代 康，張 松+，舒 雨，張 偉，張 振

(1.山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250061；2.山東大學(xué) 機(jī)械工程國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，山東 濟(jì)南 250061；3.山東蒂德精密機(jī)床有限公司，山東 濟(jì)寧 272000)

0 引言

加工精度是衡量數(shù)控機(jī)床性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)之一。一般來說，數(shù)控機(jī)床直線進(jìn)給軸的幾何誤差對加工精度影響的占比在18%～30%[1]，主要來源于導(dǎo)軌等零件的制造誤差和機(jī)床零部件的裝配誤差。目前，降低數(shù)控機(jī)床幾何誤差的措施分為誤差防止和誤差補(bǔ)償兩種方法[2]，誤差防止法致力于主動控制誤差，通過提高機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)關(guān)鍵零件的尺寸和形狀精度提升整機(jī)的幾何精度，但同時大幅增加了制造難度和成本；誤差補(bǔ)償法采用被動補(bǔ)償方式測量出裝配完成后機(jī)床存在的幾何誤差，然后通過合適的計算模型和補(bǔ)償算法將誤差反饋到控制系統(tǒng)，從而修正幾何誤差。誤差補(bǔ)償能以較小的代價提升幾何精度，其研究重點(diǎn)是如何測量并辨識出全部幾何誤差。

數(shù)控機(jī)床幾何誤差測量方法的發(fā)展得益于精度檢測設(shè)備的迭代升級，從步距規(guī)、水平儀、千分表等傳統(tǒng)精度檢驗(yàn)設(shè)備，到基于激光測距的激光干涉儀、激光追蹤儀，以及基于光柵尺測距的球桿儀、平面光柵，檢測精度和測量多樣性得到了保證[3]。相比于其他檢測設(shè)備，激光干涉儀的測量精度較高，而且檢測成本和操作難度控制得當(dāng)，可搭配不同鏡組測量多種類型誤差，已經(jīng)成為機(jī)床行業(yè)主流的精度檢測設(shè)備。然而，使用激光干涉儀逐項測量幾何誤差時的光路對準(zhǔn)過程比較繁瑣，測量效率不高，而且由于各項誤差的耦合，導(dǎo)致一些線性誤差的測量結(jié)果不夠準(zhǔn)確[4]。為了解決這些問題，一些學(xué)者從檢測設(shè)備本身出發(fā)，自主搭建新的激光測量系統(tǒng)，以提升測量效率。Chen等[5]采用多組分束器與接收器，將一束激光分出多條線路，可同時檢測多個維度的誤差分量，減少了對光次數(shù)；Liu等[6]將多個干涉鏡、五棱鏡、角反射器等封裝成移動鏡組和固定鏡組，經(jīng)過后續(xù)數(shù)據(jù)處理后，僅走一次行程即可同時測量6項幾何誤差。然而，這些整合了多個光學(xué)鏡組的測量系統(tǒng)雖然可以提高測量效率，但是鏡組的裝配和調(diào)試工作相當(dāng)困難，對鏡組角度和位置的精度要求很高，實(shí)用性受限。另一些學(xué)者從測量方案出發(fā)，通過測量少許路徑獲得耦合數(shù)據(jù)，結(jié)合辨識模型求解幾何誤差，先后開發(fā)出22線法[7]、15線法[8]、9線法[9]、12線法[10]等測量方案，其中九線法具有測量線路少、鏡組調(diào)節(jié)簡便、辨識模型不含位置變量等優(yōu)點(diǎn)，因此應(yīng)用范圍較廣，但同時該方法也存在一些局限性，包括測量坐標(biāo)系放置不合理、辨識穩(wěn)定性不高、垂直度辨識偏差較大等。針對部分問題，有學(xué)者提出一些優(yōu)化改進(jìn)方案。田文杰等[11]提出傳統(tǒng)九線法中存在的測量基準(zhǔn)不重合問題，并通過千分表4位置測量的方法修正數(shù)據(jù)；徐堯等[12]使用高精度電子水平儀測量進(jìn)給軸角度誤差，反向代入九線法辨識模型，通過增加模型參量提高辨識精度；Li等[13]增加了對4條對角線定位誤差數(shù)據(jù)的測量，并采用最小二乘擬合的求解方法提高了幾何誤差的辨識精度，然而對角測量的調(diào)光過程相對復(fù)雜，測量效率有所下降。

傳統(tǒng)九線法的辨識精度不高，多次測量的辨識結(jié)果一致性較差，而且辨識數(shù)據(jù)僅反映進(jìn)給軸的位姿關(guān)系，無法指導(dǎo)機(jī)床精度調(diào)試。針對以上問題，本文以九線法原理為基礎(chǔ)，結(jié)合某龍門數(shù)控機(jī)床的具體實(shí)例，對坐標(biāo)系建立、誤差求解模型、測點(diǎn)選取等進(jìn)行多方面改進(jìn)，并進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，以提高九線測量法辨識的準(zhǔn)確性和可靠性。

1 傳統(tǒng)九線法原理

通常三軸機(jī)床存在21項幾何誤差[14]，其中單個軸上存在獨(dú)立的6項幾何誤差，包括沿軸向的定位誤差、兩個垂直方向的直線度誤差及其3個角度誤差(扭轉(zhuǎn)、俯仰、偏擺)。這6項幾何誤差反映導(dǎo)軌等零部件的制造偏差，是與位置相關(guān)的量；另外3個直線軸還存在兩兩之間的3項垂直度誤差，其受裝配精度影響，與位置無關(guān)。21項幾何誤差如表1所示。

表1 三軸機(jī)床21項幾何誤差

受機(jī)床結(jié)構(gòu)影響，使用激光干涉儀往往只能給出多項誤差的耦合數(shù)據(jù)，不能直接測量以上幾何誤差。例如，利用激光干涉儀測量X軸x向的線性誤差，測量結(jié)果包括x向定位誤差，以及繞y，z的角度誤差相對于各自旋轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的擺動弧度，為避免混淆，本文將激光干涉儀的測量數(shù)據(jù)稱為偏差Δ，以有別于機(jī)床本身的幾何誤差，兩者的關(guān)系為：

(1)

式中(X,Y,Z)為測量點(diǎn)在測量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

九線測量法的本質(zhì)是利用剛體內(nèi)不同位置在空間變換中位姿的不同，用不同位置測量的線性偏差辨識幾何誤差。以X軸測量為例，其測量過程如圖1所示。在X軸移動部件上選取3個合適的測量初始點(diǎn)P1，P2，P3，即測量時激光鏡組的放置點(diǎn)；保持Y，Z軸不動，僅移動X軸，并采用激光干涉儀逐段測量P1，P2，P3點(diǎn)處的定位偏差、P1，P2點(diǎn)處的y向直線度偏差和P1點(diǎn)處z向直線度偏差共6項數(shù)據(jù)；結(jié)合式(1)建立一個含6個線性方程的方程組(如式(2))，由此求解X軸的6項幾何誤差。

(2)

由式(2)可知，理論上只要滿足系數(shù)矩陣滿秩即可求出全部6項幾何誤差。實(shí)際上，6項幾何誤差對3個測量方向的敏感程度存在差異，而且3個方向的測量次數(shù)也不同，導(dǎo)致X軸的6項幾何誤差在測量過程中的參與度不同，實(shí)際求解時依次求出各項誤差，即由式(2)前3個方程可獨(dú)立求解δx(x)，θy(x)，θz(x)，再由第4，5行方程求解δy(x)，θx(x)，最后從最后一行方程中求解δz(x)，后者求出的誤差依賴前者誤差的求解精度，導(dǎo)致測量時產(chǎn)生的隨機(jī)誤差被逐級放大，使最后求解的誤差與實(shí)際誤差產(chǎn)生較大偏差(具體結(jié)果見3.1節(jié))。因此，傳統(tǒng)九線法辨識模型中的誤差傳遞現(xiàn)象容易將微小的測量誤差逐級放大，最終顯著影響辨識精度。

另外，傳統(tǒng)九線法直接用機(jī)床坐標(biāo)系代替測量坐標(biāo)系，雖然能夠簡化計算模型，但是忽略了機(jī)床的結(jié)構(gòu)尺寸，因此所辨識的幾何誤差數(shù)據(jù)是相對于機(jī)床零點(diǎn)位置定義的，不能真實(shí)描述數(shù)控機(jī)床平動軸上進(jìn)給部件的誤差運(yùn)動，無法指導(dǎo)機(jī)床精度調(diào)試，從而限制了辨識結(jié)果的應(yīng)用范圍。

2 辨識方法的改進(jìn)

本章首先討論坐標(biāo)系位置對機(jī)床誤差溯源的影響，提出測量坐標(biāo)系的設(shè)定規(guī)則，然后利用剛體運(yùn)動變換的思想建立了改進(jìn)的辨識模型，并利用計算機(jī)仿真遍歷搜索到最優(yōu)的測點(diǎn)組合，總結(jié)了選取最優(yōu)測點(diǎn)組合的一般規(guī)律。因?yàn)榫啪€法的測量過程為單軸運(yùn)行，不會采用多軸聯(lián)動，所以九線測量法適用于各種結(jié)構(gòu)類型的數(shù)控機(jī)床。本文以一臺動梁式龍門機(jī)床的X軸為例展開九線法的改進(jìn)研究(如圖2)，此類機(jī)床行程大，能夠突顯幾何誤差對定位精度的影響，便于后續(xù)驗(yàn)證改進(jìn)效果。

2.1 坐標(biāo)系設(shè)置

空間中給定任意坐標(biāo)系都能描述剛體六自由度的位姿關(guān)系，但在描述機(jī)床平動軸6項幾何誤差時，如果隨意放置坐標(biāo)系的位置，則辨識出的幾何誤差值缺少實(shí)際意義，不能體現(xiàn)機(jī)床結(jié)構(gòu)中真實(shí)存在的幾何偏量，無法用于評估改進(jìn)機(jī)床零部件的加工精度和裝配精度，限制了辨識數(shù)據(jù)的應(yīng)用。

傳統(tǒng)九線法中，所有幾何誤差均定義在機(jī)床坐標(biāo)系中，這種方式不包含機(jī)床結(jié)構(gòu)尺寸，簡化了空間誤差模型，但其辨識的幾何誤差數(shù)據(jù)僅表示軸上部件的位姿關(guān)系，不能溯源真實(shí)誤差，無法對機(jī)床的精度設(shè)計和裝配工藝規(guī)劃提供數(shù)據(jù)指導(dǎo)。改進(jìn)的九線法考慮機(jī)床幾何精度主要由導(dǎo)軌精度約束，將坐標(biāo)系建立在各軸的導(dǎo)軌面上，零點(diǎn)位于各軸上運(yùn)動部件的幾何形狀的中心處。如圖2所示的X軸坐標(biāo)系，在該坐標(biāo)系下定義的X軸幾何誤差可溯源機(jī)床存在的精度問題，例如X軸的偏擺角度誤差反映X軸左右電機(jī)的伺服匹配性能不佳，扭轉(zhuǎn)、俯仰的角度誤差則反映X軸左右墻體高低不平或地基不平整等問題。

2.2 改進(jìn)的辨識模型

為解決傳統(tǒng)辨識模型中存在的誤差傳遞問題，本文提出采用最小二乘求解的方法提高辨識結(jié)果穩(wěn)定性，下面以X軸為例闡述辨識模型的推導(dǎo)過程。

已知X軸在運(yùn)動過程中產(chǎn)生6項幾何誤差(如表1)，用矢量形式表達(dá)為

ex(x)=

[δx(x)δy(x)δz(x)εx(x)εy(x)εz(x)]T。

式中括號內(nèi)的x表示X軸的運(yùn)動坐標(biāo)，即6項幾何誤差均為坐標(biāo)位置x的函數(shù)。

考慮激光干涉儀的測量空間限制和機(jī)床的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在便于測量的工作空間內(nèi)選取3個測點(diǎn)P1，P2，P3，各點(diǎn)在X軸坐標(biāo)系中用齊次坐標(biāo)表示為

Pi=(Xi,Yi,Zi)T,i=1,2,3。

由于X軸坐標(biāo)系固連在橫梁上，若X軸不存在幾何誤差，則橫梁在X軸上移動時，3測點(diǎn)的坐標(biāo)在X軸坐標(biāo)系中固定不變。然而實(shí)際在幾何誤差的影響下，當(dāng)橫梁移動到xj位置時，3個點(diǎn)相對于本身的固定位置發(fā)生微小偏移，其偏移矢量

Δi(xj)=M(xj)·Pi-Pi,i=1,2,3。

式中：Δi可表示為坐標(biāo)分量的形式(Δxi(xj),Δyi(xj),Δzi(xj))T，其中3個分量都可以用激光干涉儀定位測量或直線度測量得出；M(xj)為基于小誤差假設(shè)下的運(yùn)動誤差矩陣[15]，包括全部6項幾何誤差，即

M(xj)=

綜上所述，矢量Δi可以通過測量得出，M(xj)內(nèi)的幾何誤差項為待求未知量，Pi為已知矢量，因此可提取誤差矢量ex(xj)，得到如下變換：

Δi(xj)=Ai·ex(xj),i=1,2,3。

式中Ai為辨識矩陣，

用激光干涉儀測量3個測點(diǎn)上3個方向的全部偏移量，即構(gòu)成9個方程辨識6項誤差，寫成矩陣形式為

Δ(xj)=A·ex(xj)。

其中

改進(jìn)的辨識模型中，只要保證辨識矩陣A的秩為6，即可辨識出6項幾何誤差。另外，因?yàn)樵摫孀R模型為超定方程組，所以采用最小二乘法對模型求解，即

ex(xj)=(AT·A)-1·AT·Δ(xj)。

與傳統(tǒng)九線法相比，改進(jìn)辨識方法的各項幾何誤差以均勻的影響程度體現(xiàn)在測量數(shù)據(jù)中，其最小二乘求解的方法能有效避免傳統(tǒng)辨識模型中順序求解的問題，從而提高了辨識的穩(wěn)定性。

2.3 測點(diǎn)組合的最優(yōu)選取

從辨識模型的解的形式可見，測點(diǎn)P1，P2，P3的坐標(biāo)決定了辨識矩陣的結(jié)構(gòu)，從而影響了辨識結(jié)果的優(yōu)劣。本文采用MATLAB軟件，遍歷搜索最優(yōu)的測點(diǎn)，并總結(jié)出選取最優(yōu)測點(diǎn)組合的一般規(guī)律。

結(jié)合測試機(jī)床的結(jié)構(gòu)尺寸和測量設(shè)備的架設(shè)限制，本臺機(jī)床X軸的測點(diǎn)布置空間限定為：

(3)

將有限的測點(diǎn)布置空間按同維度等間距的方法進(jìn)行網(wǎng)格劃分(如圖3)，遍歷搜索任意3個節(jié)點(diǎn)組合，尋找最優(yōu)布置方案，具體計算流程如圖4所示。首先預(yù)設(shè)固定的幾何誤差值作為評價的參考(如表2)，遍歷測點(diǎn)組合，剔除不滿足求解條件的組合，結(jié)合預(yù)設(shè)誤差值反求理想狀態(tài)下的測量值，在理想值上疊加一個均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1 μm的高斯噪聲作為測量干擾誤差，然后根據(jù)模擬測量值、利用最小二乘法求解誤差量。對于每一組測點(diǎn)組合，按照上述流程重復(fù)計算多次，以6項幾何誤差求解結(jié)果的平均變異系數(shù)衡量所選取測點(diǎn)組合的優(yōu)劣，平均變異系數(shù)越小，該測點(diǎn)組合下的誤差辨識穩(wěn)定性越高。整個測點(diǎn)組合優(yōu)化可描述為如下數(shù)學(xué)問題：

(1)優(yōu)化目標(biāo)(使辨識結(jié)果最穩(wěn)定)為

(4)

式中σi和μi分別為第i個幾何誤差結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

(2)自變量為測點(diǎn)組合的三維坐標(biāo)Pj(xj,yj,zj),j=1,2,3。

(3)約束條件為測點(diǎn)空間限制，本例為式(3)。

表2 預(yù)設(shè)誤差值

表3 最優(yōu)測點(diǎn)組合坐標(biāo)值 mm

考慮對稱性和計算次數(shù)限制導(dǎo)致的結(jié)果差異，最優(yōu)測點(diǎn)組合并不唯一。通過分析搜索結(jié)果中平均變異系數(shù)最小的前8項測點(diǎn)組合(如圖6)，觀察到受噪聲干擾最小的測點(diǎn)組合符合一定規(guī)律，從而歸納出適用于長方體測點(diǎn)空間的最優(yōu)規(guī)劃的一般方法：第1、第2測點(diǎn)選在測點(diǎn)空間最長邊的兩側(cè)，第3點(diǎn)放在長方體的對邊，具體根據(jù)實(shí)際測量條件選擇中點(diǎn)或兩側(cè)位置。

3 仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本章通過計算機(jī)仿真的形式來量化改進(jìn)后的辨識模型相比于傳統(tǒng)九線法模型在穩(wěn)定性方面的提升幅度，然后通過實(shí)際測量實(shí)驗(yàn)和補(bǔ)償結(jié)果驗(yàn)證改進(jìn)模型的有效性。

3.1 仿真分析

仿真流程與前述的測點(diǎn)組合優(yōu)化搜索流程類似，不同之處是固定測點(diǎn)位置，比較不同辨識模型的求解精度，在此不再贅述。預(yù)設(shè)誤差值和測點(diǎn)坐標(biāo)仍使用表2和表3所示的數(shù)據(jù)。

經(jīng)過100次求解仿真后，兩種方法辨識的各項誤差值經(jīng)統(tǒng)計擬合后得出的概率密度曲線如圖7所示，相應(yīng)的統(tǒng)計特征對比如表4所示。從仿真對比結(jié)果可見，相比傳統(tǒng)九線模型，改進(jìn)辨識模型的求解結(jié)果主要集中在預(yù)設(shè)誤差值附近，均值提升9.2%～82.5%，標(biāo)準(zhǔn)差下降15.7%～89.1%，表明改進(jìn)模型求解的穩(wěn)定性得到顯著提升。傳統(tǒng)九線法由于誤差傳遞的特性，各項誤差的辨識精度差異很大，其中z向直線度誤差幾乎無法通過傳統(tǒng)模型準(zhǔn)確得出，而該誤差正是傳統(tǒng)九線模型順序求解的最后一項，表明傳統(tǒng)九線法誤差的傳遞特性對求解影響很大，甚至導(dǎo)致部分誤差項的辨識結(jié)果完全不可信。

表4 仿真結(jié)果的統(tǒng)計特征對比

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

如圖8所示，實(shí)驗(yàn)采用雷尼紹XL-80型號的激光干涉儀對一臺龍門機(jī)床X軸進(jìn)行誤差測量與辨識，激光干涉儀的相關(guān)測量參數(shù)如表5所示。為避免環(huán)境因素對幾何誤差測量的干擾，測量開始前，首先將機(jī)床空運(yùn)轉(zhuǎn)一定時間，達(dá)到熱穩(wěn)定狀態(tài)，并采用配套使用的XC補(bǔ)償模塊監(jiān)控環(huán)境參數(shù)(如表6)，采用數(shù)據(jù)采集軟件對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。由于該機(jī)床采用鋼帶光柵尺定位，采集軟件中還需要輸入該材料的熱膨脹系數(shù)11.0 ppm/℃。

表5 激光干涉儀相關(guān)參數(shù)

表6 測量環(huán)境參數(shù)

采用優(yōu)化搜索得到的最優(yōu)測點(diǎn)組合進(jìn)行X軸誤差測量，測量間隔為200 mm，各點(diǎn)測量結(jié)果如圖9所示。將9組數(shù)據(jù)代入式(8)，求得X軸6項幾何誤差如圖10所示。

如前文所述，這些幾何誤差定義在特殊考量下的坐標(biāo)系中，因此誤差曲線的趨勢和數(shù)值能夠反映機(jī)床真實(shí)存在的幾何結(jié)構(gòu)問題，從而指導(dǎo)機(jī)床調(diào)試和加工。例如X軸的z向直線度誤差在全行程中呈波浪狀，且數(shù)值相對較大，反映了X軸導(dǎo)軌面高低不平，可根據(jù)誤差曲線調(diào)節(jié)相應(yīng)位置的鎖定螺栓進(jìn)行機(jī)械調(diào)平；X軸的角度誤差總體較小，對實(shí)際加工影響不大，但俯仰誤差εy(x)在4 000 mm～6 000 mm處出現(xiàn)劇烈變化，導(dǎo)致刀軸方向出現(xiàn)較大偏斜，因此機(jī)床應(yīng)盡量避免在該區(qū)間進(jìn)行鉆孔等對刀軸方向精度影響較大的工作。

為驗(yàn)證測量誤差的準(zhǔn)確性，實(shí)驗(yàn)采用軟件補(bǔ)償方法，將測量出的幾何誤差值逐段補(bǔ)償在激光測量的數(shù)控代碼中，重復(fù)測試，然后對比補(bǔ)償前后的部分測量值，如圖11所示。利用Renishaw XCal分析軟件對補(bǔ)償前后的測量結(jié)果進(jìn)行擬合分析，得出通常用于機(jī)床進(jìn)給軸精度檢驗(yàn)的定位精度、重復(fù)定位精度、直線度等指標(biāo)，如表7所示。結(jié)果顯示，補(bǔ)償后X軸的位置精度在3個維度有57.0%～83.1%不同程度的提升，表明本文所提幾何誤差辨識方法有效，辨識精度較高，可以為后續(xù)的補(bǔ)償和調(diào)試提供可靠的數(shù)據(jù)支持。然而，由于定位誤差對熱誤差的干擾比較敏感，加上XC環(huán)境補(bǔ)償模塊的精度影響，X向定位誤差測量值在補(bǔ)償后仍然存在一定起伏，該問題將進(jìn)行后續(xù)研究。

表7 補(bǔ)償前后的精度評價

4 結(jié)束語

本文通過分析傳統(tǒng)九線法的測量方式和模型求解原理，總結(jié)了傳統(tǒng)測量方法在實(shí)際應(yīng)用中的諸多不足，通過改變測量坐標(biāo)系、改進(jìn)辨識模型和優(yōu)化搜索測點(diǎn)組合，提高數(shù)控機(jī)床平動軸幾何誤差辨識模型的穩(wěn)定性。主要結(jié)論如下：

(1)將測量坐標(biāo)系直接定義在導(dǎo)軌運(yùn)動面上，使辨識到的幾何誤差包含了機(jī)床結(jié)構(gòu)的特征因素，能夠反映機(jī)床存在的結(jié)構(gòu)或裝配問題，對機(jī)床調(diào)試和加工起到了真正意義上的誤差溯源。

(2)傳統(tǒng)九線法存在的誤差傳遞問題對辨識結(jié)果影響較大，不容忽視。改進(jìn)的辨識模型通過增加測量維度并采用最小二乘求解的方法對誤差元素同時解耦，有效增加了辨識穩(wěn)定性。

(3)針對測點(diǎn)坐標(biāo)對辨識矩陣求解的影響，通過遍歷搜索預(yù)設(shè)的所有測點(diǎn)組合，得到測量實(shí)例中的最優(yōu)組合，在此基礎(chǔ)上分析并總結(jié)了選取測點(diǎn)的一般規(guī)律。

改進(jìn)的九線法從辨識原理角度進(jìn)行了多項優(yōu)化，但平動軸的定位誤差易受溫度影響。下一步將針對定位誤差開展幾何誤差與熱誤差的耦合分析，以提高定位誤差的辨識精度和辨識穩(wěn)定性。