理解基本圖形關(guān)系 提升幾何推理能力

文 董榮玉

四邊形既可以以平行四邊形、矩形、菱形、正方形出現(xiàn)，也可以用普通身份出現(xiàn)；試題中，既可以考查四邊形的知識(shí)點(diǎn)，也可以包羅三角形等其他知識(shí)點(diǎn)，而這其中少不了與圓的結(jié)合。下面，老師就結(jié)合一些中考題與同學(xué)們共同感受一下四邊形與圓的完美呈現(xiàn)。

一、開(kāi)門見(jiàn)山，直截了當(dāng)

例1（2020·浙江湖州）如圖1，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）。

圖1

A.70° B.110° C.130° D.140°

【解析】直接運(yùn)用四邊形內(nèi)接于圓的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。所以∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵。

例2（2020·山東濱州）如圖2，⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為E、F、G、H，ED與⊙O相交于點(diǎn)M，則sin∠MFG的值為_(kāi)____。

圖2

【解析】連接EG，如圖3。因?yàn)椤袿是正方形ABCD的內(nèi)切圓，所以，EG=BC。根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得∠MFG=∠MEG，所以。故答案為。

圖3

【點(diǎn)評(píng)】本題是以正方形內(nèi)切圓為背景，通過(guò)利用切線性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理得到角和線段的關(guān)系。求三角函數(shù)值需將此角放置于直角三角形中，而直角也是由切線得到的。

二、半遮半掩，引人入勝

例3（2019·江蘇鹽城）如圖4，點(diǎn)A、B、C、D、E在⊙O上，且為50°，則∠E+∠C=______°。

圖4

【解析】連接EA，如圖5，構(gòu)造四邊形DCAE為⊙O的內(nèi)接四邊形。根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到∠DEA+∠C=180°，結(jié)合為50°，得到∠BEA=25°，所以∠DEB+∠C=180°-25°=155°。故答案為155。

圖5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理。作輔助線構(gòu)造出圓內(nèi)接四邊形，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵。

三、深藏不露，魅力無(wú)窮

例4（2019·山東德州）如圖6，點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等，若∠ABC=40°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）。

圖6

A.130° B.140° C.150° D.160°

【解析】由點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等可得到OA=OB=OC=OD。根據(jù)圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合），可知點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上，所以作出圓O，如圖7。因此，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC+∠ADC=180°，所以∠ADC=180°-∠ABC=140°。故選B。

圖7

【點(diǎn)評(píng)】本題表面上是四邊形的圖形，如果直接求解會(huì)比較麻煩。當(dāng)題目中出現(xiàn)到同一點(diǎn)的距離相等時(shí)，我們可以巧妙借助隱藏的輔助圓，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)就可以輕松解決。

四、拓展外延，精彩提升

例5（2019·江蘇南京）如圖8，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，點(diǎn)C、D在⊙O上。若∠P=102°，則∠A+∠C=________。

圖8

【解析】本題是五邊形和圓的結(jié)合，沒(méi)有直接聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)，所以要構(gòu)造有關(guān)聯(lián)的圖形。連接AB，如圖9，因?yàn)镻A、PB是⊙O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理（過(guò)圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長(zhǎng)相等），得PA=PB；再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，由∠P=102°，得（180°-102°）=39°；根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得∠DAB+∠C=180°，所以∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°。故答案為219°。

圖9

【點(diǎn)評(píng)】本題將五邊形分割成四邊形和三角形，從而可以利用切線長(zhǎng)定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。正確作出輔助線，把多邊形轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)接四邊形，掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵。