仿生氣動肌纖維靜態(tài)特性建模與實驗研究

雷靜桃, 張悅文, 戴臻豪, 徐子力

(上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院， 上海 200444)

氣動人工肌肉因其與生物肌肉具有相似的柔順性和收縮特性，被廣泛應(yīng)用于可穿戴機器人和仿生機器人.目前，德國FESTO 公司的DMSP/MAS型氣動肌肉及日本Bridgestone公司的McKibben型氣動肌肉是較為典型的氣動人工肌肉，這類氣動人工肌肉的直徑范圍為10～40 mm，兩端是有一定長度的剛性防漏氣接頭元件[1]，主要用于工業(yè)柔性機器人、外骨骼機器人、醫(yī)用康復(fù)機器人及中型仿生機器人驅(qū)動系統(tǒng).Kurumaya等[2]研制出一種結(jié)構(gòu)更緊湊且輕量化的細徑氣動肌纖維(PMF)，由彈性橡膠內(nèi)管和外編織套管構(gòu)成.當向氣動肌纖維內(nèi)通入一定氣體時，橡膠內(nèi)管在氣壓的作用下發(fā)生變形，引起外編織套管的徑向膨脹與軸向縮短，進而使得氣動肌纖維收縮并產(chǎn)生收縮力.氣動肌纖維具有柔性好、功耗小、響應(yīng)迅速、驅(qū)動能量密度高等特點，驅(qū)動力可達27～29 N[3].氣動肌纖維束(PMFB)可模仿二頭肌、三角肌、扁平肌等，實現(xiàn)類生物肌肉的形狀或功能[4]，在微小型仿生機器人、微小型醫(yī)用機器人、精密醫(yī)療等領(lǐng)域有很好的應(yīng)用前景.

氣動肌纖維的靜態(tài)特性與相應(yīng)的參數(shù)建模方法研究是實現(xiàn)其控制與應(yīng)用的基礎(chǔ).國內(nèi)外將氣動肌纖維的靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型劃分為幾何模型、現(xiàn)象模型、實驗?zāi)Ｐ蚚5]三大類.2011年，比利時魯汶大學(xué)將氣動肌纖維用于驅(qū)動微型手術(shù)器械，并基于Colbrunn現(xiàn)象模型，考慮了橡膠內(nèi)管的彈性變形以及橡膠內(nèi)管與外編織套管之間的摩擦力，引入最小驅(qū)動力、長度損耗、氣壓損耗、橡膠內(nèi)管彈性應(yīng)變等附加參數(shù)，建立氣動肌纖維靜態(tài)特性改進模型[6].該模型的計算值與仿真值、實際測量值均具有良好的一致性.由于長度損耗、氣壓損耗等附加參數(shù)的具體數(shù)值不易確定，該模型難以具體應(yīng)用.2014年，日本東京工業(yè)大學(xué)將氣動肌纖維用于驅(qū)動肌肉骨骼機器人[4]及仿生六足機器人[7]，氣動肌纖維的靜態(tài)特性采用Schulte幾何模型[8].由于沒有考慮橡膠內(nèi)管的初始硬度和外編織套管與橡膠內(nèi)管間的摩擦力，由Schulte模型獲得的理論值與實際測量值相差較大，Schulte模型的最大收縮力約為7 N，而實際測量值可達13 N左右[2].2016年，日本東京工業(yè)大學(xué)采用Kagawa實驗?zāi)Ｐ蚚9]計算氣動肌纖維靜態(tài)特性，并根據(jù)測量收縮力和收縮率的實驗結(jié)果，通過最小二乘法擬合確定實驗?zāi)Ｐ椭械拇ㄏ禂?shù).Kagawa實驗?zāi)Ｐ偷挠嬎阒蹬c實際測量值吻合得較好.2016年，為確定氣動肌纖維束的收縮力，Kurumaya等[2]提出一種菱形模型，即氣動肌纖維束充氣向外呈放射狀擴張，假設(shè)肌纖維束在二維平面上呈菱形，且氣動肌纖維排列無間隙.由該菱形模型計算的收縮力及收縮率與氣動肌纖維束的實際測量值較為一致.但菱形模型的收縮力會逐漸大于實際測量值，菱形模型的收縮率會逐漸小于實際測量值，且偏離程度會隨著氣壓的增大而增大.總結(jié)目前國內(nèi)外氣動肌纖維靜態(tài)特性的數(shù)學(xué)建模，由于忽略了端部變形、橡膠內(nèi)管的初始硬度及外編織套管與橡膠內(nèi)管間的摩擦作用，簡單的幾何模型和現(xiàn)象模型難以準確描述氣動肌纖維的靜態(tài)特性.基于幾何模型或現(xiàn)象模型的改進模型雖能提高模型精度，但因引入了一些難以量化的參數(shù)增加了模型的復(fù)雜程度.實驗?zāi)Ｐ屠脤嶒灁?shù)據(jù)擬合氣動肌纖維的收縮力、收縮率與其內(nèi)部氣壓之間的函數(shù)關(guān)系，可建立精度較高、表達式較簡單的數(shù)學(xué)模型.為了更好地描述氣動肌纖維的靜態(tài)特性且便于控制器的設(shè)計與編程，建立氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型應(yīng)基于工程實用化，在靜態(tài)特性的精確程度與模型表達式的復(fù)雜程度之間找到一個合理的平衡點.

本文綜合考慮氣動肌纖維的端部變形、外編織套管纖維間的摩擦力、外套管與橡膠內(nèi)管間的摩擦力、死區(qū)氣壓等對其靜態(tài)特性的影響，開展氣動肌纖維靜態(tài)特性建模研究，提出一種氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型.該模型結(jié)合了幾何模型與實驗?zāi)Ｐ偷膬?yōu)點，一方面基于幾何約束，利用參數(shù)間的幾何關(guān)系建立模型，另一方面利用實驗數(shù)據(jù)擬合待定系數(shù)，解決氣動肌纖維某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)值難以準確獲取的問題.開展氣動肌纖維等長實驗、等張實驗和等壓實驗，對比分析不同規(guī)格參數(shù)的氣動肌纖維的靜態(tài)特性，結(jié)合實驗數(shù)據(jù)辨識出符合實際情況的氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型，并通過與實際測量值的對比驗證所提模型的合理性.

1 氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型

所制作的氣動肌纖維實物如圖1所示，其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示.

當氣動肌纖維初始充氣時，部分氣體產(chǎn)生的壓力用于抵消橡膠內(nèi)管的初始硬度以及外編織套管與橡膠內(nèi)管之間的間隙，氣動肌纖維將不會收縮，也不會產(chǎn)生收縮力，用于抵消的這部分氣壓稱為死區(qū)氣壓pd[10](結(jié)合實驗結(jié)果，此處取pd=0.03 MPa)，氣動肌纖維的有效氣壓pe為

圖1 PMF實物圖Fig.1 Picture of PMF

表1 PMF的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of PMF

pe=p-pd

(1)

式中：p為輸入氣壓.

氣動肌纖維的充氣狀態(tài)及幾何參數(shù)關(guān)系分別如圖2和3所示.其中；α0，r0，l0分別為氣動肌纖維的初始編織角、初始半徑、初始長度；α，r，l分別為氣動肌纖維的工作編織角、工作半徑、工作長度；N為外編織套管編織纖維纏繞圈數(shù)；lb為外編織套管編織纖維長度，由于編織纖維無彈性，lb保持恒定不變.計算氣動肌肉或氣動肌纖維的收縮力時，工作半徑r通常取肌肉或肌纖維外編織套管的半徑.由于McKibben型氣動肌肉的管壁較厚，通常達到3 mm以上，所以肌肉壁厚對其收縮力的影響不能忽略，國內(nèi)外關(guān)于氣動肌肉的建模中也考慮了壁厚的影響[11].本文所分析的氣動肌纖維的橡膠內(nèi)管壁厚初始值僅為0.36 mm，編織纖維直徑僅為0.16 mm，當輸入氣壓突破死區(qū)氣壓時，橡膠內(nèi)管的壁厚因肌纖維膨脹減小至不到0.10 mm.進行收縮力計算時，壁厚對收縮力的影響較小，故本文不考慮肌纖維壁厚對收縮力的影響.

圖2 PMF的充氣狀態(tài)示意圖Fig.2 Diagram of inflation status of PMF

圖3 PMF的幾何參數(shù)關(guān)系示意圖Fig.3 Diagram of geometric parameters of PMF

當p>pd時，氣動肌纖維的有效輸入功Win可表示為

dWin=pedV

(2)

式中：V為氣動肌纖維的理想膨脹體積.理想狀態(tài)下，氣動肌纖維的輸出功Wout可表示為

dWout=-Fdl

(3)

式中：F為氣動肌纖維的收縮力.由能量守恒定律建立氣動肌纖維理想靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型[12-13]，則有：

由幾何關(guān)系計算可得：

(6)

由于端部約束，氣動肌纖維的實際膨脹體積小于理想膨脹體積，導(dǎo)致收縮力小于理想值.放大端部約束部分，橡膠內(nèi)管膨脹與外編織套管圓柱體部分相切，如圖4所示.

圖4 PMF端部變形示意圖Fig.4 Diagram of end deformation of PMF

圖5 端部變形幾何關(guān)系示意圖Fig.5 Diagram of geometry of end deformation

氣動肌纖維端部變形幾何關(guān)系如圖5所示.其中：rs為氣動肌纖維實際膨脹情況下橡膠內(nèi)管與外編織套管相切圓弧的半徑，與其他幾何參數(shù)的關(guān)系可表示為

rssinα=(r-r0)/(2sinα)

(7)

由氣動肌纖維端部變形的幾何關(guān)系，可計算理想圓柱形端部體積VL(兩個端部)，則有

(8)

實際端部體積Vs可表示為

(9)

由式(5)、(7)～(9)可得

(10)

(11)

氣動肌纖維充氣過程中所產(chǎn)生的摩擦力主要包括外編織套管纖維間的摩擦力以及外套管與橡膠內(nèi)管間的摩擦力.當輸入氣壓較小時，橡膠內(nèi)管尚未完全膨脹，與外套管間的接觸面積較少，此時摩擦力以外編織套管纖維間的摩擦力為主.隨著氣壓的增大，外套管工作編織角逐漸增大，纖維間的摩擦力逐漸減小，該特性與e指數(shù)函數(shù)的線性相似[14]，引入修正系數(shù)qpe，當輸入氣壓達到一定程度時(結(jié)合實驗結(jié)果，以有效氣壓0.20 MPa為界)，橡膠內(nèi)管完全膨脹，外套管工作編織角增大，纖維間接觸較少，此時摩擦力以外套管與橡膠內(nèi)管間的摩擦力為主，引入修正系數(shù)kε.

式中：aε，bε，cε為待定系數(shù)，可通過最小二乘法擬合確定.

(14)

式中：a1～a3，b1～b3，c1～c3為待定系數(shù)，可通過最小二乘法擬合確定.

綜上，考慮氣動肌纖維的端部變形，外編織套管纖維間的摩擦力，外套管與橡膠內(nèi)管間的摩擦力以及死區(qū)氣壓，氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型為

F(pe,ε)=

(15)

pe<0.20 MPa

F(pe,ε)=

(16)

pe≥0.20 MPa

2 氣動肌纖維靜態(tài)特性實驗

2.1 氣動肌纖維制作

將單根氣動肌纖維及氣動肌纖維束的一端固定在帶有進氣口的密封帽內(nèi)，另一端通過繩結(jié)密封，兩端均粘結(jié)由Dyneema纖維制的肌腱，制作單根肌纖維(SPMF)及肌纖維束如圖6所示，其規(guī)格參數(shù)如表2所示，其中n為肌纖維數(shù)量.

圖6 SPMF與PMFB示意圖Fig.6 Diagram of SPMF and PMFB

表2 SPMF與PMFB規(guī)格參數(shù)Tab.2 Specifications of SPMF and PMFB

2.2 實驗系統(tǒng)

實驗系統(tǒng)如圖7所示，實驗平臺如圖8所示.所使用的硬件主要有單根肌纖維及肌纖維束、高精密x軸位移臺、運動控制器、力傳感器、比例閥、空氣壓縮機及PC上位機.由運動控制器控制位移臺沿軸向移動，改變氣動肌纖維的工作長度進而間接改變氣動肌纖維的收縮率，由電氣比例閥控制氣動肌纖維的輸入氣壓，由力傳感器測量氣動肌纖維的收縮力.利用該實驗平臺，開展氣動肌纖維靜態(tài)特性等長實驗、等張實驗和等壓實驗.

圖7 實驗系統(tǒng)圖Fig.7 Diagram of experimental system

圖8 實驗平臺Fig.8 Experimental platform

2.3 等長實驗

保持單根肌纖維的收縮率為0，即保持單根肌纖維的初始長度不變，輸入氣壓以0～0.50 MPa遞增，分別測量初始長度為120、200、300 mm時，F(xiàn)隨p的變化曲線，如圖9所示.

由于橡膠內(nèi)管的初始硬度及外編織套管與橡膠內(nèi)管之間的摩擦，氣動肌纖維和生物肌肉一樣具有一定的遲滯特性[15]， 經(jīng)過多次實驗，氣動肌纖維的遲滯特性趨于穩(wěn)定.

保持肌纖維束的收縮率為0，即保持肌纖維束的初始長度不變，輸入氣壓以0～0.35 MPa遞增，測量初始長度為120 mm的肌纖維束(肌纖維數(shù)分別為6、8、10)的收縮力FB隨p的變化曲線，如圖10所示.

圖9 不同初始長度下，SPMF的F隨p的變化Fig.9 F of SPMF versus p at different initial lengths

圖10 不同肌纖維數(shù)下，F(xiàn)B隨p的變化Fig.10 FB versus p at different numbers of muscle fibers

由圖9～10可以看出，氣動肌纖維束的收縮力不是簡單的線性疊加.由于氣動肌纖維的徑向膨脹受限以及氣動肌纖維外套管間的摩擦力，氣動肌纖維束的收縮力除了與氣壓、收縮率有關(guān)之外，還與肌纖維數(shù)存在一定的非線性關(guān)系.

2.4 等張實驗

保持單根肌纖維與肌纖維束的收縮力為0，輸入氣壓以0～0.30 MPa遞增，分別測量初始長度為120 mm的單根肌纖維、初始長度為120 mm的肌纖維數(shù)分別為6、8、10的肌纖維束的ε隨p的變化曲線，如圖11所示.

圖11 不同肌纖維數(shù)的PMFB及SPMF的ε隨p的變化Fig.11 ε of different numbers of PMFB and SPMF versus p

由圖11可以看出，氣動肌纖維間的摩擦導(dǎo)致橡膠內(nèi)管的溫度升高、硬度降低，肌纖維束的收縮率在一定氣壓范圍內(nèi)略大于單根肌纖維的收縮率，但氣動肌纖維收縮到一定程度后就不能再收縮了，最大收縮率取決于其結(jié)構(gòu)參數(shù)，如外套管的初始編織角、橡膠內(nèi)管的彈性模量等，實驗用氣動肌纖維的最大收縮率約為29%.

2.5 等壓實驗

保持輸入氣壓不變，分別測得不同氣壓下的單根肌纖維及肌纖維束的等壓特性曲線，記錄大量實驗數(shù)據(jù)，用于辨識氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型.電氣比例閥控制輸入氣壓，運動控制器控制高精密位移臺實現(xiàn)氣動肌纖維的拉伸與收縮，以間接改變氣動肌纖維的收縮率.設(shè)定氣動肌纖維的勻速拉伸/收縮速度為0.2 mm/s，即每5 s拉伸/收縮1 mm，待收縮力保持穩(wěn)定后采集氣動肌纖維的收縮力.

初始長度為120 mm的單根肌纖維，輸入氣壓p的取值范圍為0.05～0.30 MPa，氣壓變化增量Δp為0.05 MPa，實驗測得的6組等壓特性曲線如圖12所示.

圖12 初始長度為120 mm的SPMF等壓特性曲線Fig.12 Isobaric characteristic curves of SPMF at an initial length of 120 mm

實驗中發(fā)現(xiàn)，由于氣動肌纖維的阻尼特性，當以一定的速度對氣動肌纖維進行充氣時，氣動肌纖維會產(chǎn)生一定的附加力，穩(wěn)定一段時間后附加力消失.氣動肌纖維的阻尼特性在實際應(yīng)用中能起到吸收能量和緩沖減震的作用.

初始長度為120 mm，肌纖維數(shù)為6、8、10的肌纖維束，p的取值范圍為0.05～0.30 MPa，Δp為0.05 MPa，實驗測得的18組等壓特性曲線如圖13～15所示.

圖13 120 mm×6 PMFB的等壓特性曲線Fig.13 Isobaric characteristic curves of 120 mm×6 PMFB

圖14 120 mm×8 PMFB的等壓特性曲線Fig.14 Isobaric characteristic curves of 120 mm×8 PMFB

圖15 120 mm×10 PMFB的等壓特性曲線Fig.15 Isobaric characteristic curves of 120 mm×10 PMFB

由圖13～15可以看出，每組等壓曲線中氣動肌纖維束的收縮力隨收縮率的增大而減小，近似于彈簧的剛度特性.然而彈簧的剛度通常是恒定的，取決于其材料特性和幾何結(jié)構(gòu)[16]，而氣動肌纖維束的剛度是一個可變參數(shù)，除了上述因素還與pe和n有關(guān).在氣動肌纖維束的材料、幾何結(jié)構(gòu)確定的情況下，其可變剛度特性可以描述為

(17)

3 氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型識別

3.1 氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型識別

氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型如式(15)～(16)所示.當pe<0.20 MPa時，采用MATLAB數(shù)據(jù)擬合工具箱cftool對每組數(shù)千個等壓實驗數(shù)據(jù)進行擬合，最終確定待定系數(shù)aε=4.716，bε=-2.728，cε=-0.779.

當氣動肌纖維內(nèi)的pe≥0.20 MPa時，首先對不同氣壓的等壓曲線分別進行擬合，以得到k(ε)與ε的映射關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，再對α(pe)，β(pe)，γ(pe)的相關(guān)系數(shù)進行擬合，擬合結(jié)果為a1=5.547，b1=-2.470，c1=2 329，a2=-3.971，b2=1.764，c2=-0.198，a3=-5.548，b3=2.471，c3=-2 329，進而獲得完整的氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型.

3.2 氣動肌纖維束靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型識別

基于上述分析，氣動肌纖維束的收縮力FB除了與pe和ε相關(guān)之外，還與n成非線性關(guān)系.將相同氣壓(0.30 MPa)、相同初始長度(120 mm)，肌纖維數(shù)分別為6、8、10的肌纖維束的等壓特性曲線進行對比，如圖16所示.

圖16 在初始長度和氣壓相同的情況下，不同肌纖維數(shù)的PMFB的等壓特性曲線Fig.16 Isobaric characteristic curves of PMFB with different numbers of muscle fibers at the same air pressure and initial length

根據(jù)FB與n的非線性關(guān)系，提出一種氣動肌纖維束靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型，可表示為

FB(n)=τF2+φF+ω

(18)

τ=d1n2+e1n+f1

φ=d2n2+e2n+f2

ω=d3n2+e3n+f3

式中：τ，φ，ω，d1～d3，e1～e3，f1～f3均為多項式待定系數(shù)，采用最小二乘法可確定其具體數(shù)值.此處取值如下：

p=0.30 MPa，pe=0.27 MPa，F(xiàn)=F(0.27,ε)

采用MATLAB數(shù)據(jù)擬合工具箱cftool對每組數(shù)千個氣動肌纖維束等壓實驗數(shù)據(jù)進行擬合，擬合過程分為兩個步驟.

(1) 對不同n的等壓曲線分別進行擬合，獲得FB與F的映射關(guān)系為FB=FB(F),擬合結(jié)果如表3所示.

(2) 在(1)的基礎(chǔ)上，針對τ，φ，ω的相關(guān)系數(shù)對n進行擬合，擬合結(jié)果如表4所示.

表3 不同肌纖維數(shù)下的多項式系數(shù)擬合結(jié)果

表4 τ，φ，ω的相關(guān)系數(shù)擬合結(jié)果

因此，氣動肌纖維束的靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型可表示為

FB(n)=

(0.009 2n2-0.185 4n+0.639 5)F2+

(-0.191n2+4.418n-12.54)F+

(-0.273 1n2+4.651n-17.49)

(19)

4 模型計算值與實驗值對比

將氣動肌纖維模型的計算值與目前國內(nèi)外大多采用的Schulte模型的計算值、等壓實驗測量值進行對比，如圖17所示.

圖17 PMF模型計算值與Schulte模型計算值及等壓實驗測量值對比Fig.17 Comparison of calculated values of PFM model and Schulte model and measured values of isobaric experiment

由圖17可知，與Schulte經(jīng)典模型對比，所建立的氣動肌纖維模型綜合考慮氣動肌纖維的端部變形、外編織套管纖維間的摩擦力、外套管與橡膠內(nèi)管間的摩擦力以及死區(qū)氣壓等因素對氣動肌纖維靜態(tài)特性的影響，可看出該模型計算值與實驗值具有較好的一致性.

將輸入氣壓為0.30 MPa，初始長度為120 mm，肌纖維數(shù)分別為6、8、10的氣動肌纖維束模型與實驗值對比，如圖18所示.由圖18可知，兩者吻合度較高.

圖18 初始長度相同，肌纖維數(shù)不同的PMFB模型計算值與實驗測量值對比Fig.18 Comparison of calculated values and measured values of PMFB model at different numbers of muscle fibers and the same initial length

5 結(jié)語

本文綜合考慮氣動肌纖維的端部變形、外編織套管纖維間的摩擦力、外套管與橡膠內(nèi)管間的摩擦力以及死區(qū)氣壓等對氣動肌纖維靜態(tài)特性的影響，提出的氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型彌補了幾何模型、實驗?zāi)Ｐ偷牟蛔?一方面基于幾何約束，利用參數(shù)間的幾何關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，另一方面利用實驗數(shù)據(jù)擬合待定系數(shù)，解決了氣動肌纖維某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)值難以準確獲取的問題.開展氣動肌纖維靜態(tài)特性等長實驗、等張實驗、等壓實驗研究，對比分析不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的氣動肌纖維的靜態(tài)特性.由大量實驗數(shù)據(jù)辨識獲得符合實際情況的氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型，與實驗值對比驗證了該氣動肌纖維靜態(tài)特性數(shù)學(xué)模型的合理性.