激光斑點(diǎn)漂移的研究

宋胤彤，張哲倫，李尊祺，劉國(guó)超

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871)

2020年IYPT的第11題為Drifting speckles[1]. 將激光束照射到黑暗的表面，在斑點(diǎn)內(nèi)可看到顆粒狀的圖案. 請(qǐng)解釋現(xiàn)象并且研究漂移取決的相關(guān)參量. 當(dāng)通過(guò)相機(jī)或者人眼觀察時(shí)，顆粒狀的圖案在緩慢移動(dòng). 本文描述了激光散斑的漂移現(xiàn)象，研究了激光散斑漂移現(xiàn)象的成因，通過(guò)理論計(jì)算給出散斑漂移速度的依賴(lài)因素，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn).

1 散斑漂移現(xiàn)象簡(jiǎn)介

用激光照射墻表面時(shí)，直接用人眼或者利用相機(jī)可以觀測(cè)到顆粒狀的細(xì)小斑點(diǎn)，這些細(xì)小斑點(diǎn)(圖1中的白色顆粒)即為激光散斑. 圖1中散斑呈現(xiàn)白色是相機(jī)曝光過(guò)度導(dǎo)致的(實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，曝光不足時(shí)無(wú)法清晰觀測(cè)到圓斑和散斑，故實(shí)際操作時(shí)調(diào)節(jié)曝光使散斑略微過(guò)曝)，由人眼觀測(cè)可以發(fā)現(xiàn)散斑仍然為紅色. 為方便區(qū)分，下文中的散斑指中心圓環(huán)內(nèi)的白色細(xì)小顆粒，圓斑指外側(cè)圓形的紅色斑點(diǎn).

圖1 利用相機(jī)拍攝的激光散斑

當(dāng)人眼或相機(jī)移動(dòng)時(shí)，可以觀測(cè)到散斑相對(duì)于圓斑的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)即為本文研究的散斑漂移現(xiàn)象. 通過(guò)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)人眼或相機(jī)垂直于光屏移動(dòng)時(shí)無(wú)漂移現(xiàn)象，而平行于光屏移動(dòng)有散斑漂移現(xiàn)象. 在實(shí)驗(yàn)中也可以發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)動(dòng)是和相機(jī)的運(yùn)動(dòng)同時(shí)發(fā)生的,因此，可以通過(guò)測(cè)定相同時(shí)間內(nèi)散斑、圓斑和相機(jī)的位移得到三者的速度關(guān)系.

2 散斑漂移現(xiàn)象的理論解釋

2.1 散斑的形成機(jī)理

激光照射在粗糙表面(表面起伏程度遠(yuǎn)大于激光波長(zhǎng)，常見(jiàn)表面均滿(mǎn)足)上發(fā)生漫反射，可以等效為表面上存在若干次波波源，次波波源的振幅相同，初相位則因受到表面影響而各不相同. 這些次波波源發(fā)出的波在空間中相干疊加，在相干增強(qiáng)處形成了觀測(cè)到的散斑[2].

2.2 散斑漂移的定量解釋

散斑漂移的示意圖如圖2所示. 由散斑的形成機(jī)理，散斑實(shí)際位置和圓斑所在位置(即光屏處)并不相同，在移動(dòng)相機(jī)或人眼時(shí)，由于視差二者出現(xiàn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，形成漂移現(xiàn)象.

圖2 散斑漂移的示意圖

下面將分別利用幾何光學(xué)和波動(dòng)光學(xué)對(duì)漂移速度進(jìn)行計(jì)算并說(shuō)明其等價(jià)性. 為簡(jiǎn)化表達(dá)，示意圖均為單個(gè)透鏡的情形，實(shí)際上相機(jī)鏡頭應(yīng)為透鏡組.

2.2.1 將散斑漂移簡(jiǎn)化為幾何光學(xué)問(wèn)題

將相機(jī)的位置記為x，將相機(jī)屏上的圓斑和散斑的位置記為x″，以區(qū)分不同平面上的移動(dòng). 在之后的實(shí)驗(yàn)中也采用同樣的標(biāo)記方法.

對(duì)于單個(gè)透鏡，可以根據(jù)圖3計(jì)算漂移距離. 記物面到透鏡(相機(jī)鏡頭)的距離為L(zhǎng)，透鏡到像面(相機(jī)成像區(qū)域)距離為f. 紅線和藍(lán)線分別表示移動(dòng)前后的光路. 根據(jù)相似三角形，可得：

即有：

(1)

相機(jī)內(nèi)部的透鏡組相對(duì)位置是近似不變的，因此之后的成像與L無(wú)關(guān)，是由相機(jī)決定的近似不變的參量. 因此可以用常數(shù)近似描述之后的成像過(guò)程對(duì)移動(dòng)距離的影響. 此處將L與f的乘積記為Mf，稱(chēng)之為相機(jī)參量，則(1)式對(duì)實(shí)際的相機(jī)可以寫(xiě)為

則散斑的漂移距離為

(2)

圖3 散斑漂移的幾何光學(xué)計(jì)算法

2.2.2 將散斑漂移簡(jiǎn)化為波動(dòng)光學(xué)問(wèn)題

考慮光的波動(dòng)性質(zhì)，利用基爾霍夫衍射積分進(jìn)行計(jì)算. 設(shè)光屏上的復(fù)振幅分布為A(x,y)，透鏡的前復(fù)振幅分布為Bi(x′,y′)，透射函數(shù)為t(x′,y′)，后復(fù)振幅分布為Bt(x′,y′)，相機(jī)底片上的復(fù)振幅分布為C(x0,y0)(x″,y″).u為物到相機(jī)鏡頭的距離(L或s)，v為相機(jī)鏡頭到相機(jī)底片的距離，F(xiàn)為焦距. 先考慮墻上某點(diǎn)產(chǎn)生的光場(chǎng)，由惠更斯-菲涅爾原理[3]有如下基爾霍夫積分：

(3)

(4)

(5)

當(dāng)透鏡光心位于(x0,y0)時(shí)，考慮光屏上所有點(diǎn)光場(chǎng)的疊加，得到相機(jī)底片上(x″,y″)處的復(fù)振幅[3]為

那么當(dāng)透鏡光心位于(0,0)時(shí)，考慮墻上所有點(diǎn)產(chǎn)生的光場(chǎng)的疊加，則底片上(x0″,y0″)點(diǎn)的復(fù)振幅為

如果忽略積分區(qū)域Σ1(0,0)和Σ1(x0,y0)的區(qū)別，并令Δx″=x″-x0″，Δy″=y″-y0″，則有：

|C(x0,y0)(x″,y″)|2=|C(0,0)(x0″,y0″)|2,

即

當(dāng)透鏡移動(dòng)(Δxcamera,Δycamera)時(shí)，散斑的位移為

(6)

對(duì)理論的修正：考慮積分區(qū)域Σ1(x0,y0)和Σ1(0,0)的差別，則有：

其中,

由此可見(jiàn)，幾何光學(xué)近似是合理的. 因此可以利用式(2)計(jì)算散斑漂移速度.

3 散斑漂移速度公式的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)

3.1 影響散斑大小的相關(guān)因素

由于在測(cè)定散斑漂移距離時(shí)，散斑的大小對(duì)測(cè)量的精度產(chǎn)生較大影響，因而有必要研究影響散斑大小的因素. 可以利用光強(qiáng)關(guān)聯(lián)函數(shù)對(duì)散斑大小進(jìn)行定性分析，得到散斑大小的影響因素.

光強(qiáng)關(guān)聯(lián)函數(shù)為

這一函數(shù)用于描述相鄰點(diǎn)光強(qiáng)的相關(guān)性，相關(guān)性越強(qiáng)代表散斑顆粒越大. 在實(shí)驗(yàn)中直接用CCD相機(jī)拍攝散斑[4]，利用Mathematica軟件計(jì)算關(guān)聯(lián)函數(shù)，結(jié)果如圖4所示.

光強(qiáng)關(guān)聯(lián)函數(shù)

其大小可以用與x軸圍成的面積描述,其中w為高斯光束在散斑處的光腰. 可以發(fā)現(xiàn)，L越大關(guān)聯(lián)函數(shù)值越大，即散斑顆粒越大. 而相機(jī)觀測(cè)到的圓斑大小與L呈負(fù)相關(guān).

圖4 不同距離L拍攝的散斑計(jì)算得到的關(guān)聯(lián)函數(shù)

綜合分析，圓斑越大散斑越小，圓斑越小散斑越大. 這一結(jié)論有助于后續(xù)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中對(duì)光路進(jìn)行調(diào)節(jié)，得到更清晰、更易于測(cè)定的散斑圖樣.

3.2 散斑漂移的距離-相機(jī)移動(dòng)距離的定量測(cè)定

實(shí)驗(yàn)中采用擴(kuò)束透鏡和聚焦透鏡調(diào)節(jié)圓斑和散斑的大小，以便于測(cè)定. 使用λ=632.8 nm的氦氖激光器作為激光源，利用配置鏡頭的HY-2307型號(hào)CCD相機(jī)進(jìn)行觀測(cè)，并利用相關(guān)軟件對(duì)觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算.

3.2.1 標(biāo)定相機(jī)參量Mf

保持視在漂移Δx″不變，測(cè)定相機(jī)位移Δx和相機(jī)聚焦距離s的關(guān)系，其斜率即為Δx″/Mf.

實(shí)驗(yàn)中保持Δx″=100 pix不變，測(cè)得的相機(jī)參量標(biāo)定曲線如圖5所示. 擬合曲線的斜率和截距分別為：k=0.023,b=-5 mm,r=0.999 53. 計(jì)算得到Mf=(4.302±0.044) pix.

圖5 相機(jī)參量定標(biāo)曲線

3.2.2 測(cè)定散斑漂移

在實(shí)驗(yàn)中分別保持相機(jī)與光屏距離L和相機(jī)聚焦距離s不變，改變另一參量，測(cè)定散斑位移量和圓斑位移量，計(jì)算得到散斑相對(duì)圓斑漂移/相機(jī)移動(dòng)距離曲線，如圖6～7所示.

圖6 L=3.070 m時(shí)的漂移/相機(jī)位移隨相機(jī)聚焦距離的變化

圖7 s=1.800 m時(shí)的漂移/相機(jī)位移隨相機(jī)與光屏距離的變化

利用理論公式對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，驗(yàn)證其符合程度.

由此可驗(yàn)證理論公式(2)的正確性. 由于漂移運(yùn)動(dòng)是和相機(jī)的運(yùn)動(dòng)同時(shí)發(fā)生的，可以由移動(dòng)的距離公式直接導(dǎo)出散斑漂移的速度公式為

(7)

3.3 實(shí)驗(yàn)誤差分析

實(shí)驗(yàn)誤差主要來(lái)源于對(duì)各項(xiàng)距離的測(cè)量誤差和不穩(wěn)定因素對(duì)散斑圖樣的影響.

3.3.1 距離測(cè)量帶來(lái)的誤差

1)通過(guò)米尺和桌面上設(shè)置的距離標(biāo)尺測(cè)量L和s，測(cè)量誤差為σ1=1 cm.

2)通過(guò)計(jì)算機(jī)上的S-EYE軟件測(cè)量散斑移動(dòng)和圓斑移動(dòng)，在不考慮圖案本身振動(dòng)的條件下，散斑移動(dòng)測(cè)量誤差為σ2=0.1 pix，圓斑移動(dòng)的測(cè)量誤差為σ3=0.2 pix.

3)通過(guò)光具座上的游標(biāo)測(cè)量相機(jī)移動(dòng)，測(cè)量誤差為σ4=0.1 mm.

3.3.2 散斑圖樣振動(dòng)帶來(lái)的誤差

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，由于平臺(tái)的振動(dòng)、空氣流動(dòng)、激光光源本身發(fā)光的不穩(wěn)定性，散斑并不總是靜止的，而是會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則的小幅度振動(dòng). 實(shí)驗(yàn)中通過(guò)控制空氣流動(dòng)、減少平臺(tái)振動(dòng)等方式減小散斑振動(dòng)后，觀測(cè)到小振動(dòng)的幅度小于0.1 pix，因此其帶來(lái)的誤差主要影響散斑位置的確定(而散斑位置的變化與標(biāo)定散斑位置的誤差數(shù)量級(jí)相同，可以忽略). 這種影響帶來(lái)的誤差數(shù)量級(jí)小于散斑位置標(biāo)定的誤差，因此在本實(shí)驗(yàn)條件下可忽略.

4 結(jié) 論

致謝：感謝論文撰寫(xiě)過(guò)程與北京大學(xué)物理學(xué)院榮新老師的有益討論！