基于核偏最小二乘法的濕法冶金萃取過程建模

陳 溥

(柳州鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣西 柳州 545616)

目前，國內(nèi)外有關(guān)銅溶劑萃取過程中的建模研究較少，建立使用模型對于萃取過程中的自動控制有重要意義[1-5]。建立關(guān)鍵生產(chǎn)指標(biāo)預(yù)測模型，對萃取過程的控制和優(yōu)化至關(guān)重要，但影響過程操作的重要動力學(xué)傳質(zhì)速率無法測量。研究提出了一種適用于銅萃取過程中的結(jié)合機理模型和數(shù)據(jù)模型的混合模型。該模型由參數(shù)未知(傳質(zhì)速率)的機理模型和參數(shù)未知的數(shù)據(jù)預(yù)測模型組合而成。利用核偏最小二乘法(kernel partial least square，KPLS)建立傳質(zhì)速率預(yù)測模型，通過仿真與BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混合模型進行對比分析。

1 銅溶劑萃取過程概述

銅萃取過程可分解為萃取、洗滌、反萃取3個階段[6-7]。

萃取階段：含有銅離子的水相與有機相混合，銅離子被萃入到有機相[8]。洗滌階段：負(fù)載有機相用洗滌劑洗滌，將夾帶的金屬離子洗出有機相。反萃取階段：用反萃取劑對洗滌后有機相進行反萃取，使銅離子返回水相。

影響銅溶劑萃取過程的因素有相比、溫度、水相pH、萃取劑濃度、被萃取金屬離子濃度等[9-10]。

2 混合建模

銅萃取過程機理模型的未知參數(shù)實際上無法測量，所以，提出了一種混合模型。該模型將機理模型和數(shù)據(jù)模型相結(jié)合，由參數(shù)(傳質(zhì)速率)未知的機理模型和參數(shù)未知的數(shù)據(jù)預(yù)測模型組成[11]。用KPLS法分別建立數(shù)據(jù)預(yù)測模型。

2.1 動態(tài)機理模型

動態(tài)機理模型描述萃取過程中組分濃度隨時間的變化，是溶劑萃取過程控制系統(tǒng)的依據(jù)，有助于實現(xiàn)組分濃度優(yōu)化控制。

在建立動態(tài)模型之前，對于多級逆流萃取過程做出以下假設(shè)：

1)兩相完全混合，并且僅在混合器中進行傳質(zhì)；

2)兩相不混溶，澄清器沒有返混和逆流現(xiàn)象；

3)傳質(zhì)系數(shù)、萃取平衡等溫線參數(shù)和效率參數(shù)不恒定，根據(jù)離線測量估算[12]；

4)萃取過程中兩相體積不變；

5)萃取過程中各組分濃度隨時間變化，是時間的函數(shù)。

根據(jù)物料平衡關(guān)系，建立第i階段萃取過程的動力學(xué)模型，見式(1)～(3)[13]。

(1)

(2)

ρoi(t)=f(ρa(i+1)(t-ti),ρa(i+1)(t),qa(t),qo(t),A,B)。

(3)

式中：Vi—i級混合澄清器中混合相體積，L；qa、qo—水相、有機相流量，m3/h；ρa(i+1)為i+1級澄清器出口水相中Cu2+質(zhì)量濃度，g/L；ρo(i-1)為i-1級澄清器出口的有機相Cu2+質(zhì)量濃度，g/L；t、ti—萃取、滯后時間，h；Ki為第i級傳質(zhì)系數(shù)，L/s；ρoi(t)-ρo*i(t)為傳質(zhì)的驅(qū)動力，kN/m3；ρo*i為第i級達到平衡時有機相中Cu2+質(zhì)量濃度(理想狀態(tài))，g/L，與上層Cu2+進入水相的濃度、下一階段進入有機相的濃度、水相和有機相的流量、效率參數(shù)(α)和平衡萃取線常數(shù)A、B之間存在未知的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)i=N時，Ki[ρoi(t)-ρo*i(t)]為傳質(zhì)速率，g/(L·h)。

用McCabe-Thiele圖計算平衡關(guān)系確定萃取級數(shù)，萃取部分理論平衡值根據(jù)水相和有機相中Cu2+及水相和有機相流量比確定。萃取平衡值x*計算公式[14]為

(4)

式中：a=-qa/qo；b=ρo(i-1)-aρa(i+1)，g/L。

α受有機相中試劑濃度和水相料液酸度影響。根據(jù)理論濃度平衡值x*(水相)和y*(有機相)、輸入的水相濃度和有機相中Cu2+質(zhì)量濃度ρin及實際Cu2+質(zhì)量濃度平衡值ρout估算每個萃取單元的萃取效率。見式(5)，該值接近于1[15]。

(5)

當(dāng)萃取達到平衡時，萃取過程處于穩(wěn)定狀態(tài)，見式(6)[16]：

q(tend)[ρin(tend)-ρout(tend)]-
KiV[ρout(tend)-ρ*out(tend)]=0，

(6)

一般來說，ρout(tend)-ρ*out(tend)非常小。用ε表示，ρout(t)-ρ*out(t)，導(dǎo)出傳質(zhì)系數(shù)K，見式(7)[17]：

(7)

傳質(zhì)系數(shù)受多種因素影響，如操作條件、反應(yīng)器尺寸等。在交叉參考微反應(yīng)器中，銅的傳質(zhì)系數(shù)為31.12～214.34 L/s[18]；混合澄清器的K=50～400 L/s。

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有3層，輸入層、輸出層和隱藏層，每層有多個節(jié)點[19]。節(jié)點是神經(jīng)元，神經(jīng)元之間的連接線為權(quán)重?；綛P網(wǎng)絡(luò)如圖1所示。

圖1 基本BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

假設(shè)輸入層、輸出層、隱含層節(jié)點數(shù)分別為r、m、n；xi為輸入層i神經(jīng)元的輸入值；zk、sk分別為隱含層第k個節(jié)點的輸出值和凈輸入值；yj、sj分別為輸出層j節(jié)點的實際輸出和凈輸入值；vik、wkj分別為輸入層i節(jié)點與隱含層k節(jié)點和隱含層k節(jié)點與輸出層j節(jié)點之間的連接權(quán)值。

正向傳輸過程中，輸出層和隱含層的輸出計算公式見(8)～(11)[20]。

zk=f(sk),k=1,2,……,n；

(8)

(9)

yj=f(sj)，j=1,2,……,m；

(10)

(11)

在式(8)～(11)中，選擇激勵函數(shù)f(x)=1/(1+e-x)，其導(dǎo)數(shù)為f’=f(1-f)。通常，誤差函數(shù)(也稱性能函數(shù))E可以評估網(wǎng)絡(luò)性能，E越小，網(wǎng)絡(luò)性能越好。見式(12)，性能函數(shù)取均方誤差函數(shù)。

(12)

誤差反向傳播將誤差定義擴展到隱含層至輸入層，見式(13)。

(13)

標(biāo)準(zhǔn)BP算法用梯度下降法來調(diào)整層間權(quán)重，見式(14)、(15)。

(14)

(15)

如果η較大，則修正速度快且易振蕩；η較小時，則會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時間長且收斂速度慢。η取值范圍為0.01～0.8。BP算法流程如圖2所示。

圖2 BP算法流程

2.3 核偏最小二乘法

偏最小二乘法(partial least square，PLS)是一種多元統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析方法，可以解決普通多元回歸方法無法解決的許多問題[21]。偏最小二乘方法假定感興趣區(qū)域由一些潛在向量決定，這些向量是觀測值的線性組合。假設(shè)有向量個因變量{y1,y2,…,yq}和p個自變量{x1,x2,…,xp}，觀測n個樣本點。X={x1,x2,…,xp}為輸入變量的n×p矩陣；Y={y1,y2,…,yq}為相應(yīng)輸出變量的(n×p)矩陣。

首先，從X和Y中提取得分向量t1和u1(t1為x1,x2,…,xp的線性組合，u1為y1,y2,…,yq的線性組合)，要求t1和u1盡可能代表矩陣X和Y。

t1=Xw1；

(16)

u1=Yc1。

(17)

然后，建立X對t1、Y對u1的回歸方程，見式(18)(19)，且滿足式(20)。

X=t1p1T+E1；

(18)

Y=u1q1T+F1；

(19)

u1=f1(t1)+r1，

(20)

式中，p1、q1分別為得分向量對應(yīng)的載荷向量。

殘差計算公式為(21)(22)。

E1=X-t1p1T；

(21)

F1=Y-u1q1T。

(22)

提取E1和F1得分向量，重復(fù)上述算法，直到得到第a個得分向量。殘差Ea和Fa幾乎沒有任何關(guān)鍵信息。

由于銅萃取過程的動力學(xué)反應(yīng)為非線性，PLS算法無法解決該問題，因此引進核偏最小二乘法。該方法是在核希爾伯特空間(Reproducing Kemel Hilbert Space，RKHS)中建立的機器學(xué)習(xí)算法之一。用該方法建立模型的目的是最小化結(jié)構(gòu)風(fēng)險，即在(RKHS)中尋找最優(yōu)模型。KPLS遵循PLS基本思想，它們的區(qū)別在于PLS建立從屬變量(y)和自變量(x)之間的相關(guān)性，而KPLS僅將自變量(x)投影到RKHS上，并且在RKHS中找到Ф(x)和y的相關(guān)性。KPLS的本質(zhì)是在特征空間中構(gòu)建PLS模型，有效地獲得非線性回歸模型。

同樣，觀測n個樣本，所謂“核技術(shù)”，實際上是Ф(xi)TФ(xj)=K(xi,xj)?？梢钥吹?，ФФT為所有映射的輸入數(shù)據(jù)點{Ф(xi)}n(i=1)之間交叉內(nèi)積運算的核Gram矩陣K(n×n)，因此，可以用核函數(shù)來代替非線性映射。通常，當(dāng)提取t分量后，矩陣見式(23)。

K←(I-ttT)K(I-ttT)=
K-ttTK-KttT+ttTKttT，

(23)

式中，I為n維單位矩陣。對PLS算法的非線性校正也可以得到類似的KPLS算法。修正的結(jié)果是從KYYT和YYT矩陣中提取得分向量t、u，步驟如下：

步驟1，隨機設(shè)定初始值u(可設(shè)定為u等于Y列中的任意一列)；

步驟2，根據(jù)t=ФФTu=Ku，計算得分向量；

步驟3，根據(jù)c=YTt計算系數(shù)向量；

步驟4，計算得分向量；

步驟5，重復(fù)2～5步，直到收斂；

步驟6，矩陣K和Y進行縮并，K←(I-ttT)K(I-ttT)，Y←Y-ttTY；

步驟7，返回步驟1，計算下一個t、u。

回歸系數(shù)矩陣B通過公式(24)計算得到，

B=ФTU(TTKU)-1TTY。

(24)

預(yù)測的訓(xùn)練數(shù)據(jù)見式(25)，

Y*=ФB=TTTY。

(25)

KPLS算法流程如圖3所示。

圖3 KPLS算法流程

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 仿真參數(shù)

混合模型由參數(shù)未知(傳質(zhì)速率)的機理模型和參數(shù)未知的數(shù)據(jù)預(yù)測模型組成。通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和KPLS建立傳質(zhì)速率預(yù)測模型，并與機理模型形成混合模型。數(shù)據(jù)模型是黑盒模型。在未知傳質(zhì)速率模型結(jié)構(gòu)和相關(guān)參數(shù)情況下，可以獲得傳質(zhì)速率背后的過程變量之間的復(fù)雜關(guān)系，從而降低建模難度。在考慮過程的物理特性的同時，機理模型和數(shù)據(jù)模型組合有效地利用了相關(guān)的數(shù)據(jù)信息。這種混合模式具有很高的精度，適合于實際工業(yè)生產(chǎn)過程，為銅溶劑萃取工藝先進控制系統(tǒng)的開發(fā)和在線優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。銅萃取混合模型如圖4所示。

圖4 銅萃取過程混合模型

計算機為CPU i5-2450m，內(nèi)存為8 Gb。仿真軟件為matlab2018。實驗室實際采集200組萃取過程穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)，100組用于訓(xùn)練，100組用于測試。為了驗證和比較上述預(yù)測模型性能，利用以下3個性能指標(biāo)對各算法性能進行評價。

1)均方根誤差(RMSE)

(26)

2)平均絕對誤差(MAE)

(27)

3)平均絕對百分比誤差(MAPE)

(28)

式中：xi和x*i分別為銅傳質(zhì)速率實際值和預(yù)測值，M為預(yù)測樣品總數(shù)。

3.2 仿真分析

建立傳質(zhì)速率黑箱模型，輸出傳質(zhì)速率預(yù)測值。黑箱模型的輸入對應(yīng)于傳輸速率估計值的影響因素。相同條件下，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和KPLS對傳輸速率進行建模。圖5為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及KPLS黑箱模型預(yù)測效果?？梢钥闯觯築P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練效果良好，表明BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)黑箱模型具有準(zhǔn)確的預(yù)測能力，非線性映射能力較好；但訓(xùn)練中收斂速度較慢，并且在訓(xùn)練集比較小時，容易發(fā)生過擬合；KPLS將初始輸入映射到高維特征空間，有效解決了非線性回歸問題。

a—BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型；b—KPLS預(yù)測模型。圖5 黑箱預(yù)測結(jié)果

2個數(shù)據(jù)模型性能指標(biāo)見表1。

表1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和KPLS數(shù)據(jù)模型預(yù)測性能指標(biāo)

數(shù)據(jù)模型的正確性在混合模型構(gòu)建中起重要作用。以上2種算法能夠準(zhǔn)確預(yù)測傳質(zhì)速率。由表1性能指標(biāo)對比結(jié)果看出，KPLS方法效果較好。數(shù)據(jù)模型的準(zhǔn)確性解決了傳質(zhì)速率無法測量的問題，這為建立更接近實際過程的混合模型奠定了基礎(chǔ)。

對比單一模型和混合模型預(yù)測結(jié)果可以說明上述銅萃取過程混合模型的有效性，對比結(jié)果如圖6所示，各模型的性能指標(biāo)見表2。

a—BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；b—KPLS。

表2 單一模型和混合模型預(yù)測性能指標(biāo)

由圖6看出：機理模型能夠很好預(yù)測過程趨勢；然而，由于萃取過程較為復(fù)雜，預(yù)測結(jié)果與實際值誤差較大；單一數(shù)據(jù)模型相對于機理模型需要考慮的因素更多，預(yù)測效果優(yōu)于機理模型。由于數(shù)據(jù)模型不使用已知的經(jīng)驗知識，僅依賴數(shù)據(jù)獲得輸入輸出之間的關(guān)系，純數(shù)據(jù)模型的泛化能力差，所以預(yù)測值和實際值誤差較大?；旌夏Ｐ蛯?shù)據(jù)模型和機理模型優(yōu)點相結(jié)合，精度較高，泛化能力強，有良好的預(yù)測效果，對銅溶液萃取工藝先進控制系統(tǒng)的開發(fā)和操作優(yōu)化有一定參考性?；贙PLS的混合模型性能較優(yōu)，RMSE為0.066 52，MAE為0.043 12，MAPE為0.019 82；對銅溶液萃取工藝先進控制系統(tǒng)的開發(fā)和操作優(yōu)化有一定參考性。

4 結(jié)論

提出了一種混合模型，該模型由存在未知參數(shù)(傳質(zhì)速率)的機理模型和未知參數(shù)的數(shù)據(jù)預(yù)測模型組成，通過數(shù)據(jù)模型預(yù)測機理模型的未知參數(shù)(傳質(zhì)速率度)?；旌夏Ｐ托阅艿姆治鼋Y(jié)果表明，基于KPLS的混合模型性能較優(yōu)，均方根誤差、平均絕對誤差、平均絕對百分比誤差都較低，可作為銅萃取過程中自動控制系統(tǒng)開發(fā)的依據(jù)?？紤]到實驗室設(shè)備和數(shù)據(jù)規(guī)模，建模方法還處于初級階段，還有待進一步完善。