例談解析幾何中的非對(duì)稱問題

摘 要：文章探討了解析幾何中的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)問題的處理策略，所謂非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，是指結(jié)構(gòu)中的x1，x2的系數(shù)或次數(shù)不一致，無(wú)法直接運(yùn)用韋達(dá)定理求解.

關(guān)鍵詞：非對(duì)稱;齊次化;定點(diǎn)定值

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0060-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：李文東（1981-），男，湖北省咸寧人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

解析幾何問題主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，其中尤其對(duì)于運(yùn)算求解能力要求較高，因此怎樣計(jì)算以及怎樣優(yōu)化解析幾何的運(yùn)算是一個(gè)很重要的問題，下面我們談?wù)劷馕鰩缀沃蟹菍?duì)稱問題的處理策略.

（2019年廣東省一模理科數(shù)學(xué)第20題）已知點(diǎn)

1，2，22，-3都在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點(diǎn)M（0，1）的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)P，Q（異于頂點(diǎn)），記橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A1，A2，若直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S，證明：點(diǎn)S恒在直線y=4上.

解 （1）橢圓C的方程為y24+x22=1;

（2）由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，Px1，y1，Qx2，y2，由y=kx+1y24+x22=1，消去y得2+k2x2+2kx-3=0，且x1+x2=-2k2+k2，x1x2=-32+k2.

由題意不妨設(shè)A1（0，2），A2（0，-2），則直線A1P的方程為y-2=y1-2x1x，直線A2Q的方程為y+2=y2+2x2x ，聯(lián)立y-2=y1-2x1x，y+2=y2+2x2x，

結(jié)合目標(biāo)，消去x得：y2+2x1y-2=y1-2x2y+2，此表達(dá)式中左右結(jié)構(gòu)不對(duì)稱，想要直接運(yùn)用韋達(dá)定理比較困難.對(duì)此問題，我們有以下求解策略：

一、利用韋達(dá)定理進(jìn)行齊次化

進(jìn)一步將y2+2x1y-2=y1-2x2y+2整理得：3x1+x2y=4kx1x2+6x1-2x2，結(jié)合韋達(dá)定理知2kx1x2=3x1+x2，代入前式可得：3x1+x2y=4kx1x2+6x1-2x2=6x1+x2+6x1-2x2=43x1+x2，依題意：3x1+x2≠0，否則此時(shí)A1P∥A2Q，故得y=4，即點(diǎn)S恒在直線y=4上.

評(píng)注 本題的目標(biāo)很明確，就是要證明交點(diǎn)S的縱坐標(biāo)為定值，因此首先聯(lián)立直線A1P和A2Q的方程，消去x，得到3x1+x2y=4kx1x2+6x1-2x2，但是此式中的x1，x2不對(duì)稱，無(wú)法直接運(yùn)用韋達(dá)定理.這里的想法是利用韋達(dá)定理得到2kx1x2=3x1+x2，其本質(zhì)是將二次表達(dá)式x1x2化為一次表達(dá)式x1+x2，從而實(shí)現(xiàn)齊次化的目的.

二、利用韋達(dá)定理進(jìn)行消元

接法一有：3x1+x2y=4kx1x2+6x1-2x2，由于x1+x2=-2k2+k2，x1x2=-32+k2，故3x1+x2y=-12k2+k2+6x1-2x2，將x2=-2k2+k2-x1代入可得

2x1-2k2+k2y=8x1-8k2+k2，故得y=4，即點(diǎn)S恒在直線y=4上.

評(píng)注 這里的想法是先將已有的x1x2=-32+k2代入，然后再利用兩根之和x2=-2k2+k2-x1進(jìn)行化簡(jiǎn)，其本質(zhì)是消元，這也是我們計(jì)算化簡(jiǎn)的基本原則！

三、利用橢圓方程實(shí)現(xiàn)對(duì)稱化

將y2+2x1y-2=y1-2x2y+2整理得：y+2y-2=y2+2x1y1-2x2，

因?yàn)閥214+x212=1，所以x212=（2-y1）（2+y1）4，故x1y1-2=-2+y12x1.

于是y+2y-2=y2+2x1y1-2x2=-y1+2y2+22x1x2=-kx1+3kx2+32x1x2=-k2x1x2+3kx1+x2+92x1x2將韋達(dá)定理代入得：y+2y-2=--3k22+k2-6k22+k2+9-62+k2=3，從而y=4，即點(diǎn)S恒在直線y=4上.

評(píng)注 考慮到式中y+2y-2=y2+2x1y1-2x2變量不對(duì)稱，無(wú)法直接運(yùn)用韋達(dá)定理，因?yàn)槔们€進(jìn)行代換得到x1y1-2=-2+y12x1，化為對(duì)稱y+2y-2=-y1+2y2+22x1x2實(shí)現(xiàn)可以運(yùn)用韋達(dá)理的目的，這是一個(gè)很重要的技巧，它在很多考題中都有出現(xiàn)，值得我們關(guān)注！

下面我們給出這類問題的幾個(gè)變式題.

圖1

變式1 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為12，過點(diǎn)P（0，1）的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l∥x軸時(shí)，|AB|=463，

（1）求橢圓的方程;

（2）當(dāng)|AP|=2|PB|，如圖1，求直線l的方程.

解 （1）x24+y23=1.

（2）由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+1， Ax1，y1，Bx2，y2，由y=kx+1x24+y23=1，消去y得3+4k2x2+8kx-8=0，且x1+x2=-8k3+4k2，x1x2=-83+4k2.由|AP|=2|PB|，可得AP=2PB，有x1=-2x2.首先將它與x1+x2=-8k3+4k2聯(lián)立可得x2=8k3+4k2，x1=-16k3+4k2， 代入x1x2=-83+4k2，得-128k23+4k22=-83+4k2，解得k=±12， 直線l的方程為y=±12x+1.

評(píng)注 一般若x1=λx2，這也是一個(gè)非對(duì)稱問題，我們可以采取如下策略：

（1）將x1=λx2與韋達(dá)定理中的x1+x2聯(lián)立求出x1，x2，然后代入x1x2求解;

（2）構(gòu)造韋達(dá)定理的表達(dá)式x1x2+x2x1=x1+x22-2x1x2x1x2.

變式2 直線y=kx+m與橢圓x2+y24=1交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交與點(diǎn)P，且AP=3PB，求m的取值范圍.

解 設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，由y=kx+mx2+y24=1，消去y得4+k2x2+2mkx+m2-4=0，Δ=k2-m2+4>0，且x1+x2=-2mk4+k2，x1x2=m2-44+k2.由AP=3PB，有x1=-3x2.

故有3x1+x22+4x1x2=0，得 12m2k24+k22+4（m2-4）4+k2=0，即k2=4-m2m2-1，因?yàn)棣?k2-m2+4>0，故4-m2m2-1-m2+4>0，解得m∈（-2，-1）∪（1，2）.

評(píng)注 這里將轉(zhuǎn)化x1=-3x2為3x1+x22+4x1x2=0，便于利用韋達(dá)定理.

變式2 設(shè)A，B是橢圓x29+y2=1的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)M32，0作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在x軸的上方，設(shè)k1=kBD，k2=kAC，證明：k1k2為定值.

解 設(shè)Cx1，y1，Dx2，y2，直線CD的方程為：y=

kx-32，k1k2=y2x1+3y1x2-3，因?yàn)閤219+y21=1，所以9y21=（3-x1）（3+x1），故x1+3y1=9y13-x1.于是k1k2=y2x1+3y1x2-3=-9y1y2x1-3x2-3=

-9k2x1x2-32x1+x2+94x1x2-3x1+x2+9，聯(lián)立y=kx-32x29+y2=1，消去y得：36k2+4x2-108k2x+81k2-36=0，于是x1+x2=108k236k2+4，x1x2=81k2-3636k2+4.

故k1k2=-9k2x1x2-32x1+x2+94x1x2-3x1+x2+9

=-9k281k2-3636k2+4-32·108k236k2+4+9481k2-3636k2+4-3·108k236k2+4+9=3.

點(diǎn)評(píng) 一般地，設(shè)A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)Mt，0-a

參考文獻(xiàn)：

[1]劉紫陽(yáng).解析幾何中的非對(duì)稱問題的處理策略[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2019（11）：16-18..

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