中立型變時(shí)刻脈沖發(fā)展方程mild解的存在唯一性

陶 書(shū)，馬維鳳，陳鵬玉

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

1 引言與研究背景

N(t):Ω→Ω，u→N(t)u=u+Ik(u)

其中Ik:Ω→Ω，進(jìn)而脈沖時(shí)刻不固定的脈沖微分方程可用如下模型：

(1)

近年來(lái)，脈沖微分方程理論在種群動(dòng)力系統(tǒng)，傳染病動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，微生物模型等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[2-3]。一般來(lái)說(shuō)，脈沖微分方程系統(tǒng)的解是分段連續(xù)的，不連續(xù)點(diǎn)發(fā)生脈沖現(xiàn)象。對(duì)模型(1)來(lái)說(shuō)，不同的解在不同時(shí)刻發(fā)生間斷，這個(gè)特征使其研究起來(lái)比較困難，正因?yàn)槿绱耍}沖微分方程引起了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的研究興趣[4-10]，Marlene等應(yīng)用上下解的單調(diào)迭代方法給出了問(wèn)題⑴解的存在性條件[6]；Benchohra等利用Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理研究了問(wèn)題⑴解的存在性[7]；Mouffak研究了含中立型脈沖微分方程初值問(wèn)題解的存在性[8]。在半群理論下，脈沖發(fā)展方程的研究也有了重要突破，有限維空間中的基本理論參見(jiàn)[2-3]，此外，彭云飛等研究了脈沖發(fā)展方程初值問(wèn)題mild解的存在性[9-10]。

在上述理論和結(jié)果的啟發(fā)下，本文Banach空間E中討論如下中立型變時(shí)刻脈沖發(fā)展方程初值問(wèn)題

(2)

2 預(yù)備知識(shí)及引理

設(shè)E是按范數(shù)‖·‖構(gòu)成的Banach空間，記C(J,E)是定義于J取值于E的連續(xù)函數(shù)全體按最大值范數(shù)‖u‖c:=max{‖u(t)‖:t∈J}構(gòu)成Banach空間，定義PC(J,E)={x:J→E,x(t)在J′上連續(xù),在每個(gè)τk(x(t))點(diǎn)左連續(xù)且x(t+)=x(t)+Ik(x(t))}，其按上確界范數(shù)‖x‖PC=sup{‖x(t)‖:t∈J}構(gòu)成Banach空間。

定義2.1若f:J×E→E滿(mǎn)足條件：

(ⅰ)對(duì)所有的x∈E，f(t,x)關(guān)于t可測(cè)；

(ⅱ)對(duì)幾乎所有的t∈J，f(t,x)關(guān)于x連續(xù)，即存在ρ>0，對(duì)任意的x,y∈E，有

‖f(t,x)-f(t,y)‖≤ρ‖x-y‖

則稱(chēng)f是L1-Carathéodory函數(shù)。

定義2.2若x:[0,a]→E滿(mǎn)足下列條件：

(ⅰ)對(duì)任意t∈[0,a]，(t,x(t))∈J×E；

(ⅱ)對(duì)任意t∈[0,a]，t≠τk(x(t))(k∈Z+)，函數(shù)x(t)是連續(xù)的，且

(ⅲ)若t∈[0,a]，t=τk(x(t))，t≠0，函數(shù)x(t)左連續(xù)，即x(t+)=x(t)+Ik(x(t))，

且對(duì)每個(gè)j∈Z和δ>0，s≠τj(x(t))，t

tk)Ik(x(tk))，t∈J

是初值問(wèn)題(2)的mild的解。

引理2.3(Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)E是Banach空間，Ω?E是有界凸閉集，若T,S:Ω→E滿(mǎn)足：(ⅰ)對(duì)任意的x,y∈Ω，有Sx+Ty∈Ω；(ⅱ)算子S是壓縮的；(ⅲ)T在Ω上是全連續(xù)的。則T+S在Ω內(nèi)至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

3 主要結(jié)果

對(duì)任意0

(H1)f是L1-Carathéodory函數(shù)，且存在r>0，使得對(duì)每個(gè)x∈Ωr及t∈J，有

‖f(t,x)‖≤p1‖x‖+p0

其中p1，p0為常數(shù)；

(H2)存在常數(shù)Lg≤1及r>0，使得對(duì)任意的0≤t1≤t2≤a，x,y∈Ωr，有

g(t1,x)≤g(t2,x)，‖g(t,x)-g(t,y)‖≤Lg‖x-y‖，

(H3)函數(shù)τk∈C(J,E)，k=1,…,m是不增函數(shù)，且存在r>0，對(duì)任意的x∈Ωr，有

0<τ1(x1)<τ2(x2)<…<τm(xm)

(3)

(H4)存在r>0對(duì)所有的t∈J，x∈Ωr，有

定理3.1若假設(shè)條件(H1)～(H5)成立，且

(4)

則初值問(wèn)題(2)在[0,a]上有唯一mild解x(t)∈PC(J,E)。

證明首先，定義積分算子F:PC(J,E)→PC(J,E)：

(5)

和算子S:C(J,E)→C(J,E)：

(Sx)(t)=g(t,x(t))-T(t)g(0,x0)，t∈J

(6)

令H=F+S，則問(wèn)題(2)的解等價(jià)于算子H的不動(dòng)點(diǎn)。下證H有不動(dòng)點(diǎn)。

具體分為以下三步：

(Ⅰ)存在r>0，對(duì)任意的x,y∈Ωr，Sx+Fy∈Ωr，反設(shè)不成立，對(duì)任意的r>0，x,y∈Ωr，有‖Sx(t)+Fy(t)‖>r。由條件(H2)，(H1)和(H5)可知，對(duì)任意的x,y∈Ωr，t∈J，有

x(t))-T(t)g(0,x0)‖+‖T(t)x0‖+

其中‖g(a,x0)-g(0,x0)‖=G，從而

r<‖(Sx)(t)+(Fy)(t)‖≤(Lg+Map1+mML)r+(Lg+M)‖x0‖+Map0+MG

上式兩端同時(shí)除以r，且當(dāng)r→∞時(shí)取極限，得1

(Ⅱ)證明S是壓縮的，存在r>0，對(duì)任意的x,y∈Ωr，t∈J，有

‖(Sx)(t)-(Sy)(t)‖=‖g(t,x(t))-g(t,y(t))‖≤Lg‖x-y‖

(Ⅲ)證明F全連續(xù)。設(shè){xn}是一個(gè)收斂序列，且在PC(J,E)中收斂到x，則

‖F(xiàn)(t,xn(t))-F(t,x(t))‖PC≤M‖f(s,xn(s))-f(s,x(s))‖L1+mML‖xn-x‖PC→0(n→∞),

故‖F(xiàn)(t,xn(t))-F(t,x(t))‖→0(n→∞)。且存在r>0，對(duì)任意的x∈Ωr，同(Ⅰ)用反證法有

因此F:Ωr→Ωr連續(xù)。對(duì)任意的ε>0，令

對(duì)任意的x∈Ωr，t∈J，由(H1)得

M(p1‖x‖+p0)a≤M(p1r+p0)ε

由T(t)的緊性知，(FεΩr)(t)={(Fεx)(t):x∈Ωr}為E中的相對(duì)緊集，由(5)式知，存在r>0，對(duì)任意的x∈Ωr，t∈J，有

即(FεΩr)(t)為(FΩr)(t)中的相對(duì)緊的M(p1r+p0)ε網(wǎng)，故(FΩr)(t)為E中的逐點(diǎn)相對(duì)緊集。

另一方面，存在r>0，對(duì)任意的x∈Ωr，t′,t″∈J，t′

tk)Ik(x(tk))‖≤‖T(t″)-T(t′)‖‖x0‖+

由T(t)(t≥0)的等度連續(xù)性可知，上式右端趨于零(當(dāng)t″→t′時(shí))，且與t′與t″的取值無(wú)關(guān)，從而(FΩr)(t)={(Fx)(t):x∈Ωr}等度連續(xù)，故由Arzela-Ascoli定理可得FΩr相對(duì)緊，從而F:Ωr→Ωr全連續(xù)。

綜上，H在PC(J,E)上存在不動(dòng)點(diǎn)。定義方程

rk,1(t)=τk(x1(t))-t，t≥0

由條件(H3)知rk,1(0)≠0，t∈J，k=1,…,m。若rk,1(t)≠0，k=1,…,m，則t≠τk(x1(t))，t∈J，k=1,…,m，那么

是初值問(wèn)題(2)的mild解。

當(dāng)t∈J，r1,1(t)=0時(shí)，由于r1,1(0)≠0且r1,1是連續(xù)的，故存在t1>0，使得

r1,1(t1)=0，r1,1(t)≠0，t∈[0,t1]

因此，由條件(H3)可得，rk,1(t)≠0，t∈[0,t1]，k=1,…,m。

定義方程

rk,2(t)=τk(x2(t))-t，t>t1

若rk,2(t)≠0，t∈(t1,a]，k=1,…,m，則

是初值問(wèn)題的(2)的mild解，且滿(mǎn)足

當(dāng)r2,2(t)=0，t∈(t1,a]時(shí)，由條件(H3)可知

由于r2,2是連續(xù)的，故存在t2>t1，使得r2,2(t2)=0，r2,2(t)≠0，t∈(t1,t2]，故由條件(H3)可得

rk,2(t)≠0，t∈(t1,t2]，k=2,…,m

L1(t)=τ1(x2(t)-g(t,x2(t)))-t

(7)

由條件(H3)得

因此由(7)式得非負(fù)最大值點(diǎn)s1∈(t1,t2]，有

由于

則

與(3)式矛盾!從而r1,2(t)≠0，t∈(t1,t2]。

歸納得，初值問(wèn)題(2)在(tm,a]上存在mild解，記為xm+1(t)∈PC(J,E)，且有如下形式:

構(gòu)造函數(shù)x(t)如下:

顯然x(t)∈PC(J,E)，且滿(mǎn)足定義2.1的條件，因此，

tk)Ik(x(tk))，t∈J

為初值問(wèn)題(2)在[0,a]上的mild解。

下證唯一性，設(shè)x,y∈PC(J,E)均為初值問(wèn)題(2)的解，對(duì)任意的t∈(tk,tk+1]，有

mML‖x(t)-y(t)‖PC

對(duì)上式取上確界，可得

故

‖x(t)-y(t)‖PC≤

令z(t)=‖x(t)-y(t)‖，從而由Bellman不等式可知，在(tk,tk+1]上有z(t)=0，即x(t)=y(t)。因此，初值問(wèn)題(2)在[0,a]上有唯一解x(t)∈PC(J,E)。