任金霞，王 瑞，杜增正

(江西理工大學電氣工程與自動化學院，江西 贛州 341000)

0 引言

永磁同步電動機(PMSM)由于其高效率、低慣性和高扭矩慣量比等高性能特性而在工業(yè)應(yīng)用中得到廣泛應(yīng)用。在許多應(yīng)用中，PMSM的快速響應(yīng)和高精度轉(zhuǎn)速控制是一個具有挑戰(zhàn)性的領(lǐng)域。PMSM容易受到外部擾動和自身參數(shù)變化等不確定性影響，當系統(tǒng)受到擾動時，傳統(tǒng)的PI控制難以達到令人滿意的控制效果。對于永磁同步電機易受外界環(huán)境和自身參數(shù)變化影響的問題，采用滑?？刂颇軌蛉〉昧己玫目刂菩Ч；？刂茖_動的敏感度較低，響應(yīng)速度快，因此能夠提高控制精度，使系統(tǒng)具有較強的魯棒性，但是存在抖振問題。二階滑模既保留傳統(tǒng)一階滑模的優(yōu)良特性，能夠使滑模面在有限時間內(nèi)趨于0，同時能夠減小系統(tǒng)的抖振。文獻[1]中針對永磁同步電機控制的電流環(huán)設(shè)計了一種二階終端滑模控制器，使電機的電流和速度穩(wěn)態(tài)得到了降低，能有效地抑制抖振。文獻[2]針對永磁同步電機的轉(zhuǎn)矩變化問題提出了一種二階滑模轉(zhuǎn)速控制器，能夠削弱轉(zhuǎn)矩抖振，提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

近年來學者們研究發(fā)現(xiàn)分數(shù)階系統(tǒng)在一定程度上的控制性能要優(yōu)于整數(shù)階系統(tǒng)。分數(shù)階控制系統(tǒng)對信號具有記憶性，它比傳統(tǒng)的PID控制多了兩個可變的自由度，微積分的階次不再僅限于整數(shù)，而是可以為分數(shù)。因此，在控制系統(tǒng)中可以靈活選擇系統(tǒng)的微積分階次，使系統(tǒng)達到最優(yōu)控制。文獻[3]提出了一種模糊分數(shù)階變階次滑模控制，實驗結(jié)果表明電機在該方法下的控制性能要優(yōu)于常數(shù)階次滑?？刂?。文獻[4] 提出了一種基于分數(shù)階滑模與快速指數(shù)趨近律的永磁同步電機輸出功率控制策略，實驗結(jié)果表明電機能夠更有效地追蹤功率輸出值，能夠有效降低抖振現(xiàn)象。

為了進一步削弱抖振和減小穩(wěn)態(tài)誤差，本文將分數(shù)階與二階滑?？刂葡嘟Y(jié)合，設(shè)計出一種新型的基于分數(shù)階滑模面的二階滑模控制器。相比于傳統(tǒng)的二階滑?？刂破鳎摲椒軌蚴褂来磐诫姍C的動態(tài)響應(yīng)時間更快，抗擾動能力增強，能夠減小自身參數(shù)變化帶來的影響，有效地改善系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。

1 分數(shù)階微積分定義

分數(shù)階微積分實際上是任意階微積分，階數(shù)甚至可以為復(fù)數(shù)[5]。對于分數(shù)階微積分算子，定義為：

(1)

在分數(shù)階理論的發(fā)展過程中，出現(xiàn)了多種定義，最常見的R-L分數(shù)階積分定義為:

(2)

其中，t>0,α∈R+，Γ(α)為Gamma函數(shù)：

(3)

2 永磁同步電機數(shù)學模型

對于表貼式永磁同步電機，為了獲得較好的控制效果，采用id=0控制，則在d-q坐標軸下的數(shù)學模型為:

(4)

(5)

(6)

(7)

其中，ud、uq、id、iq分別是電機的d-q軸電壓和電流，Ld、Lq分別是d-q軸電感，ψf為磁鏈，pn為極對數(shù)，ω為電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，B為阻尼系數(shù)，J為轉(zhuǎn)動慣量。

3 基于分數(shù)階滑模面的二階滑模轉(zhuǎn)速環(huán)控制器設(shè)計

3.1 二階滑模原理

滑?？刂平Y(jié)構(gòu)簡單，對外部擾動及系統(tǒng)自身參數(shù)的變化不敏感，因此具有較強的魯棒性。二階滑模既保留了傳統(tǒng)滑模的優(yōu)點，又能使不確定的控制量在滑模面上的運動軌跡趨于原點，并有限范圍內(nèi)得到有效控制，從而削弱了系統(tǒng)抖振。

對于一個動態(tài)非線性系統(tǒng)，

(8)

假設(shè)所求系統(tǒng)的相對度為2，為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，對σ進行兩次求導有：

(9)

(10)

3.2 分數(shù)階滑?？刂破鞯脑O(shè)計

定義轉(zhuǎn)速跟蹤誤差為：

e(t)=ω*-ω

(11)

其中，ω*為參考轉(zhuǎn)速，ω為電機實際轉(zhuǎn)速。設(shè)分數(shù)階滑模面為：

(12)

其中，c是大于0的常數(shù)，表示滑模增益。對式(12)連續(xù)兩次求導可得：

(13)

(14)

3.3 控制率的選擇

“螺旋算法”是二階滑模中一種最簡單的算法。這種算法能夠使系統(tǒng)的運動軌跡螺旋式地收斂到原點。其控制量的具體形式為：

(15)

若|σ|≤A，A是一個大于0的有限的常數(shù)，那么在限定的時間內(nèi)，σ(x,t)收斂的條件是：

(16)

基于滑模策略的永磁同步電機轉(zhuǎn)速環(huán)控制的實現(xiàn)框圖如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)速環(huán)的二階滑?？刂瓶驁D

本文所設(shè)計的基于分數(shù)階二階滑模的PMSM轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)控制框圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)控制框圖

在圖2中可以看到，在PMSM矢量控制當中，采用id=0控制方法，利用參考轉(zhuǎn)速和電機實際轉(zhuǎn)速之間的誤差，設(shè)計了一個分數(shù)階二階滑?？刂破鱽韺λ俣拳h(huán)進行控制，從而使得PMSM的性能得到改善。

4 仿真及實驗結(jié)果分析

對于永磁同步電機的速度環(huán)二階滑?？刂疲Ｃ骐A次取α=1和α=0.1兩種情況，分別對傳統(tǒng)二階滑模(即α=1)和分數(shù)階二階滑模(即α=0.1)以及傳統(tǒng)滑模控制的情況進行仿真，并在不同工況下驗證所提方法的穩(wěn)定性和魯棒性。表貼式永磁同步電機的參數(shù)如下：極對數(shù)pn=4，定子電阻R=2.875 Ω轉(zhuǎn)動慣量J=4.8e-6 kg·m2，d-q軸電感Ls=8.5 mH,永磁體磁通ψf=0.175 Wb，直流母線電壓為311 V，摩擦系數(shù)B=0 N·m·s，給定轉(zhuǎn)速n=2000 r/min，分數(shù)階二階滑?？刂破鲄?shù)：k1=10，k2=60，c=100。

4.1 空載狀態(tài)下啟動

給定初始轉(zhuǎn)速為2000 r/min，使電機在空載狀態(tài)下啟動，仿真結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看到在傳統(tǒng)二階滑?？刂茣r，電機要經(jīng)過0.08 s的上升時間才能到達穩(wěn)定狀態(tài)，存在約6轉(zhuǎn)的穩(wěn)態(tài)誤差；而在分數(shù)階二階滑模控制時，電機經(jīng)過0.04 s的上升時間到達穩(wěn)定狀態(tài)，上升時間是傳統(tǒng)二階滑?？刂魄樾蜗碌?0%，穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為0。傳統(tǒng)滑?？刂茣r，電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)存在450轉(zhuǎn)的最大超調(diào)量，且調(diào)節(jié)時間較長，在0.2 s才進入穩(wěn)定狀態(tài)。對于三相電流，相比傳統(tǒng)二階滑模情形下，在分數(shù)階二階滑模控制情形下電機的三相電流能夠更快地趨于穩(wěn)定狀態(tài)。在分數(shù)階二階滑模情形下，電機的動態(tài)響應(yīng)性能得到了提高。而傳統(tǒng)滑模情形下，電機的三相電流在趨于穩(wěn)態(tài)的中途出現(xiàn)抖振，控制性能不佳。

(a) 電機轉(zhuǎn)速 (b) 分數(shù)階二階滑模情況下的三相電流

(c) 傳統(tǒng)二階滑模情況下的三相電流 (d) 傳統(tǒng)滑?？刂魄闆r下的三相電流圖3 空載啟動狀態(tài)下的輸出

4.2 加入負載

給定初始轉(zhuǎn)速為2000 r/min，使電機在空載狀態(tài)下啟動，在0.4 s時加入6 N負載，仿真結(jié)果如圖4所示。從圖中可知，當加入負載時，在傳統(tǒng)滑?？刂葡?，電機轉(zhuǎn)速出現(xiàn)較大的抖動，且在0.54 s才回到穩(wěn)定狀態(tài)。在傳統(tǒng)二階滑?？刂魄樾蜗?，電機的轉(zhuǎn)速出現(xiàn)波動后在0.44 s時重新進入穩(wěn)定狀態(tài)，調(diào)節(jié)時間為0.04 s,存在8轉(zhuǎn)的穩(wěn)態(tài)誤差；在分數(shù)階二階滑?？刂魄樾蜗拢D(zhuǎn)速經(jīng)過波動后在0.41 s時重新進入穩(wěn)定狀態(tài)，調(diào)節(jié)時間為0.01 s,僅為傳統(tǒng)二階滑模控制情形下的25%，并且穩(wěn)態(tài)誤差趨于0。另外，對于電機的三相電流，傳統(tǒng)滑?？刂埔?jīng)過較長時間的波動進入穩(wěn)態(tài)，分數(shù)階二階滑?？刂葡履軌虮３謧鹘y(tǒng)二階滑?？刂频目刂菩Ч?，當加入負載時，電流增大，并且迅速進入穩(wěn)定狀態(tài)。因此，在分數(shù)階二階滑?？刂葡拢到y(tǒng)具有較強的抗負載擾動變化能力。

(a) 電機轉(zhuǎn)速 (b) 分數(shù)階二階滑模情況下的三相電流

(c) 傳統(tǒng)二階滑?？刂茣r的電流 (d) 傳統(tǒng)滑?？刂茣r的三相電流圖4 加入負載時電機的輸出

4.3 PMSM轉(zhuǎn)動慣量變化

由于對PMSM的建?？赡艽嬖谡`差，為了分析PMSM的分數(shù)階二階滑模和傳統(tǒng)二階滑模以及傳統(tǒng)滑?？刂葡码姍C自身參數(shù)變化時的響應(yīng)情況，給定初始轉(zhuǎn)速為2000 r/min，在以下兩種情況下進行仿真對比實驗。

情況1：電機的轉(zhuǎn)動慣量J=0.003 kg.m2；情況2：電機的轉(zhuǎn)動慣量為J=0.005 kg.m2。

仿真結(jié)果如圖5的所示。可知，電機的轉(zhuǎn)動慣量變化時，在分數(shù)階二階滑?？刂葡罗D(zhuǎn)速的變化波動較小，最大轉(zhuǎn)速誤差為243轉(zhuǎn)，在0.05 s時誤差趨于0。而傳統(tǒng)二階滑模控制系統(tǒng)下轉(zhuǎn)速的變化波動較大，最大轉(zhuǎn)速誤差為376轉(zhuǎn)，在0.08 s時誤差趨于0。傳統(tǒng)滑?？刂葡?，轉(zhuǎn)速的波動較大，轉(zhuǎn)速誤差在-327轉(zhuǎn)～491轉(zhuǎn)之間波動，在0.3 s后誤差趨于0。因此，在分數(shù)階二階滑?？刂葡拢到y(tǒng)受自身參數(shù)變化的影響較小。

(a) 分數(shù)階二階滑模控制情況下的電機轉(zhuǎn)速 (b) 分數(shù)階二階滑模控制情況下的轉(zhuǎn)速誤差

(c) 傳統(tǒng)二階滑?？刂频碾姍C轉(zhuǎn)速 (d) 傳統(tǒng)二階滑?？刂频霓D(zhuǎn)速誤差

(e) 傳統(tǒng)滑模控制的電機轉(zhuǎn)速 (f) 傳統(tǒng)滑?？刂频霓D(zhuǎn)速誤差圖5 轉(zhuǎn)動慣量變化時電機的輸出

經(jīng)過以上分析可知，相比于傳統(tǒng)的滑?？刂坪蛡鹘y(tǒng)二階滑模控制中存在的抖振問題和穩(wěn)態(tài)誤差問題，當系統(tǒng)發(fā)生擾動時和自身參數(shù)變化時，在分數(shù)階二階滑?？刂葡码姍C的抖振較小，動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能都能得到有效提高，使系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

5 結(jié)論

本文將分數(shù)階微積分理論和滑模控制理論相結(jié)合，設(shè)計了基于分數(shù)階滑模面的二階滑模轉(zhuǎn)速環(huán)控制器，利用“螺旋算法”進行求解，并在MATLAB/SIMULINK環(huán)境下進行仿真，仿真結(jié)果表明相比于傳統(tǒng)二階滑模控制，永磁同步電機的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能都得到了

改善，能夠有效削弱抖振，驗證了所提方法的可行性和有效性。