可信測(cè)度空間下的似乘算子模糊概率積分研究

趙 輝，姜欣格，單云霄

(哈爾濱理工大學(xué) 理學(xué)院,哈爾濱 150080)

0 引 言

1974年，日本學(xué)者Sugeno首先提出了模糊測(cè)度與積分的概念。模糊測(cè)度作為一個(gè)全新的理論得到了快速的發(fā)展。模糊積分作為由傳統(tǒng)積分演化而來的一種積分，具有兩種形式一種是具有可加性的模糊積分；另一種是不具有可加性的模糊積分，后者是現(xiàn)在研究的主要內(nèi)容。

1984年王震源[1]定義了集函數(shù)的“自連續(xù)”與“零可加”。2002年HABIL E等[2]研究了經(jīng)典概率論在模糊概率論中是否具有有效性的問題，由此提出了模糊概率的概念，并將一般變量演變?yōu)槟：S機(jī)變量，在模糊概率條件下證明了中心極限定理。2003年[3]EN-LIN Lü等利用區(qū)間概率對(duì)模糊事件的隨機(jī)變量進(jìn)行了研究，最終得到了模糊概率定理，與此同時(shí)還對(duì)其數(shù)學(xué)期望和方差的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了研究。2005年MESIAR R[4]首先對(duì)一般的模糊積分及性質(zhì)進(jìn)行了研究，又對(duì)正則模糊積分進(jìn)行了研究，最后將模糊測(cè)度與積分進(jìn)行了總結(jié)。2006年成和平[5]對(duì)模糊值函數(shù)的Sugeno積分進(jìn)行了研究，得到了當(dāng)函數(shù)a.e.相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)積分極限相等；函數(shù)積分、極限均相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)積分極限相等。

2010年曹興陽(yáng)[6]先從經(jīng)典測(cè)度的角度研究了隨機(jī)變量的收斂性，又運(yùn)用概率論語(yǔ)言對(duì)概率進(jìn)行了研究，并對(duì)其收斂性進(jìn)行分析。同年，李艷紅等[7]在廣義Sugeno條件下，對(duì)一種非負(fù)可積函數(shù)積分的確界形式進(jìn)行研究，又得到了一些運(yùn)算性質(zhì)。MERIGO J M等[8]在模糊概率中加入加權(quán)平均算子來進(jìn)行廣泛的聚合運(yùn)算。

模糊積分在模糊數(shù)學(xué)中占有重要的地位，其中非可加的模糊積分受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注[9-15]，2012年Liu Y[16]等在直覺模糊值Sugeno積分的基礎(chǔ)上研究了區(qū)間模糊值Sugeno積分。2015年HALAR等[17]對(duì)離散SUGENO積分進(jìn)行分析得到了一些新的性質(zhì)。SMREK P[18]在2015年對(duì)幾種Sugeno積分進(jìn)行了對(duì)比分析。2016年TAJNER-PAPUGA I[19]以模糊測(cè)度為背景建立積分，得到了Sugeno積分特定模糊量的均值。2017年時(shí)婧婧[20]構(gòu)造了模糊貝葉斯概率評(píng)估模型，用來解決網(wǎng)絡(luò)信息安全問題，得到了較好的效果。

本文主要通過t-模和s-模定義條件設(shè)計(jì)了一個(gè)似乘算子和似和算子，重點(diǎn)對(duì)似乘算子進(jìn)行了研究，在可信測(cè)度空間上結(jié)合似乘算子，重新定義了廣義Sugeno模糊概率積分，根據(jù)演化的Sugeno模糊概率積分定義獲得了此積分的一般性質(zhì)及弱絕對(duì)連續(xù)性，并給出了可測(cè)函數(shù)a.e.相等時(shí)，測(cè)度是零可加的等一些定理的證明。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)X為非空集合，由X的一些子集構(gòu)成的σ-代數(shù)即為F，集函數(shù)μ：F→[0，∞]是F上的模糊測(cè)度，若滿足：

1)μ(?)=0；

2)A∈F，B∈F，A?B?μ(A)≤μ(B)；

且?n0使

當(dāng)μ滿足1)，2)，3)，μ稱為下半連續(xù)模糊測(cè)度；當(dāng)μ滿足1)，2)，4)，μ稱為上半連續(xù)模糊測(cè)度。

若μ是可測(cè)空間(X，F(xiàn))上的模糊測(cè)度，則(X,F,μ)稱為模糊測(cè)度空間。

1)μ(?)=0，μ(X)=1；

定理1概率空間為(X,A,P)，概率測(cè)度P：A→[0,1]滿足以下條件：

1)P(X)=1；

2)?i≠j，Ai∩Aj=?，

如果{An}滿足A1?A2?…?An?…，則稱{An}為單調(diào)增序列，記為“An”；

如果{An}滿足A1?A2?…?An?…，則稱{An}為單調(diào)減序列，記為“An”。

定義3設(shè)f是模糊測(cè)度空間(X,F,μ)→[0,∞]的可測(cè)函數(shù)，記

Nα(f)={x|f(x)>α} (α∈[0,∞))

定義4映射Τ：[0,1]×[0,1]→[0,1]，若?a,b,c,d∈[0,1]滿足：

1)交換律：Τ(a,b)=Τ(b,a)；

2)結(jié)合律：Τ(Τ(a,b),c)=Τ(a,Τ(b,c))；

3)單調(diào)性：

a≤c，b≤d?Τ(a,b)≤Τ(c,d)；

4)邊界條件：Τ(1,a)=a

則稱Τ為[0,1]上的t-模算子。

2 主要結(jié)果

定義4設(shè)映射T:[0,1]×[0,1]→[0,1]，?a,b∈(0,1]，構(gòu)造似乘算子：

1)交換律：T(a，b)=T(b，a)；

2)單調(diào)性：若a≤c,b≤d，則

T(a,b)≤T(c,d)；

3)結(jié)合律：

T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c))；

4)邊界條件：T(1，a)=a。

證明:

2)?a,b,c,d∈(0,1],a≤c,b≤d?ab≤cd,a+b≤c+d則

定義5設(shè)映射⊥:[0,1]×[0,1]→[0,1]，?a,b∈[0,1]，構(gòu)造似和算子：

1)交換律：⊥(a，b)=⊥(b，a)；

2)單調(diào)性：若a≤c,b≤d，則

⊥(a,b)≤⊥(c,d)；

3)結(jié)合律：

⊥(⊥(a，b)，c)=⊥(a，⊥(b，c))；

4)邊界條件：⊥(a，0)=a。

證明:

2)?a,b,c,d∈[0,1],a≤c,b≤d?ab≤cd,a+b≤c+d則

下面給出一種特殊的模糊測(cè)度——可信測(cè)度：

定義6設(shè)μ:F→[0,1]稱為(X,F)上的一個(gè)可信測(cè)度，F(xiàn)表示一個(gè)σ-代數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)：

1)?處為零：當(dāng)?∈F時(shí)，μ(?)=0；

2)μ(X)=1；

3)單調(diào)非減性：?A,B∈F,A?B?μ(A)≤μ(B)；

4)可信性：若μ為(X,F)上的集函數(shù)，μ′為(X,F′)上的集函數(shù)，F(xiàn)?F′且?A∈F，則有μ(A)=μ′(A)；

則稱為可信測(cè)度，可信測(cè)度是概率測(cè)度的一種特殊形式，(X,F,μ)稱為可信測(cè)度空間。當(dāng)且僅當(dāng)?A,B∈F，μ(B)=0且A∩B=?，取Bn=B(n=1,2,…)，有l(wèi)imμ(Bn)=μ(B)=0稱可信測(cè)度μ是零可加的，即μ(A∪B)=limμ(A∪Bn)=μ(A)。

定理4設(shè)μ是F上的可信測(cè)度，μ′是F′上的可信測(cè)度，A,Ac∈F，μ(A)+μ(Ac)=1，則μ滿足下連續(xù)性。

證明：由題意可知，對(duì)?{An}?F，F(xiàn)?F′，A1?A2?…?An?…， 有

A1c?A2c?…?Anc?…，且

故有

因此μ是下連續(xù)的。

下面對(duì)可信測(cè)度空間下的廣義Sugeno模糊概率積分進(jìn)行研究：

Nα(f)={x|f(x)≥α,x∈X}(α∈[0，1])

1)若f1≤f2，則

2)對(duì)?c∈[0，1]，

3)若A?B，則

證明:1)因?yàn)閒1≤f2，根據(jù)定理2和定義7可知，有

3)因?yàn)锳?B，?α∈[0,1]，(A∩Nα(f))?(B∩Nα(f))

又因?yàn)棣叹哂袉握{(diào)性，所以

μ(A∩Nα(f))≥μ(B∩Nα(f))故

4)A∈F，f1，f2為可測(cè)函數(shù)，

5)A∈F，f1，f2為可測(cè)函數(shù)，

綜上所述，結(jié)論成立。

但由定義2.2知

μ(An)

因此

證明:?α∈[0,1]，x∈Nα(f)，f(x)≥α左右同取下確界：

式子左右同取上確界，且式子右邊與α無(wú)關(guān)，?α∈[0,1]，從而

又有?E∈F，對(duì)式子兩端同時(shí)取下確界：

再對(duì)式子左右同取上確界，等式右邊與E無(wú)關(guān)，所以

證明：

充分性：因?yàn)閒=g，a.e.，設(shè)B={x∈X;f(x)≠g(x)}，則μ(B)=0，?α∈[0,1]，x0∈Nα(f)，即f(x0)≥α。

當(dāng)f(x0)=g(x0)時(shí)，x0∈Nα(g)；

當(dāng)f(x0)≠g(x0)時(shí)，x0∈B，因此Nα(f)?Nα(g)∪B。

因?yàn)棣叹哂袉握{(diào)性和零可加性，則有

μ(Nα(f))≤μ(Nα(g)∪B)=μ(Nα(g))

則

必要性(反證法)：若μ不具有零可加性，則有?A∈F，B∈F，μ(B)=0，但μ(A∪B)≠μ(A)?μ(A∪B)>μ(A)。

{x∈X;f(x)≠g(x)}=

(A-A∪B)∪(A∪B-A)=

(A∩(Ac∩Bc))∪((A∩Ac)(B∩Ac))=

B∩Ac?B

因此

0≤μ({x∈X;f(x)≠g(x)})≤μ(B)=0?f=g有

μ(A∪B)

證明：設(shè)

B={x∈A;f(x)≠0}={x∈A;f(x)>0}，C={x∈A;f(x)≠0}，

則A=B∪C，A∩B=?，μ(B)=0，?α∈(0,1]，有

0≤μ(Nα(f)∩B)≤μ(B)=0，

Nα(f)∩C={x∈A;α≤0}=?

因此

=0

綜上所述，結(jié)論成立。

3 結(jié) 論

本文構(gòu)造了一個(gè)模糊似乘算子和似和算子，證明該算子滿足t-模和s-模條件，又建立了一個(gè)新的測(cè)度空間—可信測(cè)度，主要研究了在可信測(cè)度空間下將模糊似乘算子與Sugeno模糊概率積分相結(jié)合得到的新積分形式并證明相關(guān)的定理和性質(zhì)均成立。對(duì)于模糊似和算子的部分將在后續(xù)研究中作為重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行深入研究。