕教師的教學設計和課堂表現(xiàn)，我很想談幾句，不當之處，盡請指正.

1 教學情景呈現(xiàn)與評析

1.1 創(chuàng)設情境引入課題

四位授課教師引入環(huán)節(jié)的設計，按參賽順序整理如下：

杜老師：[思考]今天是星期五，再過23天后是星期幾？追問：再過810天后是星期幾，不借助計算器你能給出答案嗎？

趙老師：[情景問題]生活中常見的勵志語“積跬步以至千里，積怠惰以致深淵”，其中蘊含著重要的數(shù)學公式：（1+0.01）365≈37.8，（1-0.01）365≈0.03.

[抽象問題]公式的實質就是計算（a+b）n的問題.

范老師：回顧（a+b）2的展開式，進而提出：（a+b）3的展開式如何得到？（a+b）4，（a+b）5，…，（a+b）100 還能用此方法展開嗎？

尹老師：本節(jié)課開始我們學習二項式定理.什么叫二項式？針對（a+b）2的展開式都是學過的，那更高次冪的展開式如何呢？這就是我們本節(jié)課所要研究的問題 ：（a+b）n的展開式？

評注 杜老師采用了傳統(tǒng)的方法，利用星期的周期性，推算星期幾也就是求被7除的余數(shù)，貼近生活，但最終過渡到課題明顯不在知識的最近發(fā)展區(qū)，顯得牽強不自然.又由于學生對星期五這一天算不算在23天內，及“再過——后”詞義含糊不清，出現(xiàn)“星期六、星期日、星期一”等不同答案，嚴重消弱了原本的設計意圖;趙老師用出自荀子

《勸學篇》的語句中蘊含的數(shù)學文化，抽象出數(shù)學問題引入，其中365次方代表一年365天，1代表每一天要做的努力，1.01表示每天多做0.01，0.99代表每天少做0.01.365天后，一個增長到了37.8，一個減少到0.03，差別太大了！ 這兩個公式被網(wǎng)友解讀為：“每天進步一點點，屌絲一年變富帥;每天退步一點點，富美一年變挫矮”.作為教學勵志用語，要明確表達這層意思：“希望同學們懂得每天多做一點點，就可以積少成多，帶來飛躍;每天少做一點點，就會不進則退，跌入谷底.”如此這般，文化意蘊濃厚，教育意義突出，又能順利點題，但這對后續(xù)介紹公式（1+x）n≈1+nx（x→0）略有影響，因為若要利用二項式定理驗證公式（1+0.01）365≈37.8需要計算到展開式的第13項C12365（0.01）12方可;范老師和尹老師基本上屬于開門見山的方法，直接提出數(shù)學問題“（a+b）n的計算”引入課題，但前者先展開了（a+b）2和（a+b）3，有溫故知新的“憤”狀，而后者并未調動起學生的思考，屬于老師的個人表演.

1.2 問題探究發(fā)現(xiàn)定理

四位老師均采用從特殊到一般的探究、歸納、猜想、證明的思路來推進定理的教學，但呈現(xiàn)方式卻不同.

杜老師：問題1 請展開（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3），并分析各項，你能用本章所學的知識解釋各項的構成嗎？

問題2 若令a1=a2=a3=a，b1=b2=b3=b，能得到什么？展開式整理過后各項的系數(shù)有什么特點？

問題3 （a+b）4展開后有哪幾種形式的項？各項的系數(shù)分別是什么？

問題4 觀察上面幾個式子的展開式中項數(shù)、指數(shù)變化以及系數(shù)變化，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能猜想（a+b）n的展開式嗎？

趙老師：[閱讀文獻] （a+b）n的展開式問題，早在公元1261年我國南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算術》一書中給出了二項式系數(shù)的三角形數(shù)塔，即“楊輝三角”：

1

11……（a+b）1=a+b

121 ……（a+b）2=a2+2ab+b2

1331 ……（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641 ……（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

15101051

……………… ……

問題1 利用楊輝三角試著寫出（a+b）5的二項展開式？

問題2 試猜測（a+b）n展開式的項數(shù)，項的一些規(guī)律？

問題3 試用多項式乘法展開（a+b）3，分析展開式的特點？

問題4 試用上述規(guī)律展開（a+b）4.

問題5 試用上述規(guī)律分析（a+b）n的展開式.

范老師：問題1 分析（a+b）2=a2+2ab+b2的展開式是如何得到的？追問：再從組合的角度對其進行分析.

問題2 類比以上過程，分析（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）的展開式.

問題3 不計算，能否寫出（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的展開式？

問題4 利用組合的知識得到了（a+b）3，（a+b）4的展開式，推廣到一般，能否用同樣的方法將（a+b）n展開？

尹老師：問題1 展開（a1+b1）（a2+b2），每一項是怎樣構成的？

問題2 請展開（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3），展開式中有多少項？每一項是怎樣構成的？

問題3（a+b）3的展開式又是什么？

探究 合并同類項之前共有多少項？各項是怎么來的？合并整理過后有幾項？各項的系數(shù)是怎么來的？

問題4 猜想（a+b）4展開式有哪幾種形式的項？各項的系數(shù)分別是什么？

問題5 猜想（a+b）n的展開式是什么？并說明理由.

評注 杜老師采用教材的方法探究，但未達到教材編者的意圖.問題1前半問目的是弄清多項式乘法法則，即展開式的每一項都是由各個因式中的一項相乘得到的，后半問意在表達每一項都是由各個因式中的一項的組合，明顯這個問題放在問題2后面更合適;相比之下尹老師的設計更加細膩，不僅在問題1給出了兩個多項式相乘的鋪墊，而且問題3強調了合并同類項前后的異同，又在問題4通過二項四次式展開來強化展開式的特點，為一般情況的猜想和證明打好了基礎.

教材在下一節(jié)《二項式系數(shù)的性質》中就是依據(jù)“楊輝三角”來學習的，趙老師第一節(jié)便介入“楊輝三角”不僅整體上顯得累贅，而且問題2的完成難以實現(xiàn)，也不利于揭示二項式定理的形成過程，不利于問題3，4展開式的乘法規(guī)律的發(fā)掘，同時也影響了這兩個問題的教學效果，成為單純?yōu)榱俗C明n次展開式的方法探尋.若將其放在課時最后給出，并提示“關于楊輝三角有很多有趣的結論，望大家課后進行探索.”是否可起到拋磚引玉的良好預習效果.

范老師直接分析完全平方公式的特點，表面看是從學生熟悉的公式出發(fā)研究，但學生已知公式的簡化形式，這就需要回到公式的形成中觀察展開式各項及其系數(shù)的規(guī)律，否則容易形成探究假象或教師枯燥講解.事實上，從組合角度直接寫出系數(shù)的組合數(shù)形式也的確困難.

1.3 熟悉定理學以致用

本節(jié)課內容較多，時間緊張，想面面俱到是不可能的，因此在例題的選擇上要盡量做到精講.四位老師對教材例題都做了一定的篩選，但效果差異較大.

杜老師：[小試牛刀] 在二項式定理中，令a=1，b=x，寫出二項展開式.

例1 展開x+1x25.

例2 展開2x-1x4.

思考 （1）展開式中第三項的二項式系數(shù)是什么？（2）展開式中第三項的系數(shù)是什么？（3）如果不展開所有項，你能求出其中的常數(shù)項嗎？如何求出？

評注 公式（1+x）n=1+C1nx+…+Crnxr+…+xn作為二項式定理的特例，在這里出

現(xiàn)起到讓學生理解公式中a，b的任意性和熟悉定理的作用（這個作用例1，例2同樣可以體現(xiàn)），但其它豐富的價值，如理解1+x的n次展開式中多項式的結構特征、研究二項式系數(shù)的性質、近似計算及賦值法的應用等難以發(fā)揮.另外，在講授例1時老師引導對應公式中的a，b，寫出展開式，板書過程，強調了結果的化簡，體現(xiàn)了解題的規(guī)范性;在講授例2時直接將2x-1x4化為（2x-1）4x2，然后展開，接著回答思考問題.如此講解，并未體現(xiàn)替換教材中的例2、例3的作用.筆者建議：去掉“小試牛刀”環(huán)節(jié)，直接使用教材中的例2、例3，其中例2用來熟悉定理的展開過程及二項式系數(shù)和項的系數(shù)的區(qū)別，而把例3作為側重建立二項式定理這個數(shù)學模型和落實數(shù)學運算素養(yǎng)的問題，強調把2x-1x看成2x+-1x，以及根指互化、指數(shù)運算、通分變形等運算能力，根據(jù)情況增加變形轉化解法以及求常數(shù)項等問題.

趙老師：例1 利用二項式定理展開下列各式：

（1）（x+2）5;（2）2+1x4; （3）x-1x4.

例2 求（x-2y）6展開式中的第四項，并求該項的系數(shù).

變式 （2018年全國卷改編）求x2+2x5展開式中x4項的二項式系數(shù)、系數(shù).

評注 此處雖然保留了教材中的例1，例2，例4，但揚棄教材中例3，忽視根式的運算及該題的不同求解策略，似有不妥，且例1中三小題的設計顯得重復，筆者認為至少可以刪去一個小題，如（2）.

范老師：（1）知識應用： 展開（1-2x）5.

（2）小試牛刀： 課本練習1，2.

（3）變式訓練：已知（1-2x）5，求①展開式中第四項;②展開式中第四項的二項式系數(shù);③展開式中第四項的系數(shù).

（4）鏈接高考：（x+a）10展開式中，x7的系數(shù)為15，則a=.

評注 范老師采用階梯式上升的策略對能力欠佳的學生較為有利，但（1）（3）兩個環(huán)節(jié)放在一起似乎更緊湊，且完全拋棄課本的例題值得商榷.課本中的每一個例題都有用意，題可以替換，但其作用不能忽視！

尹老師：例1 求2+1x4的展開式.

變式 求2-1x4的展開式.

思考 1.寫出展開式的第三項;2.寫出展開式的第三項系數(shù);3.寫出展開式的第三項的二項式系數(shù);4.你能直接寫出展開式的第四項及系數(shù)嗎？5.展開式中有無常數(shù)項？若有，是多少？

例2 已知2x-1x4.（1）求其展開式;（2）展開式中第5項;（3）寫出含x2的項;（4）常數(shù)項.

評注 尹老師將例1板演講授，并給出變式題，接著提出5個思考問題直指展開式的指定項問題可謂一箭三雕：第一，強調定理“a+b”的模式;第二，參透通項公式的應用;第三，強化項的系數(shù)及其二項式系數(shù)概念.但隨后把例2作為學生自主練習，筆者認為難度偏大，把例2和變式1對調是否更好？

2課后反思

四位老師的教學基本做到重視二項式定理的形成過程，定理的特征及二項展開式的通項公式這一核心內容，作為工作三五年的年輕教師已經(jīng)很不錯了，但俗話說“教學沒有最好只有更好”，特別是對數(shù)學內容的本質認識和學科素養(yǎng)的孵化.

2.1 整體把握教材系統(tǒng)優(yōu)化教學

要備好一節(jié)課，首先要從整體上把握該課內容，通常包括兩個方面：一方面是這部分知識的前后聯(lián)系，一方面是本課內容本身的要求及橫向拓展.二項式定理涉及組合數(shù)，而且由二項式定理可以推導出一些組合數(shù)的恒等式，因此它最好是計數(shù)原理的后繼內容，另一方面，它也為后面學習二項分布奠定基礎.教材安排第一節(jié)學習二項式定理，第二節(jié)學習二項式系數(shù)的性質，其中滲透了楊輝三角，由表及里，二項式系數(shù)通過“式算”和“圖算”結合的方式呈現(xiàn)，利于學生接受.

二項式定理本質上是多項式運算的推廣，利用多項式乘法法則，通過從特殊到一般的推理過程進行歸納概括，探索得出二項式定理，是本節(jié)的重點也是難點.本節(jié)的另一個重點就是二項式定理的簡單應用，特別是利用通項公式求指定項及其系數(shù)或二項式系數(shù)問題.對于二項式系數(shù)的性質（包括楊輝三角）、賦值法的應用、最值問題、參數(shù)問題、二項式的拓展，即三項式和兩個二項式的冪的展開中項的問題等 ，都不宜在本節(jié)出現(xiàn).

2.2 融入數(shù)學文化提升數(shù)學素養(yǎng)

二項式定理其實就是一個公式，也就是一個二項式的n次冪及其展開的關系式，它由艾薩克·牛頓于1664—1665年期間提出，所以又稱牛頓二項式定理.在中國與二項式定理相應的結論“古法七乘方圖”出現(xiàn)在楊輝的《詳解九章算法》（1261）之中，因其記載為北宋數(shù)學家賈憲所創(chuàng)，故稱為楊輝三角或賈憲三角.在歐洲，帕斯卡在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形.帕斯卡的發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.

四位老師只有范老師和趙老師將數(shù)學史融入教學中.數(shù)學史的滲透貴在自然，對比之下范老師做得較好，他在出示課題后指出：“二項式定理就是研究（a+b）n=？，早在南宋時期，我國數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》一書對此有了結論.1664年，年僅22歲的牛頓發(fā)現(xiàn)并完善了二項式定理.”該處理既讓學生了解了數(shù)學家的貢獻，定理產生的時間，又激發(fā)了學生學習新知的熱情和了解中華燦爛歷史的渴望，我國早西方幾百年的發(fā)現(xiàn)究竟是怎樣的知識？

2.3 培養(yǎng)探究意識強化思想方法

在教學中，教師要努力把表現(xiàn)的機會讓給學生，發(fā)揮他們的自主精神;盡量創(chuàng)造讓學生活動的機會，讓學生在直接體驗中構建自己的知識體系;盡量引導學生的發(fā)展和創(chuàng)造意識，使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學習[1].如（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3）展開時各項規(guī)律的探究——每一項都是3個字母相乘，且這3個字母分別來自原來3個不同的因式;（a+b）3展開式中項的系數(shù)規(guī)律的探究——項的系數(shù)就是該同類項的個數(shù)，也就是i個a和3-i個b的排列數(shù)（i=0，1，2，3）;由（a+b）2，（a+b）3展開式的特征歸納猜想（a+b）n的展開式;利用組合數(shù)對猜想進行“說理證明”;定理中展開式的特點;通項公式的應用;二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別;例題的不同解法等等，這些都是很好的探究點.如何發(fā)揮其探究功能，增強學生學習的主觀能動性，既需要教師在設計上下功夫，也需要教師有很強的課堂駕馭能力.

波利亞在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》一書中指出“高中數(shù)學教學目標首先和主要的，是必須教會那些年輕人去思考.”[2]二項式定理的推導體現(xiàn)了從特殊到一般的思維方式，定理的證明和應用時“標準式（a+b）n”的模型化思想，例3求解的轉化劃歸思想，這些都是促進學生思維能力的生長點.事實上，二項式定理就是二項式乘方的展開式規(guī)律的反映，但對其形成本質的理解程度則直接影響后續(xù)的學習，如“求（2-x2）（3x+4）5展開式中x4項的系數(shù)”“求（2x-3y+z）6展開式中x2yz3項”“二項分布”等新知的學習.

總之，二項式定理的學習過程是培養(yǎng)學生思維品質，提高學生觀察歸納能力、抽象概括能力、邏輯推理能力和運算求解能力的好素材，在教學中應充分加以利用.

參考文獻

[1] 嚴士健，王尚志主編.數(shù)學（選修23）教師教學用書[M].北京：北京師范大學出版社，2012.6.

[2] 喬治·波利亞.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究和講授[M].北京：科學出版社，2015.8.

作者簡介 劉正章（1968—），男，陜西旬陽人，正高級教師， 特級教師，陜西名師，主編數(shù)學書籍29部，發(fā)表文章103篇，主要鉆研于中學數(shù)學教學及數(shù)學文化的研究.