基于偏振光的干涉測長法

胡婷婷，杜玉嫻，白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

利用光的干涉測量微小位移或光程差是一類重要的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn). 常見的實(shí)驗(yàn)包括利用邁克耳孫干涉儀測量空氣折射率、薄膜折射率或厚度、金屬彈性模量/線脹系數(shù)、材料的電/磁致伸長系數(shù)等[1-7]. 實(shí)驗(yàn)中通常是通過數(shù)條紋的數(shù)量來確定動鏡位移或其他因素導(dǎo)致的光程差. 數(shù)條紋雖然操作簡便，但也存在一些問題，比如：

1)只適合位移緩慢變化的情況. 如果位移變化過快，人眼會看不清條紋的結(jié)構(gòu)；

2)只適合位移(光程差)單方向運(yùn)動的情況. 如果位移方向不固定，條紋既有涌出也有陷入，人工計(jì)數(shù)將變得十分困難；

3)讀數(shù)限定為半波長的整數(shù)倍. 為保證測量精度，一般需要幾十甚至上百個(gè)條紋，不適合測量波長或亞波長范圍的位移量.

前2個(gè)問題可以用(單向或可逆)自動條紋計(jì)數(shù)器解決[8-12]. 但為了解決第3個(gè)問題，必須采用比數(shù)條紋更精細(xì)的方法.

1 實(shí)驗(yàn)原理

光強(qiáng)分別為I1和I2的2束光的干涉光強(qiáng)為

(1)

其中相位差Δφ直接與位移相關(guān). 測出I1,I2和I，就可以根據(jù)(1)式算出cos Δφ. 不過在1個(gè)周期內(nèi)cos Δφ與Δφ是一對二的關(guān)系，除非已知位移的運(yùn)動規(guī)律(比如勻速運(yùn)動)，一般情況下并不能由干涉光強(qiáng)推知位移的變化情況. 本文針對此問題，利用光的偏振自由度，無需對位移的變化方式做任何假設(shè)，即可以測出干涉相位，從而可以穩(wěn)定地實(shí)現(xiàn)位移的連續(xù)測量.

1.1 原理圖與基本思路

光路如圖1所示，在傳統(tǒng)邁克耳孫干涉儀光路(虛線框)的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)：

1)激光入射分束鏡(BS1)之前先經(jīng)過1塊偏振片(P)和1塊分束鏡(BS0)；

2)激光從干涉儀出射后經(jīng)過1塊偏振分束鏡(PBS)；

3)使用3個(gè)光電探測器分別(D0,Dp,Ds)測量從BS0分出的光強(qiáng)I0和從PBS出射的2路光強(qiáng)Ip0和Is0.

偏振片的透振方向與水平方向大致成45°，這樣入射光中p分量和s分量比例固定，基本為1∶1. BS0和光探測器D0的作用是監(jiān)視入射光強(qiáng). 相對光強(qiáng)為

(2)

結(jié)果將不受激光器輸出狀態(tài)漂移的影響.

圖1 測量原理圖

由于p光和s光之間不會產(chǎn)生干涉，所以干涉儀中同時(shí)存在2套干涉光路，它們在空間上完全重合，直至PBS把它們分開，進(jìn)入對應(yīng)的探測器. 因此有

(3)

相位差來自干涉儀兩臂的光程差和光學(xué)元件導(dǎo)致的光程差，即

(4)

式中λ為激光波長，ΔL為干涉儀兩臂的光程差，Δφp0與Δφs0分別為光學(xué)元件對p光和s光引入的相位差. 由于分束鏡鍍膜對光的反射與透射都依賴于光的偏振狀態(tài)，一般Δφp0≠Δφs0. 因此，當(dāng)ΔL改變時(shí)，Ip和Is的變化有固定的相位差δ0≡Δφp0-Δφs0. 只要δ0不等于π的整數(shù)倍，(Ip,Is)就會在固定的橢圓上移動. 記錄測量點(diǎn)在橢圓上的運(yùn)動軌跡，就可推知ΔL如何隨時(shí)間變化，這就是本文測量方法的基本思路. 雖然原則上只需要δ0≠kπ，但如果δ0過于接近kπ，橢圓就變得很扁長，測量結(jié)果就會因噪聲的影響變得不穩(wěn)定. 在本文的實(shí)驗(yàn)裝置中δ0大致為45°，為降低噪聲的影響. 如果條件允許，可在干涉光路的1條臂中插入可調(diào)相位延遲片，即可對δ0進(jìn)行調(diào)節(jié).

1.2 計(jì)算方法

根據(jù)(3)式和(4)式，不妨設(shè)

(5)

經(jīng)過仿射(平移加線性)變換：

(6)

有

(7)

(Ip′,Is′)在單位圓上,而且輻角隨光程差均勻變化，光程差改變λ，(Ip′,Is′)在單位圓上運(yùn)動1周. 如果采樣率足夠高或者光程差變化足夠慢，可以保證前后2個(gè)采樣點(diǎn)之間的光程差改變量小于λ/2，那么就可以通過連續(xù)跟蹤，得到光程差隨時(shí)間的變化曲線.

ΔL很可能不隨時(shí)間勻速變化，因此一般不能通過正弦曲線擬合得到Ap,Bp,As,Bs與δ0. 下面給出根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的幾何性質(zhì)(即它們位于個(gè)橢圓上)，來擬合這5個(gè)參量的方法. 平面上橢圓的一般方程為

(8)

其中a,b,c,d,e,f為常數(shù)，而且矩陣

(9)

是正定的. 方程(8)可寫成XTP=0，其中向量X和P定義為

(10)

設(shè)測量點(diǎn)的集合為{(Ipi,Isi)|i=1,2,…,N}. 由于存在測量誤差，一般并不存在1個(gè)向量P與所有的Xi都正交. 對所有實(shí)測數(shù)據(jù)點(diǎn)求和，得到對稱矩陣

(11)

然后用M的最小特征值對應(yīng)的特征向量作為對P的估計(jì). 由于特征向量可以相差常數(shù)因子，這里要求a>0. 由于D是正定的，同時(shí)一定有b>0和ab-c2>0.

a,b,c,d,e,f確定后，就可以計(jì)算Ap,Bp,As,Bs與δ0了. 首先，(Ap,As)為橢圓的中心,可表示為

(12)

(Bp,Bs)可根據(jù)下式計(jì)算

(13)

其中

(14)

最后，相位差δ0可根據(jù)下式計(jì)算

(15)

由于三角函數(shù)的特性，可以得到4種不同的仿射變換(分別對應(yīng)δ0→±δ0,2π±δ0). 實(shí)驗(yàn)中固定選擇1種即可.

利用上述方法得到仿射變換的參量，將數(shù)據(jù)點(diǎn)映射到單位圓上. 計(jì)算輻角(即相位)，并根據(jù)前一時(shí)刻的值,通過適當(dāng)平移2kπ，把輻角連續(xù)地映射在實(shí)軸上. 最后乘以λ/2π(或者λ/4π)得到光程差ΔL(或反射鏡相對位移S)的變化曲線.

2 裝置與方法

實(shí)驗(yàn)裝置以Thorlabs公司的邁克耳孫干涉儀教學(xué)套裝為基礎(chǔ)搭建，實(shí)物如圖2所示. 光源采用氦氖激光器(λ=632.8 nm,功率1.5 mW). 干涉儀的反射鏡M1固定在二維調(diào)整架上，反射鏡M2固定在待測金屬桿的前端，金屬桿的尾部通過連接桿用螺絲固定在光學(xué)面包板上. 金屬桿外面包裹加熱箔，可通過電流改變金屬桿的溫度. 金屬桿的對稱軸上鉆有1個(gè)深孔，可以將溫度傳感器(K型溫差電偶)插入，測量金屬桿的溫度. 偏振分束鏡使用Thorlabs PBS201. 3個(gè)光電探測器均為硅光電二極管(Thorlabs DET36A2). 探測器輸出至數(shù)據(jù)采集卡(NI USB-6212). 由于D0探測的光信號變化緩慢，所以采用了較大的耦合電阻(10 kΩ)，為了提高響應(yīng)速度，Ds和Dp使用了較小的耦合電阻(1 kΩ). 因此Is和Ip要比I0小1個(gè)數(shù)量級. 所有元件，除了激光器和偏振片，都固定在30 cm×45 cm光學(xué)面包板上，整體放在光學(xué)平臺上.

裝置的調(diào)節(jié)方法與通常的邁克耳孫干涉儀相同. 為觀察調(diào)節(jié)效果，需要在激光器輸出位置插入擴(kuò)束鏡，并用白屏觀察干涉圖樣. 要求兩臂的光程盡量相等，使干涉圖樣的中心斑點(diǎn)遠(yuǎn)大于探測器的有效接收區(qū)域(2.2 mm×2.2 mm). 測量時(shí)取走擴(kuò)束鏡，讓光直接打在探測器上.

1.He-Ne激光器 2.偏振片 3.分束鏡(非偏振) 4.反射鏡M1 5.反射鏡M2 6.PBS 7.探測器圖2 裝置照片

利用此裝置可完成以下2個(gè)實(shí)驗(yàn)：

a.測量系統(tǒng)的沖擊響應(yīng). 輕微敲擊光學(xué)面包板，干涉條紋出現(xiàn)晃動，然后逐步平穩(wěn). 編寫LabVIEW程序，當(dāng)監(jiān)測到振動(干涉光強(qiáng)發(fā)生劇烈變化)后，記錄1 s的數(shù)據(jù)(采樣率105s-1). 用全部的測量數(shù)據(jù)擬合橢圓參量，確定仿射變換，對光強(qiáng)進(jìn)行變換，計(jì)算輻角，得到光程差的變化曲線.

b.測量金屬的線脹系數(shù). 加熱金屬桿使其長度發(fā)生改變，M2發(fā)生位移，引起干涉條紋移動. 實(shí)驗(yàn)所用數(shù)字溫度計(jì)可將溫度按1 mV/℃的格式轉(zhuǎn)換成電壓輸出. 利用數(shù)字萬用表(Rigol DM3058E)測量輸出電壓，并且編程通過VISA自動讀取測量結(jié)果. 直流電源(Rigol DP1116A)也可以通過VISA控制. 程序控制加熱溫度超過TH=36 ℃就斷電，冷卻到溫度低于TL=31 ℃就通電加熱(加熱電流0.3 A). 可盡量減小人為操作失誤和讀數(shù)誤差，便于驗(yàn)證測量結(jié)果的可重復(fù)性. 金屬桿升溫和降溫的時(shí)間都較長(大約5 min)，光程差變化較平緩. 實(shí)驗(yàn)需要接近實(shí)時(shí)地顯示金屬桿的長度變化，實(shí)驗(yàn)中每秒采集1 000組光強(qiáng)數(shù)據(jù)(采樣率103s-1)，這些數(shù)據(jù)對應(yīng)的光程差變化不大，不能形成完整的橢圓. 因此保存30 s的光強(qiáng)數(shù)據(jù)(每次采集到新數(shù)據(jù)后都需要更新)，用所有數(shù)據(jù)擬合橢圓，確定仿射變換參量，并且把當(dāng)前1 s的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成桿的伸長量.

3 結(jié)果與分析

3.1 沖擊響應(yīng)測量

圖3為1次采集到的光強(qiáng)波形. 可以看出光強(qiáng)變化相當(dāng)劇烈. 在前面一段時(shí)間(大致0～0.6 s)，光強(qiáng)變化的最大值與最小值基本固定，對應(yīng)光程差的變化幅度大于λ，有超過1個(gè)條紋的吞吐. 之后光強(qiáng)的極值隨時(shí)間改變，對應(yīng)光程差的變化幅度小于λ，變化小于1個(gè)完整的條紋.

圖3 不同偏振相對干涉光強(qiáng)隨時(shí)間變化曲線

圖4給出了其中一部分的放大. 注意圖中標(biāo)出的9個(gè)光強(qiáng)的極大值，其中1，3，5，7，9號Ip和Is看起來是同相位的，而2，4，6，8號Ip和Is有明顯的相位差. 前一組極大值對應(yīng)光程差的極值(即反射鏡振動位移到極值處)，這對p光和s光沒有差別. 而后一組極值對應(yīng)光程差達(dá)到為λ的整數(shù)倍，與偏振方向有關(guān)，所以Ip和Is有明顯的相位差.

圖4 圖3波形的細(xì)節(jié)放大

將(Ip,Is)數(shù)據(jù)按xy方式繪圖，得到圖5. 雖然存在較大的噪聲，但數(shù)據(jù)點(diǎn)形成了很明顯的橢圓(圖中紅色為擬合橢圓). 注意Ip和Is的數(shù)值越大，噪聲也越大. 用數(shù)據(jù)擬合橢圓，并用所得的仿射變換作用于原始數(shù)據(jù)，結(jié)果見圖6. 可以看出(Ip′,Is′)都在單位圓(紅色曲線)附近. 雖然結(jié)果同樣存在較大的噪聲，但數(shù)據(jù)距離原點(diǎn)都足夠遠(yuǎn)，輻角的計(jì)算是可靠的.

將輻角折合成為反射鏡的相對位移，得到振動波形，結(jié)果見圖7. 圖中可以看到明顯的振動衰減過程. 放大對應(yīng)圖4的部分(見圖8)，可見清晰的正弦振動. 注意圖中的各位移極值點(diǎn)，它們與圖4中的1，3，5，7，9號極值對應(yīng). 而且噪聲水平明顯小于圖4中的光強(qiáng)信號. 噪聲減小的原因是Ip和Is的噪聲存在顯著的正向關(guān)聯(lián)，因此噪聲主要影響數(shù)據(jù)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而對輻角的影響相對較小.

圖5 在(Ip,Is)平面顯示數(shù)據(jù)

圖6 經(jīng)過仿射變換后的數(shù)據(jù)

圖7 系統(tǒng)振動衰減曲線

圖7中的衰減曲線存在明顯的拍，說明系統(tǒng)存在2個(gè)相差不大的固有頻率. 對衰減曲線做傅里葉變換，結(jié)果見圖9. 從圖中可得這2個(gè)固有頻率分別為206 Hz和224 Hz. 此外，系統(tǒng)還存在260 Hz，398 Hz，484 Hz等固有頻率.

圖8 衰減曲線細(xì)節(jié)放大

圖9 衰減曲線的頻譜

進(jìn)行多次測量，每次敲擊光學(xué)面包板的位置或力度不相同. 表1為21次測量所得各個(gè)參量擬合值的平均值值與標(biāo)準(zhǔn)差. 可以發(fā)現(xiàn)Ap,Bp,As和Bs擬合值的相對標(biāo)準(zhǔn)偏差都小于0.1%，δ0的標(biāo)準(zhǔn)偏差只有0.002 drad≈0.12°，這說明實(shí)驗(yàn)光路、探測系統(tǒng)和數(shù)據(jù)處理算法的穩(wěn)定性很好.

表1 擬合參量統(tǒng)計(jì)

3.2 金屬線脹系數(shù)測量

圖10顯示了連續(xù)4 000 s的測量數(shù)據(jù)，圖10(a)每個(gè)點(diǎn)是1 s內(nèi)1 000次桿伸長量的平均值，圖10(b)是從數(shù)字萬用表讀出的溫度值. 圖中可見有7次完整的升溫和冷卻過程. 伸長量δL和溫度T的變化形式都類似電容充放電. 這是因?yàn)闇囟仍礁?，散熱越快，?dǎo)致加熱段升溫和冷卻段降溫都越來越慢.

(a)

(b)圖10 金屬桿伸長量δL與溫度T隨時(shí)間變化曲線

在(T,δL)平面中畫出測量數(shù)據(jù)，結(jié)果見圖11. 圖中可以看出在升溫段和冷卻段，δL都與T呈很好的直線關(guān)系. 但這兩段明顯不重合，T的變化落后于δL，表現(xiàn)為滯回性. 可理解為：δL反映了桿平均溫度的改變，溫度探頭測量的是金屬桿內(nèi)部的溫度，但加熱和散熱都發(fā)生在金屬桿的表面，因此T的變化要滯后于δL.

圖11 在(T，δL)平面顯示測量數(shù)據(jù)

取T在31.5～35.5 ℃之間連續(xù)的升溫或冷卻階段的數(shù)據(jù). 這14段數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性系數(shù)都大于0.999 93. 用最小二乘法計(jì)算δL對T變化的斜率κ=(1.880 5±0.007 8) μm/℃，結(jié)果見表2. 可看出升溫段(奇數(shù)次)的斜率總體上略小于冷卻段(偶數(shù)次)的斜率. 原因可能是升溫段時(shí)間略短于冷卻段，因此受滯回效應(yīng)的影響會更大. 滯回效應(yīng)總會導(dǎo)致測量斜率偏小，所以升溫段的斜率比冷卻段要小. 對擬合斜率取平均，并取等效桿長L=79 mm，計(jì)算鋁的線脹系數(shù)，結(jié)果在參考值(2.1×10-5～2.4×10-5℃-1)范圍之內(nèi).

表2 δL對T的斜率κ擬合值

上面測量結(jié)果最大的誤差來源于等效桿長L的測量. 因?yàn)榻饘贄U是通過連接桿用螺絲緊固在光學(xué)面包板上，不易確定后端的位置. 79 mm是從緊固螺絲與金屬桿的接觸點(diǎn)算起的，本身不便測量，誤差也比較大. 不過這個(gè)問題與本文主旨無關(guān). 重要的是采取本文的方法，可以對微小位移進(jìn)行連續(xù)測量. 在持續(xù)超過1 h的時(shí)間內(nèi)，結(jié)果具有很好的可重復(fù)性. 由于位移分辨率遠(yuǎn)大于數(shù)條紋的方式，這種方法不僅提高了探測靈敏度，同時(shí)也清晰地展示了一些有趣的物理過程或現(xiàn)象，比如桿的散熱和溫度非均勻分布.

4 討 論

干涉法測量微小位移(光程差)本質(zhì)上是測量2維向量(即干涉復(fù)振幅)的角度. 干涉光強(qiáng)對應(yīng)的是該向量在1個(gè)方向上的投影. 有2個(gè)方向的投影就可以唯一地恢復(fù)出向量的角度. 可逆條紋計(jì)數(shù)器就是利用了此思想[10-12]：用光纖探頭在不同空間位置測量干涉光強(qiáng)，得到有一定相位差(最好是π/2)的2個(gè)信號. 根據(jù)2個(gè)信號達(dá)到極值的時(shí)序可以判斷條紋是吞進(jìn)或吐出. 這個(gè)方法的缺點(diǎn)是需要使用擴(kuò)束鏡，而且2個(gè)光強(qiáng)取樣點(diǎn)的相位很容易受到擾動，導(dǎo)致信號弱且重復(fù)性不好. 本文使用2個(gè)不同偏振狀態(tài)的干涉光強(qiáng)，它們在空間完全重合，測量時(shí)也不需要擴(kuò)束. 因此數(shù)據(jù)信噪比高，結(jié)果可重復(fù)性好. 經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理，可以實(shí)現(xiàn)位移(光程差)的連續(xù)測量.

根據(jù)圖8中峰-峰值小于1個(gè)波長的正弦振動曲線估計(jì)，單次位移測量的誤差應(yīng)該比波長小2個(gè)數(shù)量級. 為了估計(jì)位移測量的分辨率，保持干涉儀不動，連續(xù)測量反射鏡的相對位移(固定變換參量). 圖12中展示了典型的結(jié)果. 可以看見測量結(jié)果存在持續(xù)的漲落. 漲落的低頻分量來自不可控制的環(huán)境擾動導(dǎo)致的光程差漂移. 這部分反映的是反射鏡實(shí)際的相對位移. 漲落的高頻分量(即短時(shí)間的漲落)是由探測器和采集卡的噪聲造成的，也與數(shù)據(jù)處理算法有關(guān). 即便光程差嚴(yán)格固定不動，這部分高頻噪聲仍然存在，因此它決定了實(shí)際的位移測量分辨率. 把測量結(jié)果通過截止頻率為20 Hz低通數(shù)字濾波器，得到其低頻分量(圖12中紅色曲線). 用原始信號減去低頻分量，得到高頻分量. 圖13為高頻分量的統(tǒng)計(jì)直方圖. 可以看出形式很接近高斯分布，而且絕大部分值在±0.004 μm之間. 事實(shí)上，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)高頻分量的標(biāo)準(zhǔn)差在0.001～0.005 μm之間，與光強(qiáng)的噪聲水平正相關(guān). 如果用3倍的標(biāo)準(zhǔn)差作為位移測量分辨率，則結(jié)果在0.003～0.015 μm之間，比波長小2個(gè)數(shù)量級. 此處估算的是單次測量的分辨率. 如果位移變化緩慢，提高采樣率，用多次采樣取平均值，可以進(jìn)一步提高位移測量的分辨率(不過這樣會降低時(shí)間分辨率).

圖12 一段反射鏡相對位移測量波形(黑色)及其經(jīng)過低通濾波后的波形(紅色)

利用本文方法，還進(jìn)行了音叉共振曲線測量、剛體擺的隨機(jī)振動測量等實(shí)驗(yàn). 該方法結(jié)合了光的干涉和偏振，并利用LabVIEW進(jìn)行數(shù)據(jù)采集與處理(以及儀器控制),可以研究的物理問題也比較豐富，因此是很好的大學(xué)物理綜合設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)的選題. 本文的實(shí)驗(yàn)裝置可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行簡化. 比如用普通的分束鏡和2塊偏振片代替PBS；用示波器代替數(shù)據(jù)采集卡，在XY模式下觀察測量點(diǎn)在橢圓上的運(yùn)動實(shí)現(xiàn)條紋的可逆計(jì)數(shù). 數(shù)據(jù)處理也可以根據(jù)具體情況做適當(dāng)?shù)暮喕? 比如在測量短時(shí)間過程時(shí)，可以忽略激光器輸出狀態(tài)的漂移，不做光強(qiáng)標(biāo)度，從而省去第1個(gè)分束鏡和探測器.

圖13 位移測量噪聲的統(tǒng)計(jì)直方圖

致謝:感謝北京師范大學(xué)物理學(xué)系熊俊教授在本文寫作過程提供的建設(shè)性意見.