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      一階非線性微分方程解法探析

      2015-07-04 05:06:49朱慧媛
      新校園(下) 2015年6期
      關(guān)鍵詞:一階

      摘 要:近代物理、數(shù)學(xué)和天文學(xué)等理論研究中,經(jīng)常會(huì)建立關(guān)于變量的等式,而這些變化率或者導(dǎo)數(shù)構(gòu)建的方程就是微分方程。這其中,不管是一階、二階還是多階的微分方程,都是要基于一階微分方程的解,然后再經(jīng)過(guò)變量的替換求解多階方程。在此,筆者對(duì)基本的一階非線性微分方程的求解方法展開(kāi)討論。

      關(guān)鍵詞:一階;非線性微分方程;伯努利方程

      一、前言

      隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,在很多領(lǐng)域出現(xiàn)了非線性問(wèn)題,如對(duì)宇宙空間的研究、對(duì)地理環(huán)境的考查、對(duì)生物多樣性的分析等,都會(huì)涉及非線性問(wèn)題。在電力生產(chǎn)及電力系統(tǒng),或者與數(shù)學(xué)分支有交叉的研究領(lǐng)域,也常需要用到非線性問(wèn)題的求解來(lái)分析和計(jì)算電力系統(tǒng)的控制問(wèn)題,為電力系統(tǒng)提供一些有價(jià)值的理論依據(jù)。在實(shí)際的生活中,也經(jīng)常會(huì)碰到很多非線性問(wèn)題。而要解決這些問(wèn)題,就需要建立不同模型的非線性方程,通過(guò)求解計(jì)算了解他們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。所以,微分方程的求解過(guò)程對(duì)科學(xué)研究、社會(huì)生活和經(jīng)濟(jì)發(fā)展都有特殊的意義。數(shù)學(xué)作為理論聯(lián)系實(shí)際的一種最為關(guān)鍵的工具,更應(yīng)該發(fā)揮它的巨大作用。而眾多非線性問(wèn)題的高階方程都是以一階微分方程為基礎(chǔ),所以研究清楚一階微分方程的解法,對(duì)其他問(wèn)題的解決有重大的推動(dòng)作用。本文列舉一階非線性微分方程中兩種常見(jiàn)的解法,對(duì)其展開(kāi)具體的討論和分析。

      二、微分方程的定義及特點(diǎn)

      將一個(gè)未知數(shù)函數(shù)與該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量這三者聯(lián)系起來(lái)建立的等式稱為微分方程。而平時(shí)所說(shuō)的微分方程的階數(shù)就是指該方程中未知數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。如像y′+P(x)y=f(x)這個(gè)方程,導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為一階,所以就稱之為一階微分方程。

      我們?cè)诮鉀Q一些非線性問(wèn)題時(shí)第一步要做的就是建立微分方程,然后再找出能滿足條件的對(duì)應(yīng)函數(shù),將這一函數(shù)代入原方程能使等式兩邊恒成立,這一個(gè)過(guò)程就是微分方程的求解過(guò)程,找到的這一函數(shù)就稱為該微分方程的解。如函數(shù)y=f(x)存在n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)y(n),如果有等式F(x,y,y1,yn,…,y(n))=0,那么y=f(x)就稱為該微分方程的解。而對(duì)于一階微分方程,實(shí)際上就是該方程的一個(gè)特例,通常在尋找特解時(shí)需要規(guī)定方程的初始條件或者處值時(shí):如x=x0時(shí),y=y0,而x0和y0就是給定的具體值,再求出微分方程的特解。

      三、微分方程的兩種基本解法

      1.常數(shù)變易法。非線性微分方程沒(méi)有固定的解法,但是很多常見(jiàn)的方程也可以使用線性微分方程中的常數(shù)變易法來(lái)求解。我們可以將其轉(zhuǎn)化為線性微分方程,然后利用線性微分方程中常用的常數(shù)變易法來(lái)進(jìn)行類似的求解過(guò)程。

      2.數(shù)值解法。在電路問(wèn)題中,經(jīng)常碰到一些一階或者多階的非線性問(wèn)題,而通過(guò)數(shù)值方法則可以解出各變量之間對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在這些非線性問(wèn)題中,要想通過(guò)積分求出具體解,則需要規(guī)定很多初始值。利用x0和h得到x1,x2,...xn這些節(jié)點(diǎn),代入方程就可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y1,y2,...yn等值。這就是一階非線性微分方程的差分?jǐn)?shù)值解法。

      歐拉法也有其缺點(diǎn),它選取切線的端點(diǎn)作為每一步的起點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,每一小步都會(huì)有細(xì)微的誤差,所以最終的誤差會(huì)因?yàn)椴綌?shù)的累積而變大。所以在實(shí)際問(wèn)題計(jì)算時(shí),為了減小誤差,提高精度,常采取改進(jìn)的歐拉公式,計(jì)算區(qū)間兩端函數(shù)值的平均值,以此作為直線方程的斜率。原始?xì)W拉法的精度只有一階,而改進(jìn)后的歐拉法的精度為二階。

      四、結(jié)論

      本文所介紹的兩種方法是解高階微分方程的基礎(chǔ),相關(guān)領(lǐng)域的研究人員應(yīng)當(dāng)對(duì)此解法非常熟悉。微分方程反應(yīng)的是變量之間的間接關(guān)系,而求解過(guò)程就是給出這些變量的直觀表達(dá)。由文中也可以看到高階的微分方程都是有一階方程演變而來(lái),所以一階微分方程是基礎(chǔ)。希望通過(guò)對(duì)這些基本解法的探討,可以給予研究人員一些啟發(fā),使高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)和數(shù)學(xué)教育思想的發(fā)展更為長(zhǎng)遠(yuǎn)。

      參考文獻(xiàn):

      [1]曾昕.一類非線性偏微分方程若干求精確解方法的研究[D].大連:大連理工大學(xué),2005.

      [2]李保安.非線性偏微分方程的兩類精確解法[D].長(zhǎng)春:吉林大學(xué),2006.

      [3]于耀東.非線性偏微分方程精確解的研究[D].上海:東華大學(xué),2010.

      [4]梁小磊.非線性偏微分方程及其數(shù)值計(jì)算[D].合肥:合肥工業(yè)大學(xué),2010.

      [5]楊洋.非線性偏微分方程幾種解法的研究[D].南京:南京信息工程大學(xué),2011.

      [6]賈小勇,張小芳.一階偏微分方程完全積分概念的起源[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007(4):675-679.

      作者簡(jiǎn)介:朱慧媛(1985— )女,吉林洮南人,碩士研究生,助教,研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

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