淺水波對半無限長和有限長直立薄壁防波堤的繞射*

葉偉峰，黃華，蘇煒，黃坤輝

中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣東廣州510275

防波堤作為對近岸海工建筑和海上作業(yè)水域?qū)嵤┍Ｗo(hù)的重要設(shè)施而廣為應(yīng)用。防波堤結(jié)構(gòu)形式多樣，常見類型包括單突堤（半無限長薄壁堤）、島堤（有限長薄壁堤）、雙突堤、島式堤、梳式堤、T 形堤、圓弧堤以及V 形堤等等。Penney和Price［1］推導(dǎo)了Airy 微幅波對半無限長單突堤波浪繞射的一種積分?jǐn)?shù)學(xué)解。Michael 和McCormick［2］用多項(xiàng)式近似代替弗雷斯納爾積分，使Penney-Price 的積分解得到一定簡化。余廣明［3］應(yīng)用不規(guī)則波模型對類似問題進(jìn)行了相關(guān)研究。馮麗［4］應(yīng)用Mike 21-BW 波浪模型對單突堤波浪繞射進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算。Chang等［5］對微幅波作用下的V形防波堤的防浪效應(yīng)展開了數(shù)值研究。陸志妹等［6］和程建生等［7］采用特征函數(shù)展開法解析計(jì)算了微幅波作用于V形防波堤的波浪力和相關(guān)繞射效應(yīng)。楚玉川等［8］解析計(jì)算了Airy 微幅波對單層圓弧型薄壁防波堤的繞射波浪力。由于防波堤構(gòu)建的所屬水域大都屬于近海淺水區(qū)域，當(dāng)波浪從深水區(qū)向近岸傳播時(shí)將明顯呈現(xiàn)水波的非線性特征，線性微幅波理論可能不再適用，需要引入橢圓余弦波等相關(guān)淺水波理論。Issacson［9］最早應(yīng)用橢圓余弦波一階理論對單一圓柱的淺水波繞射進(jìn)行了解析計(jì)算。邱大洪［10］進(jìn)一步計(jì)算了橢圓余弦波對單柱繞射的波面分布。Weng等［11］應(yīng)用特征函數(shù)展開法解析研究了透空圓環(huán)柱群與橢圓余弦波的相互作用問題。朱夢華等［12］解析計(jì)算了斜入射橢圓余弦波對無限長直立防波堤的波浪力。張敖等［13］解析研究了橢圓余弦波對圓弧型貫底式防波堤的繞射。

本文通過引入橢圓余弦波一階分量模型，推廣應(yīng)用特征函數(shù)展開法，并使之與穩(wěn)定相分析法相結(jié)合，首先對半無限長薄壁直立防波堤（單突堤）的淺水波繞射場進(jìn)行了解析求解，進(jìn)一步推導(dǎo)了橢圓余弦波對有限長直立薄壁堤繞射的多重級數(shù)解。根據(jù)本文所給理論，對兩種典型防波堤的繞射波浪作用進(jìn)行了綜合實(shí)例計(jì)算，相關(guān)結(jié)果有效反映了淺水波繞射理論的合理與正確性，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了對應(yīng)兩種防波堤淺水波繞射不同解法正確性的相互驗(yàn)證。

1 橢圓余弦波對直立薄壁防波堤繞射的一階解

1.1 半無限長薄壁堤的繞射波解與波面和波浪力公式

均勻水深為d的海域中設(shè)置一直立且剛性的薄壁半無限長防波堤（單突堤）結(jié)構(gòu)（如圖1所示），建立坐標(biāo)系oxyz（即坐標(biāo)系orθz），其中oxy 平面位于水底，oz軸垂直向上，原點(diǎn)位于直堤左端點(diǎn)，ox正軸與堤身重合。入射波為淺水波中的橢圓余弦一階波，波高為H，圓頻率基頻為ω，入射角為β（與軸ox 正向夾角）。海水可視為無粘不可壓縮理想流體，其運(yùn)動(dòng)無旋，可按流場水波速度勢描述流體運(yùn)動(dòng)。

圖1 半無限長直立薄壁防波堤（單突堤）Fig.1 Semi-infinite vertical thin wall breakwater

單突堤對斜入射來波將分別產(chǎn)生反射和散射。設(shè)水波速度勢總勢、入射勢、反射勢和散射勢分別為Φ、Φi、Φr和Φs，其邊值問題的一般提法為

式中η 為波面，g 為重力加速度，另φ 須滿足單突堤物面條件，φr和φs須分別滿足各自無窮遠(yuǎn)處的輻射條件。入射角為β的一階入射橢圓余弦波的波勢可表達(dá)為［9，13］

據(jù)此可知，反射波諧波勢φin須滿足

另有單突堤波反射鄰域堤身側(cè)表面條件

應(yīng)用特征函數(shù)解法可得斜入射條件下橢圓余弦波一階分量反射勢為

進(jìn)一步橢圓余弦波入射波、反射波和散射波勢的一階波勢和（總波勢）可表達(dá)為

式中

利用漸近關(guān)系

再進(jìn)一步應(yīng)用穩(wěn)定相分析法［14］，并利用式（13）可得

利用式（18）和（19），由（17）可得

相應(yīng)總波勢為

對應(yīng)的波面公式為

波浪場壓力分布為

單突堤單位寬淺水波波浪力（矩）公式為

1.2 有限長薄壁堤的繞射波解與波面和波浪力公式

在均勻水深為d的海域中設(shè)置長為2a（臂長為a）的直立貫底式有限長薄壁防波堤（如圖2 所示），建立坐標(biāo)系oxyz（即坐標(biāo)系orθz），其中oxy平面位于水底，oz 軸垂直向上，原點(diǎn)位于直堤中點(diǎn)。入射波為橢圓余弦一階波，波高為H，圓頻率基頻為ω，入射角為β（與軸ox正向夾角）。

高分子鏈在空間的形貌是高分子柔性的一種表現(xiàn)形式,也是高分子鏈的基本特征之一.如何運(yùn)用數(shù)學(xué)模型來了解高分子鏈在空間的形貌和基本尺寸,是高分子物理學(xué)的基本內(nèi)容.

以原點(diǎn)為圓心、臂長a為半徑劃一圓柱面，將流場劃分為圓柱外流區(qū)Ω0和內(nèi)流區(qū)Ω1(0 ≤θ ＜π)與Ω2(π ≤θ ＜2π)。設(shè)海水為理想無粘不可壓縮流體，運(yùn)動(dòng)無旋。設(shè)水波速度勢總勢、入射勢和散射勢分別為Φ、Φi和Φs，入射角為β 的一階入射橢圓余弦波的波勢可表達(dá)為［13］

圖2 有限長直立薄壁防波堤Fig.2 Finite-length vertical thin wall breakwater

0 (0 ＜r ≤a，j = 1：θ = 0，π；j = 2：θ = π，2π)以及拉氏方程、海底條件和無窮遠(yuǎn)處輻射條件。各流域圓柱交界面徑向匹配條件為

由邊界條件式（29），可設(shè)：

其中

將f(θ)在0～2π上展開為傅氏級數(shù)，可得

相應(yīng)地，

式中δij為克羅內(nèi)克函數(shù)，且有

由邊界條件式（30）和（31），利用函數(shù)系{cos mθ，0 ≤θ ≤π}和函數(shù)系{cos m(θ - π)，π ≤θ ≤2π}的正交性，分別可得

2 算例與分析

在半無限長薄壁堤和有限長薄壁堤的算例中，波面的無量綱因子為H，單位寬波浪力和總波浪力分別按ρg(H/2)d和ρg(H/2)ad 無量綱化，而空間坐標(biāo)x、y的無量綱因子為d。因淺水波中無量綱單位寬波浪力矩值和無量綱總波浪力矩值分別為對應(yīng)力值的一半，故實(shí)算中進(jìn)行波浪力計(jì)算即可。為方便比較，有限長堤取足夠長度（a/d = 20），對半無限長堤和有限長堤各自左端相同位置附近鄰域作淺水波正入射下無量綱繞射波面分布圖，即圖3-4。

圖3 半無限長薄壁防波堤的最大波面分布等高線圖Fig.3 The contour plot of maximum wave surface distribution of semi-infinite thin wall breakwater(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4)

如圖所示，兩圖存在明顯相似的最大繞射波面分布特征，從而驗(yàn)證了不同解下相似幾何特征結(jié)構(gòu)的水波繞射具有相似的作用機(jī)制和解析結(jié)果。進(jìn)一步，選取足夠長有限長堤與半無限長堤左端部相同位置處作最大波面分布剖面對比圖。為此，半無限長堤取x1/d = 10 作剖面（半無限長堤左端位置為x1/d = 0），足夠長有限長堤取x2/d = -10 作剖面（有限長堤中端位置為x2/d = 0），兩處為同一位置。如圖5所示，在相同波浪參數(shù)條件下，兩剖面結(jié)果高度吻合，這表明足夠長的有限長堤端部的繞射波面分布與半無限長防波堤的對應(yīng)結(jié)果十分接近，從而對兩種防波堤淺水波繞射解的不同解析解法實(shí)現(xiàn)了有效的相互驗(yàn)證。圖5的結(jié)果表明：對于兩種防波堤，堤前壁最大無量綱波面大幅降低80%以上至堤壁后鄰域，反映了防波堤的有效防浪效應(yīng)。

圖4 有限長薄壁防波堤的最大波面分布等高線圖Fig.4 The contour plot of maximum wave surface distribution of finite-length thin wall breakwater(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4)

圖5 半無限長堤和有限長堤的最大波面分布剖面Fig.5 The profiles of maximum wave surface distribution of semi-infinite and finite-length breakwaters(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4，a/d = 20)

圖6為半無限長薄壁堤和足夠長有限長薄壁堤所受最大無量綱單位寬波浪力分布的對比圖。為方便計(jì)，圖中符號f1、f2分別代表半無限長堤和有限長堤上按因子ρg(H/2)d 無量綱化后的單位寬最大波浪力。波浪力分布統(tǒng)一從防波堤左端部開始計(jì)算（半無限長堤從左端取無量綱堤長范圍x1/d =0～20；有限長堤從左端到中端取無量綱堤長范圍x2/d = -20～0）。圖6 表明：兩種防波堤對應(yīng)的無量綱最大單位寬波浪力隨堤長振蕩變化且相互大致吻合，特別左端結(jié)果基本吻合，由此進(jìn)一步相互驗(yàn)證了兩種不同形式淺水波繞射解析解的正確性。

圖6 半無限長堤和有限長堤的最大無量綱單位寬波浪力Fig.6 The maximum dimensionless wave force per unit width of semi-infinite and finite-length breakwaters(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4，a/d = 20)

圖7-8分別為相同淺水條件下繞半無限長堤和繞有限長堤繞射的橢圓余弦波和Airy 波之最大無量綱波面分布剖面，圖7（半無限長堤）取x1/d =10 作剖面，圖8（有限長堤）取x2/d = 0 作剖面，橫坐標(biāo)為無量綱縱向距離y/d。結(jié)果表明：兩種防波堤的堤前最大波面的橢圓余弦波計(jì)算值整體上明顯大于Airy 波理論的對應(yīng)值，其中半無限長和有限長防波堤前側(cè)的橢圓余弦波無量綱最大波面分別高于Airy波對應(yīng)值的60%和35%。

圖9-10 分別為半無限長堤和有限長堤上的橢圓余弦波與Airy 波的最大無量綱單位寬波浪力的比較圖。圖9表明：半無限長堤所受Airy 波的最大單位寬無量綱波浪力平均而言約為橢圓余弦波對應(yīng)結(jié)果的61%；而圖10 表明：有限長堤（考慮正入射波繞射作用的對稱性，從左端取無量綱堤長x2/d = -5～0 即可）的此對應(yīng)值約為65%。以上結(jié)果表明：在一定的淺水條件下，采用橢圓余弦波模型來預(yù)測兩種防波堤的波浪作用更為合理可靠。

圖7 繞半無限長堤的橢圓余弦波和Airy波的最大波面分布剖面Fig.7 The profiles of maximum wave surface distribution between cnoidal wave and airy wave around semi-infinite breakwater(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4)

圖8 繞有限長堤的橢圓余弦波和Airy波的最大波面分布剖面Fig.8 The profiles of maximum wave surface distribution between cnoidal wave and airy wave around finite-length breakwater(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4，a/d = 5)

圖9 半無限長堤橢圓余弦波和Airy波的最大單位寬波浪力Fig.9 The maximum wave force per unit width on semi-infinite breakwater between cnoidal wave and airy wave(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4)

圖11 為半無限長堤（自左端取無量綱堤長范圍x1/d = 0 ～20）最大無量綱單位寬波浪力隨入射角度的變化趨勢。由圖可知：在左端部一定鄰域（0 ＜x1/d ＜3）最大單位寬無量綱波浪力隨入射角增大（從左入射到右入射，β = π/2 為正入射）而略為增大。隨著堤長增大，單寬波浪力呈現(xiàn)振蕩變化，且隨入射角的變化同樣呈振蕩變化。圖12為有限長堤左端至右端最大無量綱單位寬波浪力隨入射角度的變化趨勢?？紤]水波左入射與右入射的對稱性，則僅需計(jì)算分析水波右入射即可（β = π/2～π，其中β = π/2為正入射）。圖中結(jié)果表明：入射角變化對端部單寬波浪力影響相對較小。對于水波右入射而言，當(dāng)x2/d ＞-2，單寬最大無量綱波浪力隨入射角的增大而減小，平均而言正入射堤對應(yīng)最大單寬波浪力幅值。此外，有限長堤中部單寬力平均而言大于兩端鄰域的對應(yīng)值。

圖10 有限長堤橢圓余弦波和Airy波的最大單位寬波浪力Fig.10 The maximum wave force on finite-length breakwater per unit between cnoidal wave and airy wave(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4，a/d = 5)

圖11 不同入射角下半無限長堤最大無量綱單位寬波浪力Fig.11 The maximum wave force per unit of semi-infinite breakwater at different incident angles(λ= 3，kd = 0.4)

圖13-14分別為半無限長堤和有限長堤在不同非線性影響因子λ下最大無量綱單位寬波浪力的分布變化圖。圖中結(jié)果表明：隨著λ的增大，在兩種防波堤上分布的無量綱單位寬波浪力有所增大，當(dāng)λ ＜3 時(shí)增幅較為明顯，之后增加的趨勢減緩。按表達(dá)式λ=(H/d)/(kd)2，在固定參數(shù)kd 和水深d的情況下，隨著λ的增大，波高H同樣增大，則由兩種防波堤上單位寬波浪力的無量綱因子ρg(H/2)d可知，實(shí)際最大單位寬波浪力將隨著λ的增大而增大。

圖12 不同入射角下有限長堤最大無量綱單位寬波浪力Fig.12 The maximum wave force per unit of finite-length breakwater at different incident angles(λ= 3，kd = 0.4，a/d = 5)

圖13 不同λ下半無限長堤最大無量綱單位寬波浪力Fig.13 The maximum wave force per unit of semi-infinite breakwater at different λ(β = π/2，kd = 0.4)

圖14 不同λ下有限長堤最大無量綱單位寬波浪力Fig.14 The maximum wave force per unit of finite-length breakwater at different λ(β = π/2，kd = 0.4，a/d = 5)

圖15 為不同入射角下有限長堤最大無量綱總波浪力隨參數(shù)kd 的變化趨勢。圖中f3為橢圓余弦波一階分量作用于有限長薄壁防波堤的最大無量綱總波浪力。同樣，考慮水波左入射與右入射的對稱性，僅需計(jì)算右入射即可。結(jié)果表明：最大無量綱波浪力隨kd 先增后減，進(jìn)一步呈振蕩變化。隨著水波入射角的增大，總波浪力幅值減小，其中水波正入射（β = π/2）的總波浪力幅值明顯高于其他入射角度的對應(yīng)值。

圖16 為不同臂長水深比下有限長堤最大無量綱總波浪力隨參數(shù)kd 的變化趨勢。由圖中結(jié)果可知，當(dāng)kd 較小時(shí)（kd ＜0.5），最大無量綱總波浪力隨臂長水深比的增加而略為增加。而當(dāng)kd ＞0.5時(shí)，隨臂長水深比的變化，總波浪力幅值交錯(cuò)變化。

圖15 不同入射角下有限長堤最大無量綱總波浪力隨kd的變化Fig.15 Variation of maximum dimensionless total wave force of finite-length breakwater with kd at different incident angles(λ= 3，a/d = 5)

3 結(jié) 論

本文使用特征函數(shù)展開法和穩(wěn)定相分析法，分別給出淺水波模型下半無限長直立薄壁堤和有限長直立薄壁堤的解析解，并據(jù)此計(jì)算了半無限長堤和有限長堤在橢圓余弦波繞射下的波面分布、單位寬波浪力以及總波浪力，得出以下結(jié)論：

圖16 不同臂長水深比下有限長堤最大無量綱總波浪力隨kd的變化Fig.16 Variation of maximum dimensionless total wave force of finite-length breakwater with kd at different arm length to water depth ratios(λ= 3，β = π/2)

1）取一較大的臂長水深比，將防波堤端部最大波面分布、最大波面分布剖面以及沿有限長堤分布的單位寬波浪力與相同淺水條件下的半無限長堤計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，兩者結(jié)果十分接近，實(shí)現(xiàn)了兩種不同模型解析解的相互驗(yàn)證，說明本文給出的解是合理可靠的。

2）利用本文給出的淺水波模型下半無限長堤和有限長堤的理論解進(jìn)行實(shí)算，發(fā)現(xiàn)最大無量綱波面分布剖面和最大單位寬波浪力分布皆大于相同淺水條件下Airy 波理論的結(jié)果，采用淺水波理論來預(yù)測防波堤受到的波浪作用更可靠。

3）入射角β 對半無限長堤和有限長堤上最大單位寬波浪力的分布有影響。有限長堤總波浪力受入射角、臂長、水深比等波浪參數(shù)的影響。綜合來說，淺水波入射角以及防波堤堤長與水深比等參數(shù)的變化均將對波浪作用產(chǎn)生一定影響。隨著淺水波特征參數(shù)值的增加，防波堤的實(shí)際繞射波浪力也將隨之增加。