（海軍大連艦艇學院 大連 116018）

1 引言

在高技術條件下的局部海戰(zhàn)中，戰(zhàn)場的態(tài)勢千變萬化，艦空導彈防空作戰(zhàn)需要在短時間內進行決策?；谀繕丝找u體系的不斷變化，對目標盡早攔截是艦空導彈防空作戰(zhàn)的的指導性原則之一，及時釋放占用的火力通道數量，力爭為后續(xù)目標創(chuàng)造更多的射擊機會［1］。

正確靈活地選擇導彈的發(fā)射時機，可提高艦空導彈的射擊效果，是研究艦空導彈防空作戰(zhàn)的關鍵問題之一，也是研究艦空導彈轉火射擊問題的理論依據。目前，艦空導彈發(fā)射時機的確定主要是采取按發(fā)射區(qū)時間窗口的方式進行規(guī)劃，將其規(guī)劃在一個時間區(qū)間內，但按照時間窗口規(guī)劃發(fā)射時機只是定性描述。由于艦空導彈毀傷概率影響因素的復雜性，通常情況下艦空導彈發(fā)射時機的提前與其毀傷目標概率的增加是相互矛盾的。在艦空導彈防空作戰(zhàn)中，如何確定艦空導彈的發(fā)射時機，使其在毀傷目標概率和發(fā)射時機之間取得較好的平衡，是艦空導彈取得預期作戰(zhàn)效果的關鍵因素。在不同艦空導彈發(fā)射時機確定中，如何使得毀傷目標盡可能早、毀傷目標概率達到預期值是艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化的難題，發(fā)射時機確定效果好，能夠起到快速打擊、充分發(fā)揮火力強度的效果，如果發(fā)射時機確定效果差，不僅達不到對目標的打擊效果，同時還會影響艦空導彈轉火射擊能力，從而貽誤戰(zhàn)機，因此建立不同艦空導彈的發(fā)射時機優(yōu)化理論是提高其防空作戰(zhàn)靈活性和快速性的有效途徑。

2 艦空導彈射擊提前系數及先期毀傷原則

2.1 艦空導彈的毀傷特性

根據典型的艦空導彈的彈道特性，可得艦空導彈毀傷空中目標概率曲線，見圖1。

圖1 艦空導彈對典型目標毀傷概率曲線

其中：Dsy、Dsj表示艦空導彈殺傷區(qū)遠界、近界的斜距在水平面上的投影；Dsmax表示艦空導彈單發(fā)最大毀傷概率下的殺傷區(qū)斜距在水平面上投影；在最大毀傷概率射程下艦空導彈單發(fā)毀傷概率為Pmax，來襲目標到達該點的瞬時稱為最大毀傷瞬時tsmax；tsy表示艦空導彈到達殺傷區(qū)遠界Dsy的瞬時，稱為最早毀傷瞬時，相應的毀傷概率稱為最早毀傷概率。依據艦空導彈先期毀傷目標準則，通常不會將毀傷時機規(guī)劃到最大毀傷瞬時tsmax之后，則首發(fā)毀傷瞬時應被規(guī)劃在區(qū)間[tsy，tsmax]內。

2.2 艦空導彈的射擊提前系數的定義

射擊提前系數是用于決定艦空導彈的預期毀傷瞬時的，假設射擊提前系數為α∈[0，1]，其上下邊界分別對應發(fā)射單元的最早毀傷瞬時和最大毀傷瞬時，α越大，表示毀傷時機越早［2］。設某次射擊的毀傷瞬時為ths，則，即ths=α·tsy+(1-α)·tsmax。

式中：tsmax為最大毀傷瞬時，來襲目標到達該點，艦空導彈毀傷概率最大；tsy為來襲目標到達艦空導彈殺傷區(qū)遠界的時刻，稱為最早毀傷瞬時。

2.3 射擊瞬時、毀傷瞬時及飛行時間之間的關系

假設目標勻速直線飛行的情況下，記某瞬時tsj、ths分別為艦空導彈對目標的射擊瞬時和毀傷瞬時；為在毀傷瞬時為ths時艦空導彈殺傷目標所需要的飛行時間。當艦空導彈彈道特性與來襲目標運動模型及初始狀態(tài)一定時，艦空導彈理論彈道任一點的艦空導彈飛行時間都是可求的，且有。

在艦空導彈任意射擊瞬時t，一旦求得艦空導彈的毀傷瞬時ths，由即可求得該艦空導彈的射擊瞬時。當α∈[0，1]時，α越大，表示毀傷時機越早；α越小，表明艦空導彈的毀傷概率越高。

2.4 先期毀傷原則下的射擊提前系數取值范圍

為α確定一個恰當的取值，即決定了艦空導彈的對來襲目標的發(fā)射時機。當α=0時，相當于最大毀傷概率下的艦空導彈射擊；當α=1時，相當于最早毀傷時機下的艦空導彈對目標進行射擊。前者可能降低艦空導彈最大攔截次數，后者可能損失艦空導彈的殺傷概率。

如對艦空導彈發(fā)射時機不加以限制的情況下，根據艦空導彈射擊提前系數的定義，其取值范圍為α∈[0，1]，其左右邊界分別對應艦空導彈最大毀傷概率下的毀傷瞬時和最早毀傷時機下的毀傷瞬時。

3 艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化模型

3.1 發(fā)射時機優(yōu)化的數學模型

1）目標函數

基于先期毀傷的艦空導彈射擊時機優(yōu)化是指在保證艦空導彈滿足對目標的期望毀傷概率的前提下，能夠盡早實施導彈發(fā)射，此種條件下艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化的數學模型為

2）模型相關說明

當多型艦空導彈對目標進行攔截時，即i＞1時，在αi∈[αjk，1]范圍內，當有許多組α=(α1，…，αm)滿足期望毀傷。每一組α=(α1，…，αm)都有相應的一組射擊瞬時t=(t1，…，tm)與之對應，即對應毀傷概率分布律權重γ=(γ1，…，γm)和毀傷概率分布Q=(Q1，...，Qm)。

式中：Q(αi)=Q(ti)，i=1，…，m，為艦空導彈毀傷概率Pi(αi)的概率分布；γ(αi)=γ(ti)，i=1，…，m，稱為艦空導彈毀傷概率分布Q(ti)的權重系數。

3.2 毀傷概率的分布函數和概率分布

設m個不同型號的艦空導彈武器系統(tǒng)對同一目標進行攔截時，其毀傷概率的計算方法與連射或齊射n發(fā)導彈殺傷單個目標的概率計算方法相同，在毀傷瞬時規(guī)劃在區(qū)間[tsy，tsmax]內的約束下，艦空導彈的毀傷概率P(t，α)具有下列性質：一是艦空導彈能在預期毀傷瞬時之前，能對目標達成最大毀傷概率射擊，即在射擊提前系數不變時，對目標的毀傷概率是隨毀傷瞬時增大的一個非減函數；二是艦空導彈能在預期毀傷瞬時之前，能對目標達成最大毀傷概率射擊，即在射擊瞬時一定時，對目標的毀傷概率是各型艦空導彈射擊提前系數的單調、連續(xù)遞降函數。在任一組能夠滿足毀傷概率不小于預期毀傷概率的前提下的射擊提前系數α=(α1，…，αm)，均有與之相對應的射擊瞬時t=(t1，…，tm)，為每一型艦空導彈的射擊提前系數αi計算得到一個恰當值，就決定了所有艦空導彈的射擊時機，也就完成了艦空導彈射擊時機的優(yōu)化分配任務，從而將艦空導彈發(fā)射時機問題轉化為射擊提前系數αi的計算與取值。艦空導彈毀傷目標概率的分布函數與概率分布可用下式表示：

毀傷概率P(t)的分布函數為E(P(t))=E(t)，其值由可以由下式計算得到：

根據上式可以求得毀傷概率P(t)的概率分布Q(P(t))=Q(t)。

3.3 毀傷概率分布律權重系數

艦空導彈的發(fā)射時機不同，其對目標的毀傷概率也不相同，根據艦空導彈毀傷目標概率相關計算和火力分配的基本原則，要求對目標的最大毀傷概率至少達到對目標的預期毀傷概率，即。當最大毀傷概率等于預期毀傷概率，則可以使得αi=αjk；若最大毀傷概率大于預期毀傷概率，則必須要對來襲目標的最小毀傷概率和預期毀傷概率二者之間的關系進行分析。

本文研究艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化的基本準則是力爭先期毀傷，盡可能期望艦空導彈較早的毀傷目標，這就要求艦空導彈發(fā)射時機目標函數中的毀傷概率的分布律的權重越大，因此給出如下權重函數γ(t)。

式中：λ為在毀傷瞬時與毀傷概率曲線中的斜率，并同時過點(tch，0)的直線；tch為艦空導彈預期毀傷瞬時；t為艦空導彈的實際毀傷瞬時。

4 發(fā)射時機優(yōu)化模型的蟻群算求解

蟻群算法是一種新的進化算法，近年來應用領域迅速擴展，如控制天然氣的分流、優(yōu)化工作計劃和市場戰(zhàn)略評估等，其應用已經取得了引人矚目的成果，在軍事領域上同樣具有廣闊的應用前景［3-5］。例如，文獻［6］提出了一種將遺傳算法和螞蟻算法相結合的混合式算法，首先用遺傳算法在全局搜索出一組粗糙的最優(yōu)解，以此作為蟻群算法的初值，再利用螞蟻算法的實施程序，最終求出最優(yōu)解，通過算例分析證明，運用該方法獲取的最優(yōu)目標分配問題，能夠滿足大型水面艦艇編隊防空的目標分配問題。文獻［7］提出了一種基于解算連續(xù)空間優(yōu)化問題的改進螞蟻算法，構造了與蟻群轉移概率有關聯的評價函數，將每條最優(yōu)路徑上余留的信息數量限制在某個固定區(qū)間，能夠更快地尋求到連續(xù)空間優(yōu)化問題的精確最優(yōu)解。本文提出一種基于網格劃分的連續(xù)域蟻群算法進行結算，網格是直接搜索中的重要概念，因為它描述了對搜索空間的一種規(guī)則抽樣。實際上，是指將變量區(qū)域利用網格劃分的方式實現網格化，從而在網格點上求取目標函數和約束函數，對于滿足約束條件的網格點，比較解與目標函數值之間的數量差，從中選出較優(yōu)者，并把該點當做一次迭代的結果；繼續(xù)進行循環(huán)計算更新，直到滿足條件為止。

4.1 發(fā)射時機優(yōu)化模型的應用實現

為了方便采用基于網格劃分的連續(xù)域螞蟻算法解決艦空導彈發(fā)射時機的優(yōu)化問題，發(fā)射時機優(yōu)化模型可以采用艦空導彈殺傷目標的時間函數進行描述。

式中，ti∈[tsy，tjk]?[tsy，tsmax]，i=1，2，...，n，tjk由下式計算。

艦空導彈射擊提前系數和發(fā)射時間分別由下式計算。

式（9）中，Tfi(ti)為艦空導彈i在瞬時ti彈目遭遇時導彈的飛行時間。

由式（6）描述的艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化模型可知，是以時間t為變量進行描述的函數形式，則模型的約束條件為變量的連續(xù)遞增函數。因此，基于網格劃分思想的搜索窗口的產生及信息素更新的具體實現包括初始搜索、全程搜索、窗口更新三個步驟。

4.2 初始搜索

利用蟻群算法求解的變量應為艦空導彈毀傷目標的時刻ti，設其搜索窗口為TiNc=[TsyNc，TsmaxNc]，其中，Nc為具體的循環(huán)次數，即搜索窗口的更新次數，取值為[0，∞]。采用網格策略搜索，第一次的搜索窗口為Ti0=[Tsy0，Tsmax0]?[tsy，tjk]，i=1，2，…，m。初始搜索窗口的右端點可以取變量的最大值tjk，即Tsmax0=tjk；設置網格寬度為Δt，即限定算法的搜索精度，記N為搜索窗口的網格數量，通常使N·Δt遠小于 min{tjk-tsy，i=1，2，…，n}，這樣就能使得初始搜索窗口的寬度保持在Tsmax0-Tsy0=N·Δt，搜索范圍的左端點可以記為Tsy0=Tsmax0-N·Δt，而每個窗口包含N+1個網格節(jié)點［8～10］。

4.3 全程搜索

將每個變量進行N等份，即將變量區(qū)間進行網格化，從而在n維空間中構成了(N+1)×n個點的網格形式，每只螞蟻從第1列至第n列的網格點中依次選擇一個點來完成一個解的構建，并根據各網格點留下的不同信息量，用以影響其余螞蟻的移動路徑［11］?；诖四軌蛲瓿蓞悼臻g的構設。

如圖2所示，狀態(tài)空間所示的狀態(tài)為()1，2，4，…，3，此種狀態(tài)條件下對應的解為

圖2 連續(xù)優(yōu)化問題的狀態(tài)空間解

螞蟻選擇第i(i=1，2，…，n)列上的一個點時，是根據N+1個點的信息素分布情況進行隨機選擇的，從第一級到第N級之間的狀態(tài)選擇概率為

式中，t為螞蟻算法的運行時刻，將螞蟻構建出一個完整的解記為一個時刻；τij(t)為第i列第j個節(jié)點的信息量，其更新公式為

式中：f為目標函數值，ρ為揮發(fā)系數，Q為常數。

假設某組窗口下的循環(huán)次數為C，螞蟻的數量為M只，M只螞蟻中每一只都能形成一個解，首先判斷式（6）約束條件是否滿足，對滿足約束條件的解計算目標函數值才有意義，M只螞蟻經過C次循環(huán)之后，就可以得到該組網格搜索窗口下的最優(yōu)解，記為to=(t1o，t2o，…，tno)。

4.4 搜索窗口更新

5 實例分析

某艦艇編隊分別配置了三種型號的艦空導彈，對空中多批次目標進行攔截，以對一個目標進行攔截為例來規(guī)劃各型艦空導彈的發(fā)射時機，以此來驗證上述發(fā)射時機優(yōu)化模型和蟻群算法的實現。如三型艦空導彈均能對來襲目標進行攔截，根據最早毀傷時刻的先后為依據進行編號，D1為1#艦空導彈、D2為2#艦空導彈、D3為3#艦空導彈。規(guī)定在D=12km時，毀傷自然時T=0，各型艦空導彈對來襲目標的最早、最大毀傷概率對應的射程和毀傷瞬時用DL、DM、tL、tM表示，見表1。

表1 最早、最大毀傷概率對應的射程和毀傷瞬時

各型艦空導彈對來襲目標的毀傷概率曲線和導彈飛行時間曲線如圖3、圖4所示。

圖3 各型艦空導彈毀傷概率曲線

圖4 各型艦空導彈飛行時間曲線

通過以上分析可以得出，艦空導彈對于目標的期望的殺傷概率與不同的毀傷瞬時的情況下，可以采用本文提出的改進式蟻群算法，分別計算出各型艦空導彈武器系統(tǒng)最優(yōu)的發(fā)射時刻、毀傷瞬時和射擊提前系數。下面分不同情況進行分析論證，以不同的期望毀傷瞬時和預期的毀傷概率為想定條件，提出三種想定情況，采用基于改進的蟻群算法優(yōu)化艦空導彈的發(fā)射時機。

情況1：預期毀傷瞬時為20s之前，以不小于預期的毀傷概率0.85攔截來襲目標。將目標分配給D2、D3，毀傷時刻t2=15.2s、t3=20s，射擊提前系數α2=0.4696、α3=0，發(fā)射時機，毀傷概率P2=0.6594、P3=0.5596、P*=0.85。

情況2：預期毀傷瞬時為18s之前，以不小于預期的毀傷概率0.9攔截來襲目標。將目標分配給D1、D3，毀傷時刻t1=6.5s、t3=17.8s，射擊提前系數α1=0.2168、α3=0.3667，發(fā)射時機，毀傷概率P1=0.5827、P3=0.7604、P*=0.9。

情況3：預期毀傷瞬時為18s之前，以不小于預期的毀傷概率0.95攔截來襲目標。將目標分配給D1、D2、D3，毀傷時刻t1=4.6s、t2=16.5s、t3=16.2s，射擊提前系數α1=0.4457、α2=0.2723、α3=0.6333，發(fā)射時機，毀傷概率 P1=0.5035、P2=0.7583、P3=0.6506、P*=0.95。

蟻群算法參數設置：蟻群信息素揮發(fā)系數為0.2，搜索精度為0.1s，常數Q=1，信息素初始值為1，蟻群中螞蟻的數量為10個，搜索循環(huán)的次數設為10，滿足條件算法停止的次數為3。情況3中蟻群算法的螞蟻數量為20，算法循環(huán)次數為20，其他參數不變。

通過上述分析可見，當將來襲目標分配至D1、D2、D3毀傷概率特性相差較大的艦空導彈時，在能夠滿足預先給定毀傷概率的基礎上，對于毀傷概率傷概率較大的艦空導彈來講應盡量提前其射擊時機，而對于毀傷概率較小的艦空導彈來講應保證盡可能高的毀傷概率時發(fā)射導彈。在發(fā)射時機相同的情況下，對于殺傷概率曲線變化較緩的艦空導彈應優(yōu)先發(fā)射。

6 結語

本文立足于艦空導彈防空作戰(zhàn)的特點，提出了基于先期毀傷原則的艦空導彈發(fā)射時機的優(yōu)化準則，同時引入了與“先期毀傷”相關的“射擊提前系數”這一參數及其計算方法，并明確了先期毀傷原則下的射擊提前系數的取值范圍?；谙绕跉枷虢⒘伺灴諏棸l(fā)射時機優(yōu)化模型，重點論證了艦空導彈毀傷概率的分布概率及權重函數，提出基于網格劃分的連續(xù)域蟻群算法對艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化模型進行解算的方法，采用此方法對艦空導彈的發(fā)射時機進行實時優(yōu)化，既能做到較早毀傷目標，減少火力通道占用時間，又能保證以預期毀傷概率殺傷目標，取得預期的作戰(zhàn)效果。