劉曉飛 唐艷華 劉 鑫 李 祺 趙永生

(1.燕山大學并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，秦皇島 066004;2.天津航天機電設備研究所天津市宇航智能裝備技術企業(yè)重點實驗室，天津 300301)

0 引言

相對于串聯(lián)機構，并聯(lián)機構具有更高的剛度、承載力和精度[1]，在工業(yè)領域得到越來越多的應用。由于存在奇異位形導致有效工作空間較小等原因，使傳統(tǒng)并聯(lián)機構的應用受到限制[2]。冗余驅(qū)動并聯(lián)機構具有可消除奇異位形[3-5]、增大有效工作空間，增加機構的整體剛度與承載力[6]，改善動力學特性[7-8]、消除間隙[9]、優(yōu)化驅(qū)動力分配[10]等優(yōu)點，因而受到越來越多的關注。

實現(xiàn)并聯(lián)機構冗余驅(qū)動主要有兩種方式：①在原有機構上增加冗余驅(qū)動支鏈，或者將原有被動關節(jié)替換為主動關節(jié)。②在非冗余全驅(qū)動并聯(lián)機構上增加約束支鏈或關節(jié)，以降低原有機構自由度。目前，對增加冗余驅(qū)動支鏈或主動關節(jié)的冗余驅(qū)動并聯(lián)機構的相關研究較多[11-20]，而對增加約束支鏈或關節(jié)的研究較少[21-24]。不同的冗余驅(qū)動實現(xiàn)方式對并聯(lián)機構性能的影響不同，對機構進行評價分析、優(yōu)選出性能良好的構型是冗余驅(qū)動并聯(lián)機構研究的核心問題之一。

并聯(lián)機構的動力學性能是其重要特性，在結構設計、尺寸優(yōu)化方面具有重要作用。對傳統(tǒng)的并聯(lián)機構而言，評價其動力學性能的指標主要是條件數(shù)與操作度橢球。對冗余驅(qū)動并聯(lián)機構而言，由于速度雅可比矩陣和廣義慣性矩陣不再為方陣，使條件數(shù)與操作度橢球的評價指標無法直接使用。目前，關于冗余驅(qū)動并聯(lián)機構動力學性能的研究還相對較少，且都是針對具體的結構構型。ZHAO等[8，25]基于矩陣的無窮范數(shù)計算冗余驅(qū)動機構產(chǎn)生的單位加速度、速度所需最大驅(qū)動力，并作為動力學性能指標對機構進行了性能評價。BEDOUSTANI等[26]基于操作動力學對一種彈性繩索驅(qū)動的冗余并聯(lián)機構進行了動力學分析。JIANG等[27]通過計算位置誤差映射矩陣的條件數(shù)，對平面冗余驅(qū)動并聯(lián)機器人的動態(tài)性能進行了分析。LIANG等[28]以機構產(chǎn)生的單位加速度、速度所需最大驅(qū)動力為動力學性能指標，對冗余驅(qū)動并聯(lián)機構進行了優(yōu)化設計。FONTES等[29]以最大輸入力矩作為評價指標，對不同冗余驅(qū)動情況下的并聯(lián)機構動力學性能進行了對比，獲得主動過約束機構動力學性能優(yōu)化的條件。

1 機構簡介

非獨立位姿參數(shù)γ與獨立位姿參數(shù)間的速度映射關系可以表示為

(1)

于是可以構建廣義坐標與獨立廣義坐標間的速度映射關系，即

(2)

其中

式中E5——單位矩陣，E5∈R5×5

構建廣義坐標與獨立廣義坐標間的加速度映射關系，即

(3)

2 動力學建模

2.1 非冗余驅(qū)動并聯(lián)機構動力學建模

在笛卡爾坐標系下，假定機構動平臺的廣義運動速度(包括線速度與角速度)為υd∈R6×1，連桿AiBi的廣義運動速度為υLi∈R6×1，滑塊廣義運動速度為υHi∈R6×1，這些構件在廣義坐標系q下的速度雅可比矩陣分別為Jd∈R6×6、JLi∈R6×6和JHi∈R6×6，可得

(4)

假定機構在廣義坐標系下產(chǎn)生無限小的廣義位移(包括線位移和角位移)為δq∈R6×1，對應的動平臺廣義位移為δqd∈R6×1，連桿AiBi的廣義位移為δqLi∈R6×1，滑塊的廣義位移為δqHi∈R6×1，可得

(5)

τi=niτi

(6)

(7)

將式(5)、(6)代入式(7)，可得

(8)

通過參數(shù)分離，可以將機構各運動構件在廣義坐標q下的廣義慣性力分解為

(9)

整理式(8)可得

(10)

(11)

(12)

將并聯(lián)機構的驅(qū)動力按加速度因素、速度因素、重力因素以及負載外力因素分類整理，可得

τN=τNa+τNυ+τNg+τNe

(13)

其中

它們分別表示機構動力學受不同因素影響作用的結果。

2.2 冗余驅(qū)動并聯(lián)機構動力學建模

在笛卡爾坐標系下，假定中間約束分支上下連桿的廣義運動速度分別為υzu∈R6×1和υzd∈R6×1，其在廣義坐標系q下的速度雅可比矩陣分別為Jzu∈R6×6和Jzd∈R6×6，可得

筆者循誦《中峰集》幾過，得到這樣一個印象：董玘對不同的文章體裁是區(qū)別對待的。也就是說，他還是有一定的文體意識的。比如他的奏疏、書札就寫得明白曉暢，因為這是一種應用文體，必須看了讓人徹底明白自己的主張。而序、記、賦、志銘則寫得相對古奧，因為作為一個理學家，董氏要在這些體裁的文章中寄托自己的儒家理想，故文字不辭以模仿經(jīng)籍來出之。如《陳情乞恩給假省親疏》：

(14)

假定與機構在廣義坐標系下無限小廣義位移相對應的中間約束分支上下連桿的廣義位移分別為δqzu∈R6×1和δqzd∈R6×1，可得

(15)

(16)

整理得到

(17)

其中

QN+QZ+F}

(18)

(19)

其中(JHG)+T為矩陣(JHG)T的廣義偽逆，式(19)所獲得的驅(qū)動力解為最小二范數(shù)解。

基于式(19)可得到通過增加約束支鏈的冗余驅(qū)動并聯(lián)機構驅(qū)動力受不同因素影響作用的結果，即

τC=τCa+τCυ+τCg+τCe

(20)

τCg=(JHG)+TGT(QN+QZ)

τCe=(JHG)+TGTF

通過對式(13)、(20)中機構驅(qū)動力結果的對比可以看出，增加的約束支鏈對并聯(lián)機構驅(qū)動力分配結果的影響，既包括支鏈運動約束所帶來的影響，也包括支鏈慣性量的影響。構建動力學性能評價指標，可以更好地對比不同因素的影響。

3 動力學評價

對冗余驅(qū)動并聯(lián)機構的動力學性能進行分析，以及對比非冗余驅(qū)動并聯(lián)機構的性能，需要綜合考慮不同機構的動力學模型特征。將機構動力學模型中不同影響因素進行運算分析，提出可以方便直接應用的動力學性能評價指標。

3.1 加速度因素對動力學的影響

(21)

由于動平臺在空間中任意單位加速度運動所需的驅(qū)動力均可由τNai通過線性組合獲得，于是機構所需最大驅(qū)動力向量的?？杀硎緸?/p>

(i=1,2,…，6)

(22)

其中‖·‖2表示向量在線性空間上的2-范數(shù)，[·]i表示矩陣的第i個列向量。

τCamax=max(‖[(JNG)+TGT(MN+MZ)G]i‖2)

(i=1,2,…，5)

(23)

忽略中間約束分支質(zhì)量，將其視為約束關節(jié)，則式(21)轉(zhuǎn)換為

(i=1,2,…，5)

(24)

3.2 速度因素對動力學的影響

(25)

因此，當機構動平臺在空間中發(fā)生任意方向上的單位勻速移動或轉(zhuǎn)動時，機構驅(qū)動關節(jié)所需要施加的最大驅(qū)動力向量的模為

(i=1,2,…,6)

(26)

(CN+CZ)G)]i‖2)(i=1,2,…，5)

(27)

忽略中間約束分支的質(zhì)量，則式(27)的形式為

(i=1,2,…，5)

(28)

3.3 重力因素對動力學的影響

(29)

τCg=‖(JNG)+TGT(QN+QZ)‖2

(30)

忽略中間約束分支的質(zhì)量，則等式(30)的形式為

(31)

3.4 負載外力因素對動力學的影響

(32)

式中Fi——機構動平臺所承受的沿笛卡爾坐標系不同坐標軸方向的單位負載外力或外力矩，且Fi∈R6×1

因此，機構動平臺承受空間任意方向單位負載外力或外力矩時，機構所需的最大驅(qū)動力向量的模為

(33)

τCemax=max(‖[(JNG)+TGT]i‖2)

(i=1,2,…，5)

(34)

將τNemax和τCemax作為機構的動力學評價參數(shù)，用來對比分析在不考慮重力時，處于靜止狀態(tài)的一般非冗余驅(qū)動并聯(lián)機構與冗余驅(qū)動并聯(lián)機構支撐負載外力的性能。

可以發(fā)現(xiàn)機構外力負載性能指標與中間約束分支慣性量無關，即在關節(jié)速度雅可比相同的情況下，增加約束分支和約束關節(jié)對機構的外力負載性能影響相同。

4 數(shù)值算例

約束分支UPU對機構動力學性能的影響，既包含其對動平臺施加的運動約束所帶來的影響，也包含中間分支質(zhì)量的影響。兩種機構相同部分采用相關的結構尺寸與慣性參數(shù)，機構相關的幾何尺寸如表1所示，相關物理參數(shù)如表2所示。

表1 并聯(lián)機構幾何尺寸

表2 并聯(lián)機構相關物理參數(shù)

4.1 約束分支對動力學性能的影響

兩種機構由加速度因素、速度因素、重力因素以及外力負載因素等影響的動力學性能指標分布與對比分別如圖4～7所示。

4.2 約束關節(jié)對動力學性能的影響

將約束分支視為無質(zhì)量分支，可以得到增加約束關節(jié)對機構動力學性能的影響。忽略約束分支質(zhì)量后，兩種機構由加速度因素、速度因素、重力因素等影響的動力學性能指標分布與對比如圖8～10所示。由前述分析可知，在約束關節(jié)速度雅可比相同的情況下，增加冗余約束分支和冗余約束關節(jié)對機構的外力負載性能影響相同，故本節(jié)不對外力負載性能進行對比。

4.3 約束分支與約束關節(jié)對比

對比圖4c和圖8b、圖5c和圖9b、圖6c和圖10b可以發(fā)現(xiàn)，通過增加約束關節(jié)能夠增加機構加速度性能、速度性能與重力性能，而增加冗余約束分支卻降低了機構相關性能。進而可以得出，冗余驅(qū)動分支的約束提高了機構性能，但分支質(zhì)量降低了機構相關性能，降低的量與分支質(zhì)量相關。

5 結束語