圓中易錯(cuò)點(diǎn)分析

文 耿恒考（特級(jí)教師）

“圓”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是許多同學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。由于對(duì)“圓”的認(rèn)識(shí)、理解和掌握難度較大，因此，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中應(yīng)及時(shí)匯總自己的常錯(cuò)問題，精心選擇有代表性的題目，通過細(xì)心分析歸納來化解難點(diǎn)。

一、忽略了點(diǎn)與圓的不同位置關(guān)系

例1平面內(nèi)有一個(gè)⊙O和一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離為8cm，最小距離為2cm，求⊙O的半徑長。

【錯(cuò)因分析】對(duì)于這個(gè)問題，同學(xué)們更多的關(guān)注點(diǎn)在“點(diǎn)到圓上的最大距離和最小距離”上，無暇顧及點(diǎn)與圓的不同位置關(guān)系，往往只會(huì)考慮點(diǎn)P在圓外的一種情況，而忽略了點(diǎn)P在圓內(nèi)的情形。

【正確解答】當(dāng)點(diǎn)P在⊙O外時(shí)（如圖1），直線PO交⊙O于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離PB=8cm，最小距離PA=2cm，所以⊙O的半徑r=3cm；當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)（如圖2），直線PO交⊙O于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離PB=8cm，最小距離PA=2cm，所以⊙O的半徑r=5cm。

圖1

圖2

二、忽略了一條弦所對(duì)的弧有兩條、所對(duì)的圓周角有兩組

例2如圖3，AB是直徑為8cm 的⊙O的一條弦，如果AB=4cm，那么弦AB所對(duì)的弧長為______，弦AB所對(duì)的圓周角為______°。

圖3

【錯(cuò)因分析】同學(xué)們關(guān)注較多的是劣弧，往往忽略一條弦所對(duì)的弧有兩條，且兩條弧的和為一個(gè)圓周長；一條弦所對(duì)的圓周角有兩組，且它們是互補(bǔ)關(guān)系。

【正確解答】⊙O中弦AB所對(duì)的劣弧長為，弦AB所對(duì)的優(yōu)弧長為?！袿中弦AB所對(duì)的圓周角為30°或150°。

三、忽略了弦與圓心的不同位置關(guān)系

例3已知，內(nèi)直徑為100cm 的下水管道的橫截面是圓，截面圓中水面的寬度為80cm，求管道內(nèi)水面的深度。

【錯(cuò)因分析】同學(xué)們的思維常將水面定位于圓心的下方（如圖4），忽視了水面在圓心上方的情形（如圖5）。

【正確解答】如圖4、圖5，過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，則AC=BC=40cm。連接OA，根據(jù)勾股定理，得OC=。

圖4

圖5

當(dāng)水面在圓心O的下方時(shí)，管道內(nèi)水面的深度為50-30=20（cm）；

當(dāng)水面在圓心O的上方時(shí)，管道內(nèi)水面的深度為50+30=80（cm）。

例4已知，線段AB、CD是半徑為5cm的⊙O中的兩條弦，且AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求兩條弦AB、CD之間的距離。

【錯(cuò)因分析】對(duì)于這類問題，同學(xué)們習(xí)慣于關(guān)注兩條平行弦在圓心同側(cè)，忽略了兩條平行弦在圓心異側(cè)的情形，導(dǎo)致漏解。

【正確解答】如圖6、圖7，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，則OF⊥CD，則AE=3cm，CF=4cm。連接OA、OC，根據(jù)勾股定理，得3（cm）。

圖6

圖7

當(dāng)平行弦AB、CD在圓心O的同側(cè)時(shí)，弦AB、CD之間的距離為4-3=1（cm）；

當(dāng)平行弦AB、CD在圓心O的異側(cè)時(shí)，弦AB、CD之間的距離為4+3=7（cm）。

四、忽略了圓的軸對(duì)稱性質(zhì)

例5已知⊙O的半徑為5cm，AB為直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，CD=6，求AC的長。

【錯(cuò)因分析】對(duì)于這個(gè)問題，根據(jù)題意，同學(xué)們習(xí)慣于畫出圖8，而忽略了與之對(duì)稱的圖9。

圖8

【正確解答】如圖8，連接AC、OC。根據(jù)勾股定理，得OE=4cm，AE=5-4=1（cm）。在Rt△AEC中，由勾股定理得。如圖9，連接AC、OC。根據(jù)勾股定理，得OE=4cm，AE=5+4=9（cm）。在Rt△AEC中，由勾股定理，得。

圖9

本題也可以通過連接AC、OC、BC，利用相似三角形或射影定理來解決。