楊大鵬，馬付建,劉宇,張生芳，沙智華

(大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

隨著控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和操作的日益復(fù)雜化，尤其是系統(tǒng)時(shí)變(time-varying LTV)、非線性(non linear)等特性越發(fā)明顯，經(jīng)典的線性定常系統(tǒng)(linear time-invariant system LTI)理論已經(jīng)不能很好地適用于控制系統(tǒng)的特性分析及綜合問(wèn)題[1].系統(tǒng)的復(fù)雜化也帶來(lái)了系統(tǒng)干擾問(wèn)題，而干擾的存在會(huì)誘發(fā)系統(tǒng)故障.能否在故障發(fā)生時(shí)及時(shí)地識(shí)別故障狀態(tài)，確定故障位置及故障嚴(yán)重程度對(duì)于故障診斷及消除顯得尤為重要.由于建模的簡(jiǎn)化處理,且系統(tǒng)存在一些未知的輸入干擾及環(huán)境噪聲, 各方因素都會(huì)直接影響到系統(tǒng)性能,會(huì)導(dǎo)致誤報(bào).近幾十年以來(lái)，學(xué)者針對(duì)故障診斷問(wèn)題在航空、機(jī)電及能源等系統(tǒng)做了大量的研究[2-4].

在解耦干擾方面, 未知輸入方法已發(fā)展出了很多方法, 如頻域方法、未知輸入觀測(cè)器方法、幾何方法等[5].其中未知輸入觀測(cè)器(unknown input observer UIO)是系統(tǒng)故障解耦重構(gòu)的有效方法.其基本思路是通過(guò)系統(tǒng)輸出的測(cè)量來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的重構(gòu), 將觀測(cè)器與系統(tǒng)的輸出之差作為殘差來(lái)判斷系統(tǒng)是否存在干擾[6].在進(jìn)行未知輸入觀測(cè)器設(shè)計(jì)時(shí)，需要對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行分析.其中，系統(tǒng)的不變零點(diǎn)特性對(duì)應(yīng)觀測(cè)器的存在條件.而通過(guò)研究有限結(jié)構(gòu)特性，殘差方程的固定極點(diǎn)特性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響至關(guān)重要[7].針對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)，未知輸入觀測(cè)器的主要研究方法有幾何法[8]、代數(shù)法[9]、鍵合圖方法[10-11]等.由于時(shí)變特性帶來(lái)的系統(tǒng)有限結(jié)構(gòu)尤其是不變零點(diǎn)特性的改變，模論方法結(jié)合系統(tǒng)鍵合圖模型方法可有效解決線性時(shí)變系統(tǒng)未知輸入觀測(cè)問(wèn)題[11-12].目前，滑模控制[13-14]、線性矩陣不等式[15]、自適應(yīng)[16]等方法已在非線性系統(tǒng)UIO設(shè)計(jì)中得到較多的應(yīng)用.

本文主要針對(duì)線性定常與線性時(shí)變系統(tǒng)的未知輸入觀測(cè)問(wèn)題進(jìn)行研究.在建立系統(tǒng)鍵合圖模型并進(jìn)行系統(tǒng)特性分析后，采用廣義逆矩陣構(gòu)建系統(tǒng)未知輸入觀測(cè)器.該觀測(cè)器的設(shè)計(jì)可以有效運(yùn)用到系統(tǒng)滿(mǎn)足匹配條件的狀況.通過(guò)對(duì)一直線電機(jī)模型進(jìn)行仿真分析，在不同系統(tǒng)及未知輸入特性狀態(tài)下可有效對(duì)未知輸入進(jìn)行觀測(cè)，證明了所提出方法的可行性和有效性.

1 問(wèn)題描述

考慮一類(lèi)具有未知輸入的線性系統(tǒng)

(1)

式中：x(t)∈Rn,y(t)∈Rp,u(t)∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、測(cè)量輸出和控制輸入;d(t)∈Rq為系統(tǒng)干擾和建模不確定性等未知輸入; 控制輸入u(t)和未知輸入d(t)有界且無(wú)限連續(xù)可導(dǎo).當(dāng)不存在系統(tǒng)干擾時(shí)，線性定常模型用∑(C,A,F)表示，而∑(C(t),A(t),F(t))對(duì)應(yīng)線性時(shí)變系統(tǒng).假設(shè)矩陣B，F(xiàn)為列滿(mǎn)秩矩陣，矩陣C為行滿(mǎn)秩矩陣.

系統(tǒng)強(qiáng)的可探測(cè)性(strong detectability)與未知輸入觀測(cè)器的存在與否相關(guān).而強(qiáng)可探測(cè)性與最小相條件相關(guān)，系統(tǒng)∑(C,A,F)需滿(mǎn)足系統(tǒng)零點(diǎn)δ∈(復(fù)平面)同時(shí)滿(mǎn)足如下條件：

(2)

當(dāng)系統(tǒng)滿(mǎn)足強(qiáng)可探測(cè)性，并同時(shí)滿(mǎn)足rank[CF]=rank[F]=q時(shí)被稱(chēng)為滿(mǎn)足觀測(cè)器匹配條件(observer matching condition)，該條件為某些未知輸入觀測(cè)器的充要條件.但該條件不能總是得到滿(mǎn)足.針對(duì)不滿(mǎn)足匹配條件的系統(tǒng)，滑模觀測(cè)器方法可有效解決該問(wèn)題，并從線性系統(tǒng)擴(kuò)展到非線性未知輸入觀測(cè)器問(wèn)題.

2 觀測(cè)器設(shè)計(jì)

針對(duì)線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[17]運(yùn)用代數(shù)學(xué)方法提出如下?tīng)顟B(tài)觀測(cè)器：

(3)

對(duì)于矩陣Am×n，如果其列為線性不相關(guān)，那么矩陣ATA可逆.矩陣A的廣義逆矩陣可表示為A+=(ATA)-1AT.此時(shí)該廣義逆矩陣為矩陣A的左逆矩陣：A+A=In.

如果其行為線性不相關(guān)，那么矩陣AAT可逆.矩陣A的廣義逆矩陣可表示為A+=AT(ATA)-1.此時(shí)該廣義逆矩陣為矩陣A的右逆矩陣：AA+=Im.

2.1 線性定常系統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

針對(duì)式中的線性定常系統(tǒng)∑(C,A,F)，根據(jù)假設(shè)條件未知輸入矩陣F滿(mǎn)足列線性獨(dú)立.所以矩陣F的廣義逆矩陣F+為其左逆矩陣，即F+F=Iq.式中的狀態(tài)方程可以表達(dá)為：

(4)

(5)

(6)

式中矩陣N，J，H，E的計(jì)算方法及步驟可通過(guò)文獻(xiàn)[18]查得.通過(guò)廣義逆矩陣結(jié)合代數(shù)學(xué)方法得到的系統(tǒng)及未知輸入觀測(cè)器系統(tǒng)框圖如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)及未知輸入觀測(cè)器系統(tǒng)框圖

2.2 線性時(shí)變系統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

線性時(shí)變系統(tǒng)∑(C(t),A(t),F(t))通過(guò)廣義逆矩陣構(gòu)建狀態(tài)及未知輸入觀測(cè)器的方法及步驟與上述對(duì)線性定常系統(tǒng)∑(C,A,F)類(lèi)似.區(qū)別主要在各矩陣參數(shù)具有時(shí)變特性，進(jìn)而影響系統(tǒng)特性，尤其是不變零點(diǎn).而不變零點(diǎn)與系統(tǒng)的逆系統(tǒng)的極點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性.線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)及未知輸入觀測(cè)器如下式所示：

(7)

令P(t)=I+E(t)C(t)，線性時(shí)變系統(tǒng)∑(C(t),A(t),F(t))存在全階觀測(cè)器的條件為：

(1)N(t)為Hurwitz矩陣；

(3)P(t)F(t)=0；

(4)H(t)=P(t)B(t).

(8)

(9)

2.3 鍵合圖方法確定系統(tǒng)強(qiáng)可探測(cè)性

如上所述，設(shè)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)及未知輸入觀測(cè)器的第一步便是確定系統(tǒng)是否滿(mǎn)足強(qiáng)可探測(cè)性.這一過(guò)程主要分為兩步：一是判定匹配條件rank[CF]=rank[F]是否滿(mǎn)足，二是系統(tǒng)可探測(cè)性是否滿(mǎn)足.對(duì)于一般系統(tǒng)，此條件的判定過(guò)程較為復(fù)雜.

鍵合圖是針對(duì)多種系統(tǒng)的一種圖形化的建模工具，在系統(tǒng)分析過(guò)程中有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).對(duì)于單輸入輸出系統(tǒng)∑(C,A,F)，當(dāng)其鍵合圖模型中僅存在一條因果路徑(causal path)時(shí)系統(tǒng)即滿(mǎn)足匹配條件.而系統(tǒng)的可探測(cè)性與系統(tǒng)的不變零點(diǎn)屬性相關(guān). 對(duì)于線性定常系統(tǒng)∑(C,A,F)，是否存在零值的不變零點(diǎn)可通過(guò)鍵合圖模型進(jìn)行快速判斷.而零值的不變零點(diǎn)的存在不滿(mǎn)足強(qiáng)可探測(cè)性條件.所以對(duì)于系統(tǒng)鍵合圖模型的分析，首先應(yīng)確定是否存在零值的不變零點(diǎn).鍵合圖模型可以根據(jù)系統(tǒng)分析目的的不同采用不同的因果關(guān)系(causality)設(shè)置.采用積分因果關(guān)系的鍵合圖模型(BGI)可以確定是否存在不變零點(diǎn).而具有微分因果關(guān)系的鍵合圖模型(BGD)可用來(lái)確定是否存在零值的不變零點(diǎn).進(jìn)一步通過(guò)采用雙向因果關(guān)系的鍵合圖模型(BGB)來(lái)確定不變零點(diǎn)的值，當(dāng)不變零點(diǎn)的實(shí)部小于零，強(qiáng)可探測(cè)性即得到滿(mǎn)足.

3 實(shí)驗(yàn)仿真

本節(jié)通過(guò)一個(gè)直流電機(jī)系統(tǒng)來(lái)驗(yàn)證本文方法的有效性，該系統(tǒng)建模后得到如圖2所示的鍵合圖模型，其數(shù)學(xué)模型如式所示.

圖2 系統(tǒng)鍵合圖模型(積分因果關(guān)系)

(10)

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)鍵合圖模型在不同因果關(guān)系下的因果路徑進(jìn)行分析，可知該系統(tǒng)可觀可控.系統(tǒng)參數(shù)如表1所示.

表1 直流電機(jī)系統(tǒng)各參數(shù)值

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)BGI、BGD及BGB鍵合圖模型分析可知，系統(tǒng)存在一不為零的負(fù)值不變零點(diǎn)(δ= -500)，所以系統(tǒng)滿(mǎn)足匹配條件及強(qiáng)可探測(cè)性條件.由此可見(jiàn)，系統(tǒng)存在如式的未知輸入觀測(cè)器.

3.1 線性定常系統(tǒng)仿真

通過(guò)計(jì)算可得式中各參數(shù)矩陣的具體數(shù)值：

圖3 系統(tǒng)∑(C,A,F)狀態(tài)觀測(cè)殘差分析

圖4 系統(tǒng)實(shí)際未知輸入變量與未知輸入觀測(cè)量對(duì)比

通過(guò)圖3和圖4的仿真結(jié)果可以看出，所構(gòu)建的系統(tǒng)狀態(tài)及未知輸入觀測(cè)器可以快速準(zhǔn)確的對(duì)系統(tǒng)∑(C,A,F)的狀態(tài)及干擾輸入變量進(jìn)行觀測(cè).

3.2 線性時(shí)變系統(tǒng)仿真

針對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)仿真，令表1中的參數(shù)k=cos(t)+1.2,系統(tǒng)∑(C,A(t),F)變?yōu)闀r(shí)變系統(tǒng)，即矩陣A(t)具有時(shí)變參數(shù).因?yàn)闀r(shí)變特性引起的系統(tǒng)零極點(diǎn)屬性的改變，時(shí)變系統(tǒng)的難點(diǎn)在于極點(diǎn)配置.通過(guò)矩陣計(jì)算，時(shí)變系統(tǒng)∑(C,A(t),F)的不變零點(diǎn)仍滿(mǎn)足δ= -500.系統(tǒng)∑(C,A(t),F)具有式形式未知輸入觀測(cè)器，通過(guò)矩陣計(jì)算各參數(shù)矩陣為：

圖5 系統(tǒng)∑(C,A,F)狀態(tài)觀測(cè)殘差分析

圖6 時(shí)變系統(tǒng)未知輸入實(shí)際與觀測(cè)量對(duì)比

通過(guò)圖5和圖6的仿真結(jié)果可以看出，對(duì)時(shí)變系統(tǒng)∑(C,A(t),F)所構(gòu)建的系統(tǒng)狀態(tài)及未知輸入變量觀測(cè)器也可以快速準(zhǔn)確的對(duì)的狀態(tài)及干擾輸入變量進(jìn)行觀測(cè).

4 結(jié)論

本文提出了一種針對(duì)滿(mǎn)足匹配條件的線性定常和線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)變量及未知輸入變量觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法.該方法利用廣義逆矩陣結(jié)合代數(shù)學(xué)方法構(gòu)建未知輸入觀測(cè)器.針對(duì)系統(tǒng)是否滿(mǎn)足匹配條件，利用線性系統(tǒng)鍵合圖模型給出了圖形化判定方法.同時(shí)給出了利用鍵合圖模型對(duì)線性定常和時(shí)變系統(tǒng)不變零點(diǎn)及觀測(cè)器極點(diǎn)配置的方法.本文所提未知輸入觀測(cè)器方法不需要復(fù)雜的計(jì)算,適用范圍更廣. 最后,將本文設(shè)計(jì)的未知輸入觀測(cè)器應(yīng)用到直流電機(jī)系統(tǒng)的未知輸入重構(gòu)中,仿真結(jié)果表明了本文所提方法的可行性和有效性.