黃 群

(溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院，浙江溫州 325035)

旋轉(zhuǎn)的二分量的Camassa-Holm系統(tǒng)[1]如下所示：

若σ=1，該系統(tǒng)就是經(jīng)典的二分量Camassa-Holm系統(tǒng)[2-4]：

這個系統(tǒng)是完全可積的．

文獻[1]通過線性傳輸理論建立系統(tǒng)（1）柯西問題的局部適定性，基于特征方法和Riccati型微分不等式研究了系統(tǒng)（1）在情況下的爆破準則．受文獻[1]啟發(fā)，本文考慮系統(tǒng)（1）在情況下的解爆破的條件．當時，系統(tǒng)（1）變成如下形式：

通過證明得到，初值在一定的空間條件中，系統(tǒng)（4）的解發(fā)生爆破當且僅當它的一階導(dǎo)數(shù)趨于無窮．此外，給出了系統(tǒng)（4）發(fā)生爆破的初始條件．

1 準備知識

介紹一些符號和屬性．用?表示卷積，Lebesgue空間中的范數(shù)表示為其中1≤p＜∞．L∞(R)包含了所有的本性上確界函數(shù)，若f為Lebesgue可測函數(shù)，其范數(shù)為為了定理證明，引入特征方法．設(shè)q(t,x)是隨著解u(t,x)發(fā)展的粒子軌跡，并且滿足方程

通過計算可得以下與時間無關(guān)的守恒量，記為：

2 爆破準則

考慮系統(tǒng)（4）的初值在一定條件下，系統(tǒng)的相應(yīng)解發(fā)生爆破的充要條件，即解發(fā)生爆破的準則．利用反證法進行證明，關(guān)鍵在于估計如果得到有界，則產(chǎn)生矛盾．

時，(u,)ρ在有限時間內(nèi)爆破．

證明：為了方便運算，把系統(tǒng)（4）改寫為如下形式：

利用這些符號，相應(yīng)地可以把（6）式改寫為如下形式：

假設(shè)T＜∞，（6）式不成立，則存在一個正數(shù)A，使得

對任意x∈R，有以下式子成立：

接下來我們估計函數(shù)f的上確界．

另一方面，可以得到以下估計：

其中常數(shù)C和C1只依賴于

給定任意x∈R和引入一個新的一階微分函數(shù)

滿足

現(xiàn)說明P(t)≤0，t∈ [ 0,T)．如果不成立，則存在一些t0∈[0,T)，使得P(t0)＞0．令t1=max{t＜t0;P(t)≤ 0}，則P(t1)=0，P′(t1) ≥ 0，或等價于

和

同時有：

這與（22）式矛盾．因此有P(t)≤0， ?t∈ [ 0,T)．所以任意選擇x∈R，t∈ [0,T)，有

接下來考慮系統(tǒng)（4）的解爆破的充分條件．先介紹一個對證明爆破準則有重要作用的引理．

引理1[5]令那么對 ?t∈ [0,T)，至少存在一個點ξ(t)∈R，使得函數(shù)m(t)在(0,T)中絕對連續(xù)，且有在(0,T)上幾乎處處成立．

下面給出系統(tǒng)（4）的解發(fā)生爆破的初始條件．

證明：由稠密性知，只要證明定理對s≥3成立即可．注意到系統(tǒng)（4）的第二個方程對x求導(dǎo)得：

進而可以得到以下估計：

從而有：

在[0,T)幾乎處處成立．