文 許 頤
不少同學(xué)在解有關(guān)“圓”的綜合題時(shí)往往思路不清,不是找不到方法,就是方法煩瑣。而解決的關(guān)鍵還是在于對(duì)基本性質(zhì)、基本定理、基本圖形的熟練掌握,一些難度較大的問題,往往還需要構(gòu)造輔助線來牽線搭橋。下面我們就以2020年浙江省杭州市的中考題為例,分析一下如何抓住基本圖形找到解題的突破口。
例如圖1,已知AC、BD為⊙O的兩條直徑,連接AB、BC,OE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn),連接EF。
圖1
(1)設(shè)⊙O的半徑為1,若∠BAC=30°,求線段EF的長(zhǎng)。
(2)連接BF、DF,設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P,
①求證:PE=PF。
②若DF=EF,求∠BAC的度數(shù)。
【分析】(1)根據(jù)條件可知△OBC為等邊三角形,且F為OC中點(diǎn),那么根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BF⊥AC,再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可求出EF。
【分析】(2)①本題要證明PF=PE,可以考慮證明△OEF是等腰三角形,利用三線合一證得結(jié)論,但此方法沒有了(1)中的條件,無法證得,故考慮其他方法。如果我們抓住F為OC中點(diǎn)、OE∥BC這兩個(gè)結(jié)論,那么可以過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G,交OB于點(diǎn)H,連接EH,利用相似形得出一組對(duì)邊相等,再結(jié)合這組對(duì)邊平行,從而證明四邊形OEHF是平行四邊形,便可得出結(jié)論。
圖2
(2)①證明:過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G,交OB于點(diǎn)H,連接EH。
∵∠FGA=∠ABC=90°,
【思考】(1)中求EF的長(zhǎng)也可以用(2)中的輔助線,構(gòu)造直角三角形求線段長(zhǎng)是常用思路之一,且為解決問題(2)提供了輔助線的作法。以下是問題(1)的另一種解法。
【分析】(2)②證明PE=PF后,易發(fā)現(xiàn)FE=FB這一結(jié)論,結(jié)合FD=FE,證得FD=FB,根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)推出FO⊥BD,最后得出△AOB是等腰直角三角形即可解決問題。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),體現(xiàn)了綜合題的特點(diǎn)。其難點(diǎn)是添加合適的輔助線,突破口在于對(duì)相似基本形的熟練掌握。
【方法總結(jié)】輔助線的作用是將分散的條件加以集中,構(gòu)造出“基本形”,簡(jiǎn)單來說就是“補(bǔ)形”。“形”指基本性質(zhì)和定理中的基本圖形。本題中就出現(xiàn)多個(gè)“基本形”(如下圖)。等腰三角形中作高,遇到直角三角形斜邊中點(diǎn)連中線,三角形中已知n分點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似基本形,這些常用輔助線都需要我們熟練掌握。
圖3
圖4
圖5