輸電塔線體系力學模型研究進展

陳 波，宋欣欣，吳鏡泊

(1. 武漢理工大學道路橋梁與結構工程湖北省重點實驗室，湖北，武漢 430070；2. 武漢理工大學土木工程與建筑學院，湖北，武漢 430070)

輸電塔線體系是重要的電力能源基礎設施，長期于野外惡劣環(huán)境下服役，容易發(fā)生損傷破壞，并造成嚴重的經(jīng)濟損失和次生災害[1-6]。輸電塔線體系的損傷破壞類型很多，在沿海地區(qū)頻發(fā)強風引起的桿塔破壞倒塌事故[7-9]。近十年來，多個強臺風“韋森特”、“天兔”、“黑格比”、“威馬遜”、“彩虹”、“天鴿”等均給電網(wǎng)造成了很大破壞，很多服役多年的老舊輸電線路發(fā)生了桿塔倒塌事故。在山地濕冷地區(qū)則多發(fā)覆冰災害，引起大量輸電線路覆冰倒塌。國內外多發(fā)輸電線路的覆冰斷線事故[10-13]。據(jù)不完全統(tǒng)計自20 世紀50 年代以來我國輸電線路已發(fā)生冰災事故上千次。2008 年我國南方遭受了嚴重的冰雪災害天氣，多個省份的電網(wǎng)遭受了嚴重的冰災。國內外特別是我國西南地區(qū)發(fā)生過多起輸電線路在地震作用下的災害事故，造成了大量輸電塔線體系的損傷破壞[14-17]。在沿海腐蝕性大氣環(huán)境地區(qū)，則多發(fā)輸電線路桿塔及金具的腐蝕損傷事故，也造成了嚴重損失。此外，國內外輸電線路還發(fā)生過在下?lián)舯┝?、龍卷風、高溫斷線等作用下的各類損傷破壞事故。由此可知，作為能源基礎設施的輸電塔線體系在服役過程中面臨著各類自然荷載和環(huán)境效應的作用，多發(fā)災變事故，造成了非常嚴重損失。因此，國內外均積極開展輸電線路的監(jiān)測評估與防災減災的研究和工程應用工作[3-4,18-19]。

輸電線路的防災減災研究離不開輸電塔線體系的力學模型。輸電塔線體系是典型的高柔空間鋼結構，具有剛度小、變形大、幾何非線性效應顯著等一系列特點。輸電塔線體系與傳統(tǒng)高聳結構相比既有相同特征也存在明顯不同。相同之處是輸電桿塔類似電視塔、通信塔等，具有高柔特征，低階振型貢獻占據(jù)了動力響應的絕大部分。顯著不同之處是塔線體系中存在多跟輸電線，而輸電線從力學角度而言是具有小應變、大變形特征的懸索，具有非常顯著的幾何非線性效應。因此，輸電塔線體系的力學模型和災變分析方法非常復雜，國內外很多學者均開展了相應研究。輸電塔線體系力模型的建立是開展輸電線路監(jiān)測評估和防災減災的基礎和關鍵，它是綜合了有限元、隨機振動、變分理論、空氣動力學、地震工程、計算機科學、結構分析理論和新材料科學等前沿科學的工程分析新技術，其研究工作還不有很多不足之處。本文在此就輸電塔線體系力學模型研究現(xiàn)狀和進展進行比較、論述與總結，在此基礎上就輸電塔線體系力學模型的發(fā)展進行展望。

1 輸電線力學模型

輸電線力學模型從早期的理論解析解階段逐漸過渡到后來的非線性有限元階段，經(jīng)歷了從簡單到復雜，從宏觀到微觀的發(fā)展階段[20-23]。早期以Irvine 為首的國外學者采用理論方法建立索的振動方程來描述輸電線的性能[24-27]。隨著桿系有限元和大變形理論的發(fā)展，輸電線的模擬主要采用桿系有限元方法進行[4-5]，采用可拉不可壓的桿單元模擬輸電線，分別通過彈性剛度矩陣和應力剛度矩陣來考慮線性和非線性效應，這仍然是目前很多大型商業(yè)軟件采用的方法。

由于當時計算機技術有限，進行大規(guī)模非線性有限元計算較為復雜和繁瑣。因此，李宏男和白海峰[3]基于Hamilton 原理并采用等價線性化方法，通過建立等效的多質點模型來描述輸電線的力學行為。21 世紀初以來，隨著對輸電線和懸索分析精度的要求，也伴隨著計算機技術的迅速發(fā)展，大變形有限元計算方法和技術得到了迅速發(fā)展[28-29]。很多學者提出了各種類型的多節(jié)點索單元模型，通過將非線性剛度表述為初應力剛度矩陣和初位移剛度矩陣，顯著提高了輸電線及懸索的分析精度。但這些不同類型的高階索單元往往缺乏顯式表達式或根本無法進行顯式表達，分析計算過程中需進行大量符號積分運算。因此，雖然計算精度很高，但計算量很大，耗時較長，效率較低。雖然計算橋梁單根斜拉索或懸索尚可以操作，但如果分析含有大量多分裂導地線的輸電塔線體系時，由于計算模型規(guī)模宏大而效率低下，難以應用于實際工程?；诖?，部分學者開展高精度索單元及其顯式解的研究工作，并建立了幾種多節(jié)點索單元的顯式計算方法，結果表明這些方法在保證精度的前提下相比于符號積分算法可以極大提高計算效率。此外，輸電線路的工程實際中往往需要掌握輸電線股線的細部服役性能，因此部分學者也針對性地提出了分層股線模型、細觀接觸模型等描述股線性能的輸電線模型?？紤]到輸電導線往往是采用多分裂形式使用，部分學者開展了分裂導線的研究工作，提出了典型分裂導線力學模型并開展了應用。以上這些力學模型方面的研究工作均對輸電線的監(jiān)測評估和防災減災研究提供了重要的支撐。

1.1 懸索理論分析模型

早期研究中，通常將輸電線考慮為懸索進行其靜動力性能的研究。Irvine 系統(tǒng)研究了懸索的振動特性，其研究結果常常作為理論解析解來衡量懸索的性能[24]。圖1 顯示了輸電線分析模型，通過求解振動方程即可得到輸電線的動力特性。對于輸電線平面外振動而言，其頻率ωv和振型 φv可表示為：

式中：H為輸電線內力；l為輸電線水平檔距；m為輸電線的線密度；x為輸電線上某點距坐標原點的距離；An為振型系數(shù)。

圖 1 輸電線分析模型Fig. 1 Model of a transmission line

式中：Bn為振型系數(shù)；h為輸電線動張力增量；E為輸電線彈性模量；g為重力加速度；A為輸電線橫截面積。上述超越方程一般可用圖解法或數(shù)值方法求解。

1.2 桿系有限元分析模型

Irvine 所建立的懸索理論模型復雜，在理論解推導過程中引入了小弧垂假設。因此，對于實際懸索的分析計算存在一定的局限性。隨著20 世紀計算機技術的應用，采用桿系有限元方法計算懸索得到迅速發(fā)展，因此輸電線的計算方法也過渡到有限元方法。很多學者將輸電線簡化為多個只受拉不受壓的桿系單元，陳政清等[30]基于虛功增量方程建立了空間桿系結構大撓度問題內力分析的UL 列示法。劉光棟和王解君[31]建立了空間桿系單元的幾何非線性剛度矩陣的分解形式，基于最小勢能原理得到了空間桿系單元的非線性幾何剛度矩陣?；跅U系有限元模型，可將輸電線剛度矩陣Kc表示為彈性剛度矩陣Ke和應力剛度矩陣Kσ之和：

式中：L為單元長度；H為輸電線內力。輸電線單元的質量矩陣則可采用集中質量矩陣或一致質量矩陣表達。將各單元質量矩陣和剛度矩陣組集，即可得輸電線的的總質量矩陣和總剛度矩陣。

1.3 索單元分析模型

輸電線的桿系有限元分析模型相較于Irvine 建立的懸索理論模型而言，考慮了應力剛度影響，具有明顯進步。但是這種模型對于大弧垂、強非線性的大檔距懸索而言，其分析精度有限，并且計算過程中非線性迭代收斂不易。造成這種現(xiàn)象的原因是桿系有限元理論對懸索的幾何非線性性能的考慮不夠精細。因此，基于索單元的輸電線分析模型一直是研究的重點，很多學者提出了不同類型的索模型[32-45]。這些模型的基本思想是首先建立索單元應變ε 與形函數(shù)N、節(jié)點坐標Xe和節(jié)點位移Ue的關系。進一步地將輸電線的剛度矩陣表示為基于索單元的彈性剛度矩陣Ke、初應力剛度矩陣Kσ和初位移剛度矩陣Kg之和：

式中：BL為線性幾何矩陣；BN為非線性幾何矩陣；L為單元長度；ξ 為單元等參變量；σ 為單元應力。輸電線單元的質量矩陣仍然可采用集中質量矩陣或一致質量矩陣來表達。將各個單元的質量矩陣和剛度矩陣組集即得總質量矩陣和總剛度矩陣。

Peyrot 和Goulois[32]提出了一種分析任意形狀輸電線的迭代數(shù)值模型。他們采用索單元模擬輸電線，并采用一個單獨的子程序確定索單元的張力和切線剛度矩陣。對斷線、不平衡覆冰荷載、風荷載作用下的結構進行了分析計算，考察了模型的有效性和收斂性。唐建民[33]建立了柔性結構非線性分析的桿單元有限元法。通過建立應變的非線性幾何關系并考慮位移高階量貢獻，依據(jù)虛功原理建立了其力學模型。張其林[34]建立了連續(xù)長索非線性靜動力分析的樣條單元法。采用三階B 樣條基構建了索的等參元力學模型，該方法可以適用于松索、緊索及索系統(tǒng)的非線性靜動力問題求解。唐建民等[35-36]基于懸索結構大變形特征，提出了一種基于歐拉描述的兩節(jié)點索單元模型。進一步，他們提出了一種五節(jié)點等參數(shù)單元有限元模型。唐建民和沈祖炎[37]還提出了一種懸索結構非線性分析的滑移索單元法，建立了滑移單元非線性分析的力學模型。聶建國等[38]針對索長與懸索兩節(jié)點之間的直線長度相近時迭代不易收斂的問題，提出了一種懸鏈線索單元的改進算法。楊孟剛和陳政清[39]基于拋物線假定建立了一種兩節(jié)點懸鏈線索元非線性力學模型，同時推導了索端張力的精確表達式。武建華和蘇文章[40]建立了一種四節(jié)點等參曲線索單元有限元模型，結果表明該模型具有精度高、收斂快的特點。胡建華和王連華[41]提出了一種索結構幾何非線性分析的懸鏈線索單元模型，建立了單元剛度矩陣和單元等效節(jié)點荷載。張立新和沈祖炎[42]總結了不同索單元有限元模型的優(yōu)缺點，指出了懸鏈線單元在精確分析索自重影響時的優(yōu)點。研究表明：懸鏈線單元模型具有高精度、高效率的特點，同時適用于小垂度索和大垂度索。任偉新等[43-44]提出了一種新的兩節(jié)點拋物線索單元。該單元靜剛度矩陣表達式由動剛度矩陣的解析表達式對頻率取零極限得到，具有較高的分析精度。通過數(shù)值算例和模型試驗驗證了該單元的準確性和高效性。Thai和Kim[45]提出了一種索結構的非線性懸鏈線索單元并推導了單元剛度矩陣和節(jié)點力表達式，通過結合增量迭代算法和Newmark 直接積分法實現(xiàn)了非線性方程的求解。

1.4 多質點分析模型

基于索單元的輸電線計算方法雖然精度高，但是計算過程中需要進行數(shù)值積分，因此計算量大，較為耗時。為簡化計算，李宏男等學者[46-47]考慮將輸電線進行等價線性化處理而形成多質點模型。其基本思路是在平面內將輸電線考慮為彈性質量-連桿體系，利用Hamilton 原理建立輸電線的勢能和動能表達式，并進一步對廣義坐標求解而建立輸電線的質量矩陣與剛度矩陣。在平面外通過將輸電線簡化為垂鏈模型建立其質量矩陣和剛度矩陣。

如圖2 所示的輸電線平面內簡化為7 連桿體系。設各連桿的長度和轉角分別為li和θi，則輸電線單元轉角和長度的廣義坐標ξ 和δ 可表示為：

式中：mi和di分別為第i個質點的質量和距離坐標軸的豎向距離；xi和yi分別為第i個質點沿水平和豎向的位移；Ug和Ue分別為輸電線的重力勢能和彈性勢能。

基于Hamilton 原理可建立輸電線動能Tline、勢能Uline和虛功Wline的能量關系[48]：

式中，t1和t2分別為非保守力做功的時間區(qū)間。

圖 2 輸電線的多質點模型Fig. 2 Multi-degree of freedom (MDOF) model of a transmission line

采用廣義坐標表示輸電線的動能、勢能和虛功，就可以從Hamilton 原理表示的動力學變分形式推導得到輸電線的運動方程。將輸電線的動能用廣義坐標和它們的一次導數(shù)表示，勢能用廣義坐標表示。非保守力在廣義坐標的一組任意變分所引起的虛位移上所做的虛功可以表示為這些變分的線性函數(shù)，并將其代入Hamilton 方程可得輸電線振動的Lagrange 方程[49-50]：

1.5 顯式索單元模型

索單元具有分析分析精度高、適用面廣、適用性好等一系列優(yōu)點，但由于系統(tǒng)矩陣計算中需要復雜的積分運算，因此數(shù)值計算量非常大、計算效率較為低下，導致其在實際應用中受到很多限制?；跅U單元的計算方法計算速度快，但由于采用桿件模擬懸索而導致計算精度有限，特別是對大垂度輸電線計算精度不理想。多質點分析模型基于Hamilton 原理和Lagrange 方程將輸電線的幾何非線性行為進行等價線性化，可以離線形成輸電線質量矩陣和剛度矩陣，動力計算較為簡潔快速，但精度有限，特別是無法計算輸電線的內力響應，是其一個明顯缺陷?；趹宜鹘Y構模型的缺點，很多學者開展了顯式索單元的研究工作。Jayaraman 和Knudson[51]較早嘗試建立了一種懸鏈線索單元模型。該模型具有顯式剛度矩陣，具有計算精度高且運算量小的特點。袁行飛和董石麟[52]提出了一種二節(jié)點曲線非線性索單元模型。該單元克服了廣泛使用的二節(jié)點桿單元精度低和多節(jié)點索單元模型復雜的缺點?；诶窭嗜兆鴺嗣枋龇ê涂ㄊ系谝欢ɡ硗茖Я怂鲉卧獎偠染仃嚨娘@式表達式，在保證分析精度的前提下有效地提高了分析效率。王春江等[53]提出一種考慮初始垂度影響的非線性索單元模型。運用虛功原理推導了考慮初始垂度影響的兩節(jié)點非線性索單元表達式，并建立了索單元的單剛矩陣的顯式表達式。通過建立該非線性索單元的修正項，給出了垂度影響因子的變化曲線。該非線性索單元兼顧了多節(jié)點索單元高精度的優(yōu)點，同時具有節(jié)點少、求解效率高的優(yōu)點。楊孟剛和陳政清[54]建立了一種兩節(jié)點懸鏈線索元非線性模型。他們基于UL 列式的虛功增量方程和索的懸鏈線方程，并對索的自重影響未作任何的近似，推導建立了顯式的索單元切線剛度陣。袁駟等[55]根據(jù)懸索結構的精確解析解，針對索結構找形構造了線性和非線性兩大類共5 種單元。構造了與張力、荷載、懸掛點的坐標相關的精確索單元，推導建立了單元剛度矩陣的顯式表達式。計算結果表明該單元具有精度高、收斂速度快的優(yōu)點。多節(jié)點索單元自由度過多，分析計算效率低下。相較之下，三節(jié)點索單元自由度較少，同時三節(jié)點索單元計算精度與其他高階索單元相比并不遜色。基于此，陳波等[56]建立了三節(jié)點顯式索單元力學模型并將其應用于輸電線的響應分析，結果表明這種顯式索單元具有精度高、收斂快的特點。他們還建立了一種兩節(jié)點曲線顯式索單元模型[57]，該模型在非線性剛度矩陣中包含了顯式初應力剛度矩陣和顯式初位移剛度矩陣。輸電線的非線性剛度矩陣Kc可表示為彈性剛度矩陣Ke和初應力剛度矩陣Kσ和初位移剛度矩陣Kg之和，其中初位移剛度矩陣Kg為：

1.6 扭轉索單元模型

輸電線在服役過程中，由于覆冰作用將改變其外形，形成不規(guī)則截面(如圖3 所示)。因此，輸電線容易表現(xiàn)出扭轉特性。以往部分學者基于桿系有限元方法建立了可以考慮扭轉效應的桿單元模型來模擬輸電線。但如前所述，桿單元模擬輸電線存在一定誤差，精度有限。而考慮覆冰扭轉效應的索單元還較為欠缺。Nigol 等學者[58-60]開展了覆冰輸電線馳振的研究。通過實驗提出了輸電線扭轉剛度的計算公式，該公式可以考慮張力、檔距、張力單導線扭轉剛度的影響。但該模型只適用于小檔距輸電線，而對于大檔距輸電線誤差較大。Wang 和Lilien[61]建立了一種改進的輸電線扭轉剛度公式，但該方法計算過程復雜。朱寬軍和劉彬[62]研究了覆冰厚度對架空輸電線路扭轉剛度的影響，但忽略了覆冰的偏心影響。李嘉祥等[63]開展了覆冰分裂導線扭轉剛度的研究。提出了一種考慮偏心的導線扭轉剛度計算方法，并進一步研究了覆冰對輸電線扭轉剛度的影響。馮珂等[64-65]提出了一種輸電線三節(jié)點扭轉索單元模型。圖4 給出了輸電線三節(jié)點扭轉索單元坐標系定義，該單元單個節(jié)點上具有四個自由度，包括三個平動自由度和一個扭轉自由度。扭轉索單元的剛度矩陣KN可表示為：

式中：KcS為應力剛度矩陣；KcL為彈性剛度矩陣；KcN為初位移剛度矩陣；Kice為偏心剛度矩陣；BcL為線性幾何矩陣；BcN為非線性幾何矩陣；Ncq為偏心剛度矩陣形函數(shù)；D為彈性矩陣；S代表輸電線關于Z軸的靜距；L為單元長度。

1.7 分層股線模型

圖 3 輸電線不規(guī)則覆冰形狀Fig. 3 Irregular ice shapes of a transmission line

圖 4 扭轉索單元坐標系定義Fig. 4 Coordinate definition of torsional cable element

輸電線實際上是由多根股線纏繞形成，而對于地線往往采用鋼芯鋁絞線構成。輸電線各股纏繞復雜。在外荷載和溫度等作用下，內部各股線表現(xiàn)出不同的力學性能[66-67]。如在輸電線送電引起的高溫作用下，容易發(fā)生內部鋼芯受力減小而外層鋁股承受主要張力的情況，從而導致輸電線發(fā)生受力不均而斷裂。因此，建立輸電線的分層股線模型并研究輸電線各層股線的受力特點具有重要的實際意義。陳波和龔小芬[68-69]提出了一種輸電線的分層股線模型，該模型考慮了不同層股線間的擠壓效應和泊松效應。通過建立各層股線承受的擠壓力和股線縱向協(xié)調方程，求解各股線的內力。該模型實現(xiàn)了輸電線分析從單根線層面向股線層面的改進。進一步地，鄧靜偉等[70]基于該分層股線模型研究了外層腐蝕對架空地線各層股線承載力的影響。

圖5 給出了輸電線各層股線的受力圖，輸電線受拉將導致各層股線產生軸向伸長和相鄰層擠壓。第i層股線沿導線軸向的應變Hi由兩部分產生：一部分是由張力fi產生的軸向變形Hif；另一部分是由于泊松效應，層間擠壓力pi產生的變形Hip。由彈性力學原理可得第i層股線的沿縱向的變形：

當輸電線層數(shù)較多時將會產生正壓力累加，則第i層股線承受的擠壓力pi等于其外層股線各股層層間擠壓力之和：

式中：Ri為第i層股線所在節(jié)圓半徑；qi為第i層股線的正壓力；di為第i層股線直徑；fi為第i層單股線縱向張拉力；αi為第i層股線的螺旋升角；Ti=fi/sin αi為第i層單股線沿自身軸線方向的張拉力。

輸電線第i層股線的橫向變形ΔR由泊松效應產生的徑向收縮Δr1和層間擠壓力產生的徑向壓縮Δr2兩部分組成。不考慮螺旋升角的變化則第i層股線縱向變形滿足變形協(xié)調方程，由此推導可得：

式中：Ai為第i層截面積；Ei為第i層彈性模量。

圖 5 輸電線股線受力圖Fig. 5 Forces of a transmission line

輸電線各層股線承受的縱向力之和等于導線整體所受的張拉力：

式中：ni為第i層股線的根數(shù)；f為輸電線承受的張力。通過求解式(31)即得各層股線內力。

1.8 細觀接觸模型

輸電線的分層股線模型相比于整體輸電線的模型而言，具有明顯進步，它實現(xiàn)了股線層級的內力分析評定。在輸電線的實際服役過程中，惡劣自然環(huán)境如腐蝕、覆冰、老化等容易引起股線的破壞，從而在股線表面造成損傷。即使是分層股線模型也無法詳細描述輸電線的細部受力特征，特別是無法有效掌握各股線之間的非線性接觸效應。因此，有必要開展股線的細部承載力研究，這就需要建立輸電線精細化的細觀接觸模型?；诖?，吳永祥[71]提出了一種輸電線的細觀接觸模型。該模型對于各根股線采用具有接觸功能的實體單元建立，同時該模型可以反映股線的泊松效應和各根股線之間的擠壓和接觸滑移效應。該模型分析精度很高，可以考慮股線的細部損傷對整體輸電線承載力的影響。

式中：B為股線單元幾何矩陣；D為股線單元彈性系數(shù)矩陣；N為股線單元形函數(shù)矩陣；Ω 為股線單元積分區(qū)域。bs為作用于股線單元的荷載體積力向量；ps為作用于股線單元的外荷載分布力向量；A為股線單元外荷載作用面積分區(qū)域。

圖 6 輸電線細觀接觸模型示意圖Fig. 6 Micro-contact model of a transmission line

各層股線在外荷載作用下將發(fā)生接觸擠壓作用，在股線之間形成接觸面和接觸應力。如圖7所示，股線連接處分為接觸面和目標面。接觸面上的節(jié)點M與目標面發(fā)生接觸，接觸距離d必須大于或者等于零，這稱為接觸協(xié)調條件。如果接觸距離小于零，則表示兩個接觸面之間發(fā)生了相互穿透，違反了接觸協(xié)調條件。各股線之間的接觸效應分析可采用罰函數(shù)法，接觸力fn可表示為：

式中：Kn為各股線之間的接觸剛度；d為股線接觸面積之間的距離。

由于每根股線均可建立受力平衡方程，因此整個輸電線的受力平衡方程實際上是一系列方程。輸電線各股線之間的相互作用是一個非常復雜的非線性接觸過程，因此其非線性接觸效應的分析必須經(jīng)過多次迭代方能完成。必須所有的股線都滿足接觸迭代收斂條件，則整個輸電線的分析才能完成。進一步地，陳波和鄧靜偉[72]基于輸電線的細觀接觸模型提出了一種架空輸電地線股線接觸效應分析方法及系統(tǒng)。此外，利用該模型張宇等[73]研究了股線擠壓效應對架空地線受力性能的影響。

圖 7 股線細部接觸示意圖Fig. 7 Deformation of a transmission line in radial direction

1.9 分裂導線模型

分裂導線由多根輸電線及其中的間隔棒所組成[74-76]。間隔棒通常采用梁單元進行模擬。而現(xiàn)有研究中輸電線可采用桿單元或索單元進行模擬，其剛度矩陣KSC為：

式中：nc為分裂導線的數(shù)量；nb為間隔棒數(shù)量；KC為單根導線剛度矩陣；KBR為間隔棒剛度矩陣。

圍繞輸電分裂導線的力學模型和響應，國內外學者也開展了系統(tǒng)研究。何锃等[77-78]建立了分裂導線扭轉舞動的動力學模型。他們還建立了一種新單元的分裂導線力學模型。該模型假設輸電線與間隔棒剛性連接，通過忽略位移導數(shù)的高階項影響推導建立了分裂導線的單元剛度矩陣。進一步地，何锃和趙高煜[79]提出了分裂導線的新型三維有限元模型，推導建立了單元質量和剛度矩陣，實現(xiàn)了帶防振錘分裂導線自由振動分析。劉小會等[80]利用一種三節(jié)點等參單元模型進行了分裂導線舞動非線性有限元分析。該模型中節(jié)點具有三個平動和一個扭轉共計四個自由度，用歐拉梁單元離散間隔棒，利用虛功原理建立了覆冰分裂導線非線性振動方程。

晏致濤等[81]建立了一種基于結點六自由度的四分裂分裂導線力學模型。參數(shù)分析表明：弧垂、分裂間距、邊界條件等對抗扭剛度均有較大的影響，間隔棒的數(shù)量不能顯著提高輸電線抗扭剛度。沈國輝和徐亮[82]建立了分裂導線的覆冰跌落模型，利用該模型研究了分裂導線與合成單導線的覆冰脫落的差異。通過參數(shù)研究考察了分裂導線和間隔棒數(shù)量對脫冰響應的影響。謝增和劉吉軒[83]提出了一種架空輸電線路分裂導線扭轉剛度計算新模型和方法。首先推導了子導線扭轉時的實際張力公式，考慮輸電線和兩端高度差建立了分裂導線扭轉剛度的力學模型和計算公式，該模型可以清晰地描述各種參數(shù)對分裂導線扭轉剛度的影響。謝增和劉吉軒[84]還利用Hamilton 變分原理提出了一種改進的覆冰分裂導線舞動模型。通過引入一種新的分裂導線扭轉剛度計算方法，建立了分裂導線固有頻率公式和改進的覆冰分裂導線舞動分析模型。傅觀君和王黎明[85]通過對分裂導線的扭轉能量增量的分析，建立了分裂導線扭轉剛度模型。進一步地通過真型分裂導線扭轉試驗驗證了力學模型的準確性并開展了舞動機理研究。蔡君艷和劉習軍[86]建立了帶剛性間隔棒的覆冰四分裂導線耦合振動模型，基于該模型建立了覆冰四分裂導線舞動近似解析解。胡琴和于洪杰[87]基于力矩平衡關系，建立了以懸掛絕緣子軸向拉力、傾角為輸入?yún)⒘康姆至褜Ь€覆冰扭轉力學模型。利用該模型開展了分裂導線等值覆冰厚度計算并在雪峰山試驗基地開展了耐張塔3 分裂導線覆冰實測研究。劉小會等[88]建立了四分裂導線翻轉的力學模型。他們從分裂導線的大角度轉動出發(fā)，提出了新的輸電線路翻轉模型，該模型可以描述影響分裂導線翻轉的各種因素。張志強等[89]建立了一種兩分裂導線風致響應的等效分析模型及方法，便于工程應用上快速開展分裂導線風致響應計算?？傮w而言，雖然國內外開展了一些分裂導線的研究工作，但主要工作集中于分裂導線的靜動力響應分析，對于分裂導線力學模型的研究還不完善，還有很多工作值得開展。

1.10 基于扭轉索單元的分裂導線顯式模型

為了提高分裂導線的分析精度，馮珂等[64-65]采用高精度的扭轉索單元來構建分裂導線力學模型，同時通過建立質量矩陣和剛度矩陣的顯式表示可以有效提高分析效率。分裂導線在服役過程中容易發(fā)生大變形和大轉角。因此，分裂導線中的間隔棒通常采用考慮大轉動的空間梁單元模擬。在建立分裂導線模型時，子導線采用每節(jié)點4 個自由度的懸索結構。通過對間隔棒空間梁單元模型進行自由度縮減使得兩者可以有效組合。引入自由度縮減矩陣對間隔棒梁單元進行自由度縮減處理，可得縮聚后的間隔棒剛度矩陣KBR?；谂まD索單元的分裂導線顯式模型的剛度矩陣KN可表示為：

2 輸電塔力學模型

2.1 梁系有限元分析模型

梁系有限元模型可以考慮輸電桿塔中各種主材、斜材、橫隔材和輔助材的作用，因此可以準確地反映輸電桿塔的靜動力性能，并且便于商業(yè)有限元軟件操作，受到了廣泛的應用。在實際應用中可以根據(jù)分析精度的要求選擇不同類型的梁單元。如在商業(yè)有限元軟件中，模擬輸電桿塔的桿件可以采用歐拉-伯努利梁單元，可以采用考慮剪切變形的鐵木辛柯梁單元，還可以采用考慮截面翹曲自由度的梁單元等。

2.2 桿系有限元分析模型

基于梁單元的輸電桿塔模型具有很好的分析精度，適用于各類靜動力響應分析計算。但是對于普通工程設計人員而言，商業(yè)有限元軟件操作過于復雜，同時桿塔結構設計過程中并不需要非常精細的有限元分析。因此，輸電桿塔商業(yè)設計軟件往往基于桿系有限元模型來分析輸電桿塔的承載力狀況。輸電桿塔中的一些輔助材如果采用桿單元建模，則將導致桿塔部分位置變成可變體系，導致無法計算。因此，桿系模型中往往將輔助材等一些桿件簡化，只保留主材、斜材、橫隔材等主要受力構件。其計算結果為桿件的軸向應力，忽略了桿端的彎矩作用。

2.3 串聯(lián)多自由度分析模型

輸電桿塔桿件眾多，空間三維有限元模型可以精確描述結構受力特征。但輸電塔三維精確力學模型計算量很大，對于結構振動進行詳細參數(shù)研究較為困難。此外這種精確三維力學模型的風荷載、地震作用和其他動力荷載樣本也幾乎不可能精確獲得。因此，很多學者對輸電桿塔結構采用二維串聯(lián)多自由度模型以滿足動力分析和參數(shù)研究的需要[93-95]。首先建立輸電桿塔的精確三維有限元模型，形成其整體質量矩陣Mt和剛度矩陣Kt。進一步地基于三維模型確定結構主要的水平構件和附加質量較為集中的位置，可將這些位置設置為結構的節(jié)點層。在串聯(lián)多自由度模型的建立過程中可抓住主要矛盾，略去次要因素，采用模型降階的辦法。首先將輸電塔的結構構件和非結構構件的質量集中于所選擇的n個節(jié)點層。節(jié)點層主要選擇存在較多主要構件的平臺之處。圖8顯示了輸電塔典型的串聯(lián)多自由度模型。

1) 對輸電塔第j節(jié)點層中各節(jié)點施加總和為1 的水平力(j=1,2,···,n)。設第j節(jié)點層共有Nj個節(jié)點，求解靜力平衡方程：

式中：f為荷載向量，該向量中除對應于第j節(jié)點層Nj個節(jié)點受力方向的元素值為1/Nj外，其余均為0；x為位移。

2) 確定第j節(jié)點層中各節(jié)點的平均水平位移。從位移向量x中選取第j樓層Nj個節(jié)點的位移值xm(m=1,2,···,Nj)并取平均值即得柔度系數(shù)δji(i,j=1,2,···,n)：

3) 重復以上操作可確定所有柔度系數(shù)并形成柔度矩陣Φ，求逆即可得輸電塔的串聯(lián)多自由度模型的剛度矩陣KD=Φ-1。

4) 模型的質量矩陣可采用集中質量矩陣：

式中，mi為第i節(jié)點層的集中質量。

3 輸電塔線體系力學模型

3.1 桿系有限元模型

基于不同類型的輸電線模型和輸電塔模型，即可構建不同的輸電塔線體系力學模型。目前較多采用的是基于商業(yè)有限元軟件如ANSYS、ABAQUS等構建的輸電塔線體系模型。這些模型均采用桿單元模擬輸電線，輸電線剛度矩陣Kc可表示為單元彈性剛度矩陣Ke和應力剛度矩陣Kσ之和。輸電線的質量矩陣可采用集中質量矩陣表示。采用空間梁單元建立輸電塔模型。組集各輸電塔和輸電線的貢獻即可形成輸電塔線體系的力學模型：矩陣；nt和nl分別為塔線體系中桿塔和輸電線的數(shù)量。

圖 8 串聯(lián)多自由度動力分析模型Fig. 8 Dynamic analytical model with lumped masses

輸電塔線體系桿系力學模型可采用商業(yè)有限元軟件建立，具有建模簡單快捷的優(yōu)點，便于開展塔線體系的各類風振地震、斷線覆冰等靜動力響應分析[96-102]。但這種力學模型在描述輸電線非線性反應方面的精度稍顯不足。此外，商業(yè)有限元軟件的減振阻尼器模型非常有限，在輸電線路的減振控制和參數(shù)研究方面具有明顯不足。

3.2 索系有限元模型

針對桿系有限元模擬輸電線精度有限的問題，有學者提出了輸電塔線體系的索系有限元模型[103]。在該模型中，輸電桿塔仍然采用梁單元建立三維空間有限元模型，而輸電線則采用索單元建立。這樣可以克服采用桿單元模擬輸電線造成的非線性大變形響應精度有限的問題。輸電線的剛度矩陣Kc可表示為彈性剛度矩陣Ke和初應力剛度矩陣Kσ和初位移剛度矩陣Kg之和。塔線體系的總剛度矩陣K為：

輸電塔線體系的索系模型與桿系模型相比提高了整體分析精度，特別是對輸電線的分析精度明顯提高。但這種模型建模較為繁瑣，目前只能依據(jù)編程實現(xiàn)分析，無法采用現(xiàn)有商業(yè)有限元軟件操作，這給這種模型的應用帶來了不便。

3.3 多質點動力等效模型

另外一種較為典型的輸電塔線體系分析模型即為李宏男等[46-47]率先提出的輸電塔線體系多質點力學模型（如圖9 所示）。其基本思想與輸電線的多質點模型類似，將輸電塔線體系的動能T表示為廣義坐標及其一階導數(shù)，塔線體系的勢能U單獨用廣義坐標表示。塔線體系非保守力在廣義坐標的一組任意變分所引起的虛位以上所做的虛功可以表示為變分的線性函數(shù)：

式中：Q1,Q2,···,QN為廣義力函數(shù)。

對于塔線體系平面內和平面外振動可分別等效為懸索和垂鏈。一個包含多塔多線的輸電塔線體系如圖9 所示，體系的動能T和勢能U可表示為：

將輸電塔線體系式動能和勢能的表達式代入拉格朗日方程，求解 ?T/?ξ˙i和 ?T/?δ˙i可得塔線體系的質量矩陣，求解 ?U/?ξi和 ?U/?δi可得塔線體系的剛度矩陣。輸電線路由多個輸電塔和多條輸電線所組成，實際分析中通常選取有限數(shù)量的塔線即可反映系統(tǒng)的動力性能[104]。以一塔兩線模型為例，塔線體系平面內振動的剛度矩陣Ki和質量矩陣Mi為：

圖 9 輸電塔線體系多質點模型Fig. 9 MDOF model of a transmission tower-line system

3.4 索塔動力分析模型

輸電塔線體系的桿系有限元模型、索系有限元模型和多質點模型各有優(yōu)缺點。桿系有限元模型建模方便，便于采用商業(yè)軟件操作，但是對輸電線的分析模擬精度有限，并且計算工作量大，對于振動控制研究和參數(shù)分析略顯不便。索系有限元模型雖然能夠精確地分析輸電線的靜動力響應，但存在建模復雜、運算量大等問題，實際應用較為繁瑣。多質點模型采用基于能量法則的非線性等效方法，運算速度快，便于進行振動控制分析和參數(shù)研究，但是對輸電線的計算精度也較為有限?；诖?，部分學者開始了索塔動力模型的研究工作。楊必峰和馬人樂[105]建立了一種輸電塔線體系的索桿混合模型。他們采用預拉力的直線單元模擬輸電線，采用零應力的直線單元模擬輸電塔，這種模型使輸電線和桿塔的單元剛度方程形式得到了統(tǒng)一，便于分析計算。陳波和陳家鑫[106]結合不同模型的優(yōu)點，提出了一種輸電塔線體系的新型索塔力學模型。該模型的基本思想是對于輸電桿塔采用串聯(lián)多自由度動力分析模型，而對于輸電線則采用索系有限元模型。同時在模型中還考慮了桿塔扭轉剛度和輸電線扭轉剛度的影響。因此，輸電線的分析計算依然采用非線性有限元方法，輸電線的剛度矩陣Kc為彈性剛度矩陣Ke和初應力剛度矩陣Kσ和初位移剛度矩陣Kg之和。塔線體系的總剛度矩陣K和總質量矩陣M為：

采用這種模型優(yōu)點非常明顯，通過輸電桿塔進行縮聚形成了串聯(lián)多自由度動力分析模型，極大地減小了輸電桿塔的動力自由度，便于進行動力響應分析和減振控制研究?？紤]到塔線體系中的大變形大轉角等非線性效應主要來自于輸電線，通過采用顯式索單元方法模擬輸電線，可以準確有效地把握輸電線的非線性效應，同時有效考慮了輸電線和桿塔之間的動力耦合效應。由于該模型可以有效地描述塔線體系的動力偶聯(lián)效應、輸電線的強非線性效應，同時有效地兼顧了分析及效率和精度，大規(guī)模的多塔多線輸電線路動力響應分析、減振控制分析和系統(tǒng)的參數(shù)研究可以有效地開展?；谶@種模型，他們開展了輸電塔線體系地震響應的研究和減振控制分析，取得了良好的效果[107]。

4 輸電塔線體系力學模型的應用

相對于塔線體系力學模型的研究工作而言，基于塔線體系模型開展的強風強震、覆冰、斷線以及減振控制方面的研究工作則較多。國內外很多學者均開展了較為系統(tǒng)的研究。目前塔線體系風荷載效應的研究主要是從普通季風、龍卷風、下?lián)舯┝?、強臺風等幾個方面開展。在輸電塔季風荷載效應方面，Tsui[108]、Mathur 等[109]、Liew 和Norville[110]、Yasui 等[111]較早開展了相關工作，他們采用不同方法研究桿塔的風致響應的特點和規(guī)律。進 一 步 地，Battista 等[112]、Loredo-Souza 和Davenport[113]研究了季風作用下的塔線體系動力耦合效應、陣風因子及桿塔抗風設計方法等。此外，各國學者還研究了不同地貌地區(qū)、不同結構參數(shù)、不同類型輸電桿塔的風致響應特點及抗風設計方法等輸電塔線體系風致響應問題[114-115]。國內這方面的工作雖晚于國外，但由于我國學者的努力，也開展了很多的工作如：李宏男等[12,116]、李正良等[117]、沈國輝等[118]、陳政清等[90]、瞿偉廉等[4,119-120]、梁樞果等[121]、李黎和尹鵬[122]、鄧洪洲等[123]、劉春城[124]、張林林和李杰[125]、何敏娟等[126-128]，很多研究成果已經(jīng)居于國際先進水平。

輸電桿塔強風荷載效應方面，由于實測、實驗困難以及相關基礎理論的不完善，研究工作相對于季風荷載效應要少得多。Savory 等[129-130]研究了龍卷風作用下的輸電導線的風荷載和風致振動問題。Ahmed 等[131]研究了龍卷風下輸電桿塔的損傷破壞問題。Pecin 等[132]基于龍卷風響應譜研究桿塔的風致響應。Shehata 和Damatty[133-135]系統(tǒng)研究了輸電桿塔和導線在下?lián)舯┝髯饔孟碌娘L荷載和風振響應問題。Li[136]、Darwish 和Damatty[137-138]通過參數(shù)研究考察了不同下?lián)舯┝黝愋秃筒煌Y構參數(shù)下輸電桿塔的風振特性。國內眾多學者也研究了下?lián)舯┝髯饔孟碌妮旊姉U塔動力響應和倒塌問題[4,139]。由于實測和試驗模擬的困難，輸電塔線體系臺風荷載效應的研究則更少[140-141]?？傮w而言，目前國內外在輸電塔線體系風致效應方面的研究主要集中于季風荷載方面，在強風荷載效應方面的研究工作還很欠缺。我國主要自20 世紀八九十年代開始開展相關研究工作，目前研究水平與國外基本相當。

輸電塔線體系的地震災變效應研也是研究熱點之一[142-147]。早期工作主要側重于考察輸電塔線體系的地震響應和塔線體系偶聯(lián)效應，后期逐漸過渡到研究近場、遠場地震效應以及非一致激勵地震響應方面。近年來，針對輸電塔線體系在地震作用下的倒塔破壞模式和損傷特點的研究也有相關開展[148-151]。由于在高海拔濕冷地區(qū)多發(fā)輸電線路覆冰斷線災害，因此相關的研究工作也受到了很多重視。我國的相關研究工作開展晚于國外，但也取得了很多研究進展[152-153]。沿海強風地區(qū)多發(fā)的風致斷災害也受到了很多關注，相關的研究工作也有很多，其主要思路是基于輸電塔線體系的模型研究斷線對桿塔的動力沖擊效應以及輸電線的跌落效應[154-156]。利用輸電塔線體系力學模型開展的防災減災的研究工作中還有一個非常重要的內容即為輸電塔線體系的減振控制[6,157-159]。這方面的研究也已開展了較長時間，主要是針對風振和地震響應的控制[160-163]。相關研究工作具有幾個非常明顯的特點：1)多數(shù)工作為塔線體系的風振控制；2)減振控制方法較為類似，基本是采用被動耗能阻尼器、動力吸振器類減振裝置；3)研究工作絕大部分以理論研究和數(shù)值模擬為主，控制裝置實際應用很少。

5 結論

本文綜述了國內外輸電塔線體系力學模型的發(fā)展現(xiàn)狀和技術要點。還簡要評述了不同輸電線模型、輸電塔模型以及塔線體系模型的優(yōu)缺點及適用范圍。本文主要結論如下：

(1) 輸電線的力學模型是塔線體系力學模型的核心。輸電線的桿系模型概念明確，表達式簡單，參數(shù)少且易于建模，為眾多商業(yè)有限元軟件所采用。但由于梁單元或桿單元模型無法充分考慮初始應變和初始位移等引起的輸電線強幾何非線性效應，因此計算精度有限，特別是對于大垂度輸電線的分析精度不佳。

(2) 基于Hamilton 原理發(fā)展起來的多質點模型具有簡潔高效的優(yōu)點。但由于對輸電線采用了等價線性化處理，因此對輸電線的非線性效應模擬精度有限。后期發(fā)展起來的基于多節(jié)點索單元的輸電線力學模型具有精度高、適用面廣、適用性好等一系列優(yōu)點。但由于隱式剛度矩陣計算需大量積分運算，因此該模型效率低下，不便于大規(guī)模工程應用。基于顯式索單元的輸電線力學模型有效地克服了上述模型的缺點，同時兼顧了計算精度和分析效率，非常適合于實際工程應用，具有廣闊的應用前景。

(3) 隨著輸電線路防災減災發(fā)展，對其服役性能的精細化監(jiān)測評估越來越受到重視。因此，針對輸電線股線層級的精細化力學模型和精細分裂導線力學模型的需求將不斷增加，這也是未來輸電線性能評估的重要方向之一。

(4) 目前商業(yè)有限元軟件所廣泛采用的輸電塔線體系桿系有限元模型具有建模簡單快捷的優(yōu)點，但對輸電線的非線性動力響應模擬精度還需進一步提升。而基于精細索單元的塔線體系模型雖然具有很高分析精度，但操作復雜、不便于實際工程應用。因此，基于高精度索單元發(fā)展高效精確、易于使用的輸電塔線體系力學模型仍然值得進一步深入研究，這也是輸電線路防災減災未來的重要研究課題之一。