基于似然函數(shù)的雙曲調(diào)頻信號參數(shù)估計快速算法

馬碧云 元達鵬 劉嬌蛟*

①(華南理工大學(xué)電子與信息學(xué)院 廣州510640)

②(自然資源部海洋環(huán)境探測技術(shù)與應(yīng)用重點實驗室 廣州510300)

1 引言

線性調(diào)頻(Liner Frequency Modulation,LFM)信號被廣泛地應(yīng)用于雷達偵查、地震勘測、水聲通信與仿生聲吶等領(lǐng)域，而能否準(zhǔn)確地估計出接收信號的參數(shù)，將直接影響探測精度，所以對LFM信號的參數(shù)估計是一個近年來比較重要的研究方向，國內(nèi)外學(xué)者也作了深入廣泛的研究[1–5]。然而在水聲環(huán)境等復(fù)雜的應(yīng)用場景中，物體間的相對運動會造成多普勒效應(yīng)，這種多普勒效應(yīng)不僅會影響接收信號的脈沖壓縮結(jié)果，也會影響接收信號的參數(shù)估計結(jié)果，因此LFM信號難以適應(yīng)此類動態(tài)場景的需求。有鑒于此，研究者引入了雙曲調(diào)頻(Hyperbolic Frequency Modulation,HFM)信號。HFM信號不僅具有良好的脈沖壓縮性能，還具有多普勒不變性[6]，即經(jīng)過多普勒效應(yīng)影響的接收信號仍可與匹配濾波器匹配，因此HFM信號近年來在水聲等多普勒影響嚴(yán)重的應(yīng)用領(lǐng)域中得到了廣泛的研究，但是目前針對HFM信號參數(shù)估計問題的研究較為有限[7,8]。在參數(shù)估計問題上，最大似然估計由于其自身估計算法的精度極高，受到廣大研究學(xué)者的推崇，然而最大似然估計涉及多維搜索的過程，存在因計算量大而無法直接在實際工程中使用的問題。因此本文針對HFM信號，提出一種基于似然函數(shù)的HFM信號參數(shù)估計快速方法。

本文安排如下：第1節(jié)敘述HFM信號以及其參數(shù)估計問題的研究背景以及應(yīng)用意義；第2,3節(jié)將介紹HFM信號的特征，并推導(dǎo)HFM信號參數(shù)估計的Cramer-Rao下界，作為本文參數(shù)估計方法的性能評估標(biāo)準(zhǔn)；第4,5節(jié)將基于噪聲的高斯隨機過程，構(gòu)建HFM信號的似然函數(shù)，利用GABC算法對似然函數(shù)進行全局最優(yōu)化搜索，并針對算法的優(yōu)化過程，提出一種改進的適應(yīng)度函數(shù)；第6節(jié)將通過蒙特卡洛試驗驗證本文所述方法的有效性，結(jié)果表明本方法在保證估計精度的同時能提高算法收斂速度。

2 HFM信號

可見式(2)是關(guān)于時間t的雙曲函數(shù)，因此稱為雙曲調(diào)頻信號。

另外，HFM信號的多普勒不變性表現(xiàn)為：經(jīng)過多普勒效應(yīng)影響的HFM信號除了存在一個時域上的時間偏移 ?t外，并不會產(chǎn)生多普勒頻移，且其瞬時頻率仍然保持相同的調(diào)頻率k與初始頻率f0，因此仍可與匹配濾波器完全匹配[9]，上述結(jié)果可表示為

式中，fH(t)為 原HFM信號的瞬時頻率，fDH(t)為HFM信號經(jīng)過多普勒效應(yīng)影響后的瞬時頻率，時間偏移?t=(1?α)/αkf0，其中α為多普勒尺度因子。

因此相比于LFM信號，HFM信號具有多普勒不變性，經(jīng)多普勒尺度變化后的信號參數(shù)仍保持不變，在復(fù)雜水聲環(huán)境中的信號參數(shù)估計問題上具有一定優(yōu)勢。

3 高斯白噪聲下的Cramer-Rao下界

在參數(shù)估計問題中，Cramer-Rao下界為任意無偏估計量的方差確定下界，即無偏估計量的方差只能無限逼近Cramer-Rao下界，但不會小于該下界[10]。因此，本節(jié)通過推導(dǎo)Cramer-Rao下界，為任意無偏估計量的性能比較提供了一個參考標(biāo)準(zhǔn)。

在高斯白噪聲環(huán)境下，采樣所得的HFM信號服從高斯隨機過程

4 HFM信號的似然函數(shù)

HFM信號參數(shù)的最大似然估計為漸近無偏估計，在理論上最大似然估計可以逼近Cramer-Rao下界，具有極高的估計精度。

其中，fs為采樣頻率；w(n),n∈{1 2···M}為零均值的復(fù)高斯白噪聲隨機過程，其實部與虛部方差均為常量σ2，且相互獨立；其中調(diào)頻率k與初始頻率f0的最大似然估計值為HFM信號參數(shù)估計的最終目的。

為了方便化簡，式(12)可表示為向量形式

5 似然函數(shù)優(yōu)化問題

傳統(tǒng)的最優(yōu)化算法如牛頓迭代法、最速下降法、共軛梯度法等，由于對目標(biāo)函數(shù)有著較高要求，比如要求目標(biāo)函數(shù)必須可導(dǎo)，因此在大多數(shù)實際問題中無法使用。近年來，仿生智能優(yōu)化算法因其對復(fù)雜問題具有高效的優(yōu)化性能且無需目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)信息等優(yōu)點，受到研究學(xué)者的廣泛關(guān)注。在最優(yōu)化算法的搜索過程中，均需要通過反復(fù)計算適應(yīng)度函數(shù)值進行個體篩選，因此適應(yīng)度函數(shù)的選取將直接決定算法的收斂速度以及能否尋得最優(yōu)解。有鑒于此，本文根據(jù)最優(yōu)化算法的搜索過程改進了其中的適應(yīng)度函數(shù)，使得最優(yōu)化算法在保證準(zhǔn)確性的同時降低一定的計算量。

5.1 最優(yōu)化算法

隨著1975年遺傳算法(Genetic Algorithms,GA)的提出，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，研究學(xué)者針對不同的應(yīng)用問題提出了多種仿生智能算法，各種方法因適用范圍不同，都有一定的優(yōu)缺點，需要根據(jù)實際的問題進行選擇應(yīng)用。

Karaboga等人[12]于2007年提出人工蜂群(Artificial Bee Colony,ABC)算法用于解決多變量函數(shù)優(yōu)化問題，后來Zhu等人[13]提出全局最優(yōu)引導(dǎo)的人工蜂群算法(Global best-guided Artificial Bee Colony algorithm,GABC)，它的基本思想是將每個蜜源位置表示為待求問題的一個可行解，并通過模仿蜜蜂采蜜行為來進行最優(yōu)解搜索。GABC算法在多維函數(shù)優(yōu)化問題上表現(xiàn)優(yōu)秀，且具有魯棒性強、控制參數(shù)較少等優(yōu)點。相比于ABC算法，GABC算法通過跟隨當(dāng)前最優(yōu)值進行搜索，優(yōu)化結(jié)果精度更高。因此針對似然函數(shù)的優(yōu)化問題，本文選擇GABC算法作為下文研究HFM信號參數(shù)估計問題的最優(yōu)化算法。

5.2 時間復(fù)雜度分析

在優(yōu)化過程中，最優(yōu)化算法無一例外地需要在每一次迭代中，對適應(yīng)度函數(shù)進行與個體數(shù)量同等次數(shù)的計算，以得到所在位置參數(shù)下的適應(yīng)度大小，因此不同最優(yōu)化算法的時間復(fù)雜度如表1所示。

其中最大似然估計中的D為待估計參數(shù)的總數(shù)，u j與lj分別是第j個參數(shù)的搜索范圍上界與下界，p j為第j個 參數(shù)的遍歷精度；CGA,CABC,CGABC分別為GA算法、ABC算法、GABC算法的個體數(shù)量，NGA,NABC,NGABC分別為GA算法，ABC算法，GABC算法的最大迭代次數(shù)，Tfit為適應(yīng)度函數(shù)的時間復(fù)雜度。

由表1可以看出，適應(yīng)度函數(shù)的復(fù)雜度是最優(yōu)化算法整體復(fù)雜度的主要組成部分，因此適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計需要盡可能簡單，使得整體算法的時間復(fù)雜度最小。

5.3 適應(yīng)度函數(shù)的優(yōu)化

在最優(yōu)化算法中，優(yōu)化過程正是對解成員進行“優(yōu)勝劣汰”的過程，而解成員的好壞由它的適應(yīng)度函數(shù)值所決定，因此適應(yīng)度函數(shù)的選取將直接決定算法的收斂速度以及能否尋得最優(yōu)解。

表1 不同方法的時間復(fù)雜度

對于HFM信號的參數(shù)估計問題，傳統(tǒng)的適應(yīng)度函數(shù)為壓縮概率函數(shù)[14]，即蜜源個體mi的適應(yīng)度fiti(m i)為

然而若采用式(24)作為適應(yīng)度函數(shù)，每次計算都將涉及矩陣取逆的高復(fù)雜度操作；并且由于參數(shù)(k i,f0,i)在優(yōu)化過程中是隨機選取，因此存在SH(k i,f0,i)S(k i,f0,i)矩陣不可逆的可能性；此外在部分最優(yōu)化算法(如ABC算法、GABC算法)中，涉及同時對多個個體進行適應(yīng)度計算，而式(24)的每次計算只能得到單個個體的適應(yīng)度，缺乏并行計算能力。

使用式(25)作為最優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)計算公式，不僅避免了式(24)復(fù)雜的矩陣求逆運算，以及存在矩陣不可逆而導(dǎo)致的精度下降，且避免通過低效率的循環(huán)去計算多個個體[m1m2···m C]的適應(yīng)度值，從而提升了最優(yōu)算法的整體收斂速度。

6 實驗驗證

實驗1：適應(yīng)度函數(shù)的有效性驗證

由于最優(yōu)化算法是通過不斷比較適應(yīng)度函數(shù)值的大小進行優(yōu)化搜索，因此適應(yīng)度函數(shù)的有效性需要首先得到驗證，即通過對適應(yīng)度函數(shù)進行優(yōu)化搜索能得到正確的參數(shù)估計值。圖1分別為適應(yīng)度函數(shù)式(24)與優(yōu)化后的適應(yīng)度函數(shù)式(25)在不同參數(shù)組合下的2維遍歷，其中HFM信號的初始頻率f0為1.5 MHz，調(diào)頻率k為–0.077802。

如圖1(a)所示，當(dāng)適應(yīng)度函數(shù)取得最大值時，橫縱坐標(biāo)所代表的參數(shù)估計值與初始設(shè)定值相同。其中縱軸為待估計HFM信號的初始頻率，橫軸表示待估計HFM信號的調(diào)頻率。而相比于圖1(a)，圖1(b)雖在部分有一定的隆起，但在該適應(yīng)度函數(shù)取得最大值時，橫縱坐標(biāo)所代表的參數(shù)估計值也與初始設(shè)定值相同，滿足作為適應(yīng)度函數(shù)的條件。

實驗2：估計值的均方誤差與Cramer-Rao下界對比

本文通過1000次蒙特卡洛仿真試驗，對比了多種參數(shù)估計方法在HFM信號參數(shù)估計問題中的性能。在優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置如下：在GA算法中，令種群大小為40，最大遺傳代數(shù)為1000，個體長度為20，代溝為0.95，交叉概率為0.7，變異概率為0.01；在ABC算法中，蜂群群落大小為60，最大迭代次數(shù)為1000；在GABC算法中，蜂群群落大小為80，最大迭代次數(shù)為100；在最大似然估計法中，f0的遍歷精度為50 Hz;k 的遍歷精度為 1 ×10?5。

圖1 不同適應(yīng)度函數(shù)的2維遍歷結(jié)果

圖2 不同方法下估計參數(shù)的均方誤差與Cramer-Rao下界

圖2為在–10～10 d B信噪比內(nèi)多種參數(shù)估計方法的性能比較。如圖2所示，5種估計方法的均方誤差都隨著信噪比的增加，總體呈現(xiàn)下降的趨勢：其中最大似然估計的性能最優(yōu)，均方誤差可隨著搜索精度的提升而逼近Cramer-Rao下界；對于GA算法，在信噪比達到0 d B以上時，受信噪比的影響將減小，均方誤差的變化將趨于平緩；與ABC算法而言，由于問題針對性較強，因此其估計結(jié)果的均方誤差小于GA算法，但仍與最大似然估計的性能有明顯差距；相比之下，GABC算法由于引入了全局最優(yōu)引導(dǎo)項，因此其估計結(jié)果的精度更高，均方誤差能隨著信噪比的增加而逼近Cramer-Rao下界。

另外從圖中可知，標(biāo)準(zhǔn)GABC算法相比于采用優(yōu)化后的適應(yīng)度函數(shù)式(25)的GABC算法，前者存在矩陣不可逆的可能性，因此兩曲線在圖中沒有完全重合，但總體性能相差不大；在信噪比為4 dB以上時，后者的均方誤差更接近于最大似然估計的性能。而在信噪比為10 d B時，對于參數(shù)k和f0，與最大似然估計的均方誤差相比，前者相差分別為4.44 d B與3.22 d B，而后者分別相差2.09 d B與0.68 d B，后者更接近最大似然估計的性能。在水下應(yīng)用中由于噪聲水平不高，信噪比大致保持在5 dB以上，因此文中所述方法能被有效地用于HFM信號的參數(shù)估計問題中。

實驗3：收斂速度對比

在完成有效性的驗證后，下面對比GABC算法、與采用優(yōu)化后的適應(yīng)度函數(shù)式(25)的GABC算法在HFM信號參數(shù)估計問題中的收斂速度以及算法耗時，其中兩種GABC算法的參數(shù)設(shè)置均相同，蜂群群落大小為20，最大迭代次數(shù)為80。

如圖3所示，GABC算法和采用優(yōu)化后的適應(yīng)度函數(shù)式(25)的GABC算法均能在50次迭代內(nèi)尋得最優(yōu)值，雖然后者收斂速度稍快，但總體相差不大。因此可以預(yù)見的是，在相同的迭代次數(shù)內(nèi)，適應(yīng)度函數(shù)的時間復(fù)雜度越低，GABC算法的實現(xiàn)效率就越高。

圖3 基于不同適應(yīng)度函數(shù)的GABC算法收斂速度

因此本文通過Matlab中的探查器(Profile)可得算法的時間消耗，即最大似然估計的時間消耗為13738.8 s，GABC算法的時間消耗為1.785 s，適應(yīng)度函數(shù)優(yōu)化后的GABC算法的時間消耗為0.715 s。可見針對HFM信號的參數(shù)估計問題，采用本文提出的適應(yīng)度函數(shù)式(25)的GABC算法在具有較高精準(zhǔn)度的同時，也具有較快的收斂速度。

7 總結(jié)

本文首先推導(dǎo)出HFM信號參數(shù)估計的Cramer-Rao下界，作為本文參數(shù)估計性能的評估標(biāo)準(zhǔn)。然后基于高斯隨機噪聲，構(gòu)建了HFM信號的似然函數(shù)，并結(jié)合數(shù)據(jù)向量化的特點提出一種改進的適應(yīng)度函數(shù)，最后利用GABC算法對該適應(yīng)度函數(shù)進行極值尋優(yōu)，從而實現(xiàn)HFM信號的參數(shù)估計；通過蒙特卡洛仿真證明了本方法在信噪比為3 d B以上時，HFM信號的參數(shù)估計結(jié)果的均方誤差更逼近Cramer-Rao下界，且運算量約是原來的1/3。