概周期系數(shù)的時(shí)滯廣義系統(tǒng)概周期解的存在性

黃記洲

(1.廣東清遠(yuǎn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院；2.廣東清遠(yuǎn)開放大學(xué)，廣東 清遠(yuǎn) 511510)

1 引言與研究背景

生物數(shù)學(xué)模型與微分方程有著密切的關(guān)系，以微分方程建立的生物系統(tǒng)往往有其特性，即周期性和概周期性，因此，研究微分方程的解的周期性和概周期性有著極其重要的意義。近年來有不少的專家學(xué)者對(duì)微分方程的概周期解的存在性作了研究，得到了滿意的結(jié)果。如文獻(xiàn)[1-3]。

文獻(xiàn)[4-5]黃建吾、孟艷雙等分別以指數(shù)型二分性及Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理研究了微分方程組

周期解和概周期解的存在問題，并得到此類微分方程組的周期解和概周期解存在的充分性條件。

文獻(xiàn)[6]運(yùn)用二分性及Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，研究一類時(shí)滯概周期系數(shù)的五次微分方程組

并得到了此類微分方程概周期解存在的充分條件。

對(duì)于廣義系統(tǒng)

(1)

當(dāng)常量m≥1的整數(shù)，τ∈R,變量t∈R，a(t),b(t),c(t),d(t)都是概周期函數(shù)，f(t,y),g(t,y)定義在R2上的連續(xù)函數(shù)且對(duì)y∈R關(guān)于t的一致概周期函數(shù)。此系統(tǒng)是否也有概周期解呢？下面我們就研究這個(gè)問題。

定義1[7]設(shè)線性系統(tǒng)

x′=A(t)x

(2)

這里A(t)是定義在某區(qū)間J上的連續(xù)矩陣函數(shù)，常見的情況為J=R+,R-或R，若存在投影矩陣P和k>0，α>0，β>0的常數(shù)，使得線性系統(tǒng)(2)的基解矩陣X(t)對(duì)任意s,t∈J滿足

|X(t)PX-1(s)|≤kexp(-α(t-s)),t≥s,

|X(t)(E-P)X-1(s)|≤kexp(-β(s-t)),s≥t,

則稱線性系統(tǒng)(2)在J上滿足指數(shù)型二分性。

引理1[8]線性系統(tǒng)(2)有指數(shù)型二分性，A(t)是概周期矩陣函數(shù)，f(t)∈AP(En)，則非齊次線性系統(tǒng)x′=A(t)x+f(t)有惟一界周期

引理2[9]設(shè)fn(t)(n=1,2,3…)為區(qū)間I上可微的函數(shù)族，若{fn′(t)}在I上一致有界，則{fn(t)}在I上等度連續(xù)。

引理3[10](Ascoli定理)若{fm(t)|fm:R→Rn}(m,n=1,2,3…)一致有界，等度連續(xù)。則{fm(t)}必存在子列{fmk(t)}在任意有限區(qū)間上一致收斂。

引理4[10](Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)B是Banach空間中的有界閉凸集，若T:B→B連續(xù)，且TB緊致，則T在B上必有不動(dòng)點(diǎn)。

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)系統(tǒng)(1)滿足下列條件：

(Ⅰ)f(t,y),g(t,y)定義在R2上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)y∈R關(guān)于t的一致概周期函數(shù)，且分別滿足Lipschitz條件。即存在正常數(shù)L1,L2，對(duì)于任意(t,y1),(t,y2),(t,y3),(t,y4)∈R2使得

|f(t,y1)-f(t,y2)|≤L1|y1-y2|,|g(t,y3)-g(t,y4)|≤L2|y3-y4|

則方程(1)存在概周期解。

現(xiàn)把(1)化為

x′=a(t)x-c(t)ym+1+[c(t)-b(t)]ym+1+f(t,y(t-τ))

y′=c(t)xym+a(t)y+[d(t)-a(t)]y+g(t,y(t-τ))

對(duì)于任意h(t)∈B1,我們考慮線性系統(tǒng)

x′=a(t)x-c(t)[h(t)]my+[c(t)-b(t)][h(t)]m+1+f(t,h(t-τ))
y′=c(t)[h(t)]mx+a(t)y+[d(t)-a(t)]h(t)+g(t,h(t-τ))

(3)

其齊次系統(tǒng)

x′=a(t)x-c(t)[h(t)]my

y′=c(t)[h(t)]mx+a(t)y

(4)

可以找出它的基礎(chǔ)解系

當(dāng)t≥s時(shí)有

由定義1，系統(tǒng)(4)具有投影為P=E(單位矩陣)的指數(shù)型二分性。由引理1得系統(tǒng)(3)有唯一概周期解

我們作一個(gè)映射T：B1→B1，Th(t)=yh(t)

(ⅰ)?h(t)∈B1

所以Th(t)∈B1即TB1?B1

(ⅱ)T是緊致的。事實(shí)上,對(duì)于任意hn(t)∈B1,記yhn(t)=Thn(t)，則

即yhn(t)一致有界?？紤]

(ⅲ)T是連續(xù)的．事實(shí)上,對(duì)于任意

考慮

所以

hn(t-τ)→h(t-τ)，明顯地，當(dāng)n→∞時(shí)，有|Thn-Th|→0，因此T是一個(gè)連續(xù)的算子。

由引理4(Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理)知，系統(tǒng)(3)有不動(dòng)點(diǎn)，記為h(t)。由h(t)=Th(t)=yh(t)有

注：當(dāng)m=4時(shí)，就是文獻(xiàn)[6]的系統(tǒng)，因此，定理1推廣了文獻(xiàn)[6]的定理1。

定理1的條件可以進(jìn)一步減弱，可不要求f(t,y),g(t,y)對(duì)y∈R關(guān)于t的一致概周期函數(shù)，便得到下列定理。

定理2設(shè)系統(tǒng)(1)滿足下列條件：

(Ⅰ)f(t,y),g(t,y)定義在R2上的連續(xù)函數(shù)并有f(t,0)=g(t,0)=0，且分別滿足Lipschitz條件。即存在正常數(shù)L1,L2，對(duì)于任意(t,y1),(t,y2),(t,y3),(t,y4)∈R2使得

|f(t,y1)-f(t,y2)|≤L1|y1-y2|,|g(t,y3)-g(t,y4)|≤L2|y3-y4|；

則系統(tǒng)(1)存在概周期解。

定理2的證明與定理1相類似，所以這里就不再贅述了。

注這個(gè)結(jié)論推廣了文獻(xiàn)[6]的定理2。

3 結(jié)語

本文運(yùn)用二分性、不動(dòng)點(diǎn)定理等理論，研究概周期系數(shù)的時(shí)滯廣義系統(tǒng)概周期解的存在性，得到此系統(tǒng)的概周期解存在的充分性定理，推廣和豐富了文獻(xiàn)[4-6]的結(jié)果，理論上解決了具有時(shí)滯的生物系統(tǒng)在某一狀態(tài)變化問題。當(dāng)系統(tǒng)(1)第二個(gè)方程的d(t)y的變?yōu)閐(t)ym,其他項(xiàng)不改變，這樣的系統(tǒng)是否也存在概周期解，如果存在，它的充分性定理是怎樣的呢？這是可以進(jìn)一步研究和探討的問題。