許加柱，賈龍濤，李 暢，王岐珂

（國家電能變換與控制工程技術研究中心（湖南大學），長沙 410082）

分布式電源是現(xiàn)有發(fā)電模式的一種補充，目前大量分布式電源接入交流配電網。然而，分布式電源的波動性和隨機性會給配電網帶來不確定性因素，影響配電網的潮流分布和安全運行。相比確定性潮流，概率潮流PLF（probabilistic load flow）能分析不確定性因素對配電網運行的影響。PLF由Borkowska于1974年提出[1]，此后國內外開展了大量研究，取得豐富成果?，F(xiàn)在PLF主要用于電力系統(tǒng)優(yōu)化調度[2]、規(guī)劃設計[3]、風險評估[4]等方面。依據(jù)原理，概率潮流計算方法可以分為模擬法[5-6]、近似法[7-8]、解析法[9-10]。其中，模擬法是一種依托大數(shù)定律的試驗統(tǒng)計方法，雖然可以很精確地獲取節(jié)點電壓和支路潮流的概率特征，但運算時間很長，一般作為評價其他算法的標準；近似法依據(jù)輸入變量的概率特性近似描述輸出變量的概率特性，包括點估計法、一次二階距法等方法；解析法依據(jù)輸入變量、輸出變量之間的線性關系進行計算，主要有卷積法和半不變量法，其中半不變量法需要滿足輸入變量相互獨立[11]。

文獻[2]計及分布式電源和負荷的不確定性，利用半不變量法計算概率潮流，達到實時調整日前調度計劃的目的。在低壓配電網接入大量小型分布式光伏的情況下，文獻[7]使用蒙特卡洛法和點估計法分別計算配電網的電氣特征，并將兩種方法進行對比。配電網的供電半徑一般不超過15 km，在此區(qū)域內光照強度、云況基本相似，受此影響，該區(qū)域內多個分布式光伏具有相似的出力特性，其出力波動趨勢基本一致，具有一定的相關性[15]。根據(jù)大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)，不同種類的分布式電源出力也具有一定的相關性，若該相關性被忽略，則計算結果的可信度大打折扣。上述一些文獻沒有充分考慮分布式電源出力的相關性。針對上述問題，一些文獻考慮了分布式電源出力的相關性。文獻[12]采用Cho?lesky分解探究相鄰地區(qū)光伏出力和負荷之間的相關性；文獻[13]采用Nataf變換來構建風力發(fā)電場景，研究風速相關性對PLF的影響；文獻[14]指出，在基于廣義多項式混沌法的PLF計算中，若將Nataf變換應用其中處理不確定性變量之間的相關性，可能會低估極端事件發(fā)生的概率，因此該文獻提出采用數(shù)據(jù)驅動任意多項式混沌法解決該問題；文獻[15]考慮天氣變化的影響，計及分布式光伏多點接入，提出一種基于等效功率相關系數(shù)的方法計算PLF，用以評估配電網的運行風險。

盡管上述方法研究了分布式電源的相關性，但是鮮有文獻考慮風電出力與光伏出力的負相關性，針對于此，本文充分考慮了風電出力之間、風電出力和光伏出力之間的相關性，提出一種基于Rosen?blatt逆變換和半不變量法RITCM（Rosenblatt in?verse transformation and cumulant method）的概率潮流計算方法。該方法使用金融領域廣泛應用的Copula函數(shù)來描述分布式電源出力的相關性，并建立聯(lián)合分布函數(shù)；對具有相關性的出力樣本進行Rosenblatt逆變換，使之相互獨立，進而采用半不變量法結合Cornish-Fisher級數(shù)展開計算節(jié)點電壓、支路潮流的概率分布；最后，在34節(jié)點系統(tǒng)上對RITCM進行驗證，計算了相對誤差和希爾不等系數(shù)兩個指標，并通過與蒙特卡洛法比較，驗證了RITCM在考慮分布式電源出力相關性的配電網概率潮流計算方面的有效性和正確性。

1 相關變量的獨立化變換

1.1 基于Copula函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)

變量之間的相關性可以用Pearson相關系數(shù)來度量，其概念清晰，但適用范圍有限。Pearson相關系數(shù)要求隨機變量必須具有標準差，但有些特殊函數(shù)無法滿足該要求；此外當變量間的關系是非線性時，用Pearson相關系數(shù)來度量其關系并不可靠，因此需要選用一種更加科學的方法。Copula函數(shù)能夠描述變量間的非線性相關性，同時易于構建聯(lián)合分布模型，在金融領域有著廣泛的應用，本文引入Copula函數(shù)描述分布式電源出力的相關性。

Sklar于1959年提出Copula函數(shù)，該函數(shù)描述了一個N維變量的聯(lián)合分布函數(shù)與各變量邊緣累積分布函數(shù)之間的關系，Copula函數(shù)的密度函數(shù)則描述了N維變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)和各變量密度函數(shù)之間的關系，其基本理論是Sklar定理。以二維隨機變量為例加以說明，由Sklar定理易知，存在Copula函數(shù)C滿足

式中：F1(x1)、F2(x2)分別為隨機變量x1、x2的累積分布函數(shù)；F(x1,x2)為x1、x2的聯(lián)合分布函數(shù)。若F1(x1)、F2(x2)連續(xù)，則C唯一確定。

Copula函數(shù)主要有二元Normal Copula函數(shù)、二元t-Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copu?la函數(shù)、Frank Copula函數(shù)[16]，其中前2種為橢圓Copula函數(shù)，后3種為阿基米德Copula函數(shù)，不同的函數(shù)描述不同類型的相關性。常用的Copula函數(shù)相關性測度有Kendall秩相關系數(shù)τ及Spearman秩相關系數(shù)ρ。τ和ρ可以描述隨機變量的變化方向是否一致，值為0表示隨機變量不存在相關性，值為正表示存在正相關，值為負表示存在負相關，且值的絕對值越接近1，表明相關性越強。

基于Copula函數(shù)建立聯(lián)合分布模型一般需要2步：首先確定分布式電源出力的邊緣分布函數(shù)，再選取適當?shù)腃opula函數(shù)建立聯(lián)合分布模型。Copu?la函數(shù)可以描述隨機變量間的相關性，但是無法實現(xiàn)相關變量的獨立化變換。

1.2 基于Rosenblatt逆變換的獨立化變換

由于分布式電源出力存在相關性，無法直接使用半不變量法計算PLF，因此必須首先對具有相關性的分布式電源出力進行獨立化變換。

相關變量的獨立化變換在結構可靠度分析中有廣泛的應用，主要有以下4種方法：Orthogonal變換、Nataf變換[13]、Winterstein近似公式和Rosenblatt變換。其中，Orthogonal變換步驟簡單，不受變量類型的限制，但只有當變量服從正態(tài)分布或者相互獨立時，其精度才較高；與Orthogonal變換相比，Nataf變換考慮了變換前后等效相關系數(shù)的變化，導致Nataf變換的計算過程更加復雜，此外，當樣本分布類型或變量聯(lián)合分布函數(shù)不滿足高斯分布時，其誤差可能較大；Winterstein近似公式的計算精度受變量統(tǒng)計矩的估計精度影響較大，尤其是偏度和峰度；Rosenblatt變換的原理是利用變量的邊緣概率密度和條件概率密度進行變換，該方法可以準確描述變量間的相關性，且不受變量的分布類型、變量間是否具有線性相關性的影響，變換結果精確，本文采用該方法對分布式電源出力進行獨立化變換。

假設 f(x1,x2)是分布式電源出力的聯(lián)合概率密度函數(shù)，其可以表示為

式中：f1(x1)為x1的概率密度函數(shù)；f2|1(x2|x1)為x2在x1條件下的概率密度。

由式（2）可推得

依據(jù)等概率變換原則，Rosenblatt變換可以將非正態(tài)相關變量變換成獨立的標準正態(tài)變量。等概率變換原則可以表示為

式中，ui、Φ(ui)分別為標準正態(tài)變量及其累積分布函數(shù)，其中i=1，2。

Rosenblatt逆變換可以將標準正態(tài)變量變換成分布式電源出力的獨立樣本，詳細步驟如下。

步驟1 產生n個服從標準正態(tài)分布函數(shù)U1、U2的樣本。

步驟2 依據(jù)式（4），得

由式（5）可以求得其中一個分布式電源出力X1的n個樣本。

步驟3 依據(jù)式（4），得

由式（6）可以求得另一個分布式電源出力X2的n個樣本。

2 基于半不變量法的潮流計算

第1節(jié)求得相互獨立的分布式電源出力樣本，本節(jié)采用半不變量法計算PLF。

半不變量是隨機變量的一種特征，依據(jù)獨立化變換后分布式電源出力的樣本，分別計算各階原點矩，再依據(jù)半不變量和原點矩的關系求得獨立化變換后分布式電源出力的各階半不變量。視負荷的有功功率、無功功率服從正態(tài)分布，其一階、二階半不變量分別為期望和方差，三階及其以上高階半不變量均為0?；诎氩蛔兞糠ǖ某绷饔嬎愕幕舅枷霝椋阂罁?jù)系統(tǒng)初始條件計算一次確定性潮流，并將計算結果作為基準點，在此基礎上疊加用半不變量描述的分布式電源、負荷等的擾動，計算系統(tǒng)狀態(tài)變量的半不變量，最后結合級數(shù)展開得到狀態(tài)變量的概率分布。

在交流潮流模型下，在基準點處對潮流方程進行泰勒展開，忽略二次項及其高次項，可得

式中：W為節(jié)點注入功率；X、Z為狀態(tài)變量，分別表示節(jié)點電壓和支路潮流，ΔW、ΔX、ΔZ分別為W、X、Z的擾動；J0為雅可比矩陣；G0為靈敏度矩陣。

式（7）可進一步表示為

對于高階半不變量，式（8）表示為

目前在電力系統(tǒng)中常用的級數(shù)展開主要有Gram-Charlier級數(shù)、Edgeworth級數(shù)和Cornish-Fisher級數(shù)，當隨機變量是非正態(tài)分布時，與前兩種級數(shù)相比，Cornish-Fisher級數(shù)在計算概率分布時具有更高的精度，因此本文采用8階Cornish-Fisher級數(shù)展開逼近輸出變量的分布函數(shù)。

考慮分布式電源出力相關性的配電網概率潮流計算方法的流程如圖1所示。

圖1 考慮相關性的配電網概率潮流計算流程Fig.1 Flow chart of PLF calculation for distribution network considering correlation

3 算例分析

在某34節(jié)點系統(tǒng)上對RITCM的準確性和快速性進行驗證，其中節(jié)點15和節(jié)點34分別接入分布式電源，如圖2所示。本文仿真2種情況，分別是接入同一配電網的2臺風電（風電/風電）出力的相關性、風電與光伏（風電/光伏）出力的相關性，風電、光伏的額定功率均為0.4 MW。仿真所使用的計算機參數(shù)主要有：處理器為Intel（R）Core（TM）i7-7700 CPU@3.60 GHz，運行內存8 GB，仿真軟件是Matlab R2016a。

圖2 含分布式電源的34節(jié)點系統(tǒng)Fig.2 34-node system with distributed generations

采集某地2臺風電和一座光伏的出力數(shù)據(jù)，在研究風電出力與光伏出力的相關性時舍棄值為0的光伏出力及其相對應同時刻的風電出力數(shù)據(jù)。本文假設風電、光伏均以恒定功率因數(shù)0.9（滯后）運行。

表1給出了2種情況下5種Copula函數(shù)的Ken?dall秩相關系數(shù)τ和Spearman秩相關系數(shù)ρ的值。從表1可以看出，風電/風電出力的τ和ρ均為正值且接近1，表明風電出力具有較強的正相關性；風電/光伏出力的τ和ρ與Copula函數(shù)的種類相關，一部分是絕對值較小的負數(shù)，另一部分是接近于0的數(shù)，表明風電/光伏出力具有較弱的負相關性。此外，計算了原始樣本的秩相關系數(shù)，風電/風電出力的τ和ρ分別為0.864 5和0.976 1，風電/光伏出力的τ和ρ分別為-0.268 9和-0.377 6，綜合考慮決定采用Frank Copula函數(shù)描述分布式電源出力的相關性，并建立聯(lián)合分布函數(shù)。

表1 2種情況的秩相關系數(shù)Tab.1 Rank correlation coefficients in two cases

經過Rosenblatt逆變換將相關的分布式電源出力進行獨立化變換，生成不相關樣本。經過計算，變換后風電/風電出力的秩相關系數(shù)τ和ρ分別為0.010 1和0.014 5，風電/光伏的秩相關系數(shù)τ和ρ分別為0.025 3和0.038 5，結果表明，變換后分布式電源出力的相關性大大降低，可以視為相互獨立。

仿真設置了蒙特卡洛模擬MCS（Monte Carlo simulation）法、RITCM兩種方法計算PLF。為體現(xiàn)相關性，MCS法使用獨立化變換前具有相關性的風電/風電、風電/光伏出力數(shù)據(jù)，且只對其中一種出力數(shù)據(jù)進行隨機采樣，另一種出力為同時刻的數(shù)據(jù)。綜合考慮仿真精度和計算時間，MCS法設置10 000次隨機抽樣，進行確定性潮流計算，得到節(jié)點電壓、支路潮流的概率分布，并以此為標準評價RITCM的準確性和有效性。Rosenblatt逆變換后的獨立樣本采用半不變量法計算節(jié)點電壓、支路潮流的概率分布。

在風電/光伏相關性情況下，圖3為使用MCS和RITCM兩種方法計算得到的節(jié)點34和節(jié)點8的電壓幅值概率分布，圖4為使用MCS和RITCM兩種方法計算得到的支路24-27的有功功率和無功功率概率分布。從圖3和圖4中可以看出，2種方法得到的節(jié)點電壓幅值、支路潮流的概率分布基本重合，相差較小。

圖3 2種方法計算節(jié)點8和34的電壓幅值概率分布Fig.3 Probability distributions of voltage amplitude at Nodes 8 and 34 calculated using two methods

圖3只反映了風電/光伏相關性情況下某些節(jié)點電壓幅值的概率分布，圖4只反映了上述情況下某條支路潮流的概率分布，整個仿真模型有34個節(jié)點和33條節(jié)點間的支路，要想通過繪圖得到每個節(jié)點的電壓幅值概率分布和每條支路的潮流概率分布，進而全面評價RITCM的準確性，顯然不現(xiàn)實。因此本文采用相對誤差和希爾不等系數(shù)TIC（Theil inequality coefficient）作為定量指標，將誤差量化。相對誤差包含節(jié)點電壓幅值、支路潮流的期望值、標準差的相對誤差，主要用來度量所提方法輸出變量在統(tǒng)計方面的準確性；TIC可以定量評價計算方法的預測精度，TIC的值介于0～1之間，值越小表明預測值越接近于真實值，即預測精度越高。計算公式分別為

圖4 2種方法計算支路24-27的功率概率分布Fig.4 Power probability distribution of branch 24-27 calculated using two methods

以風電/光伏相關性為例分析PLF的計算結果。表2為除節(jié)點1外的其余節(jié)點電壓幅值的期望值、標準差的相對誤差和TIC，表3和表4分別為各支路有功功率、各支路無功功率的期望值、標準差的相對誤差和TIC，各指標的平均值也可以從相應表中得到。分析相對誤差數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，RITCM計算得到的輸出變量的期望與MCS得到的結果非常接近，相對誤差?。幌鄬Χ?，RITCM在處理輸出變量標準差方面的準確性有待提高。分析TIC數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，RITCM具有較高的預測精度。

表2 節(jié)點電壓幅值的相對誤差和TICTab.2 Relative error and TIC of node voltage amplitudes

表3 支路有功功率的相對誤差和TICTab.3 Relative error and TIC of branch active power

深入分析表2～表4中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，越接近分布式電源的接入點，RITCM得到的輸出變量的統(tǒng)計特征與MCS的結果差距越大，這也可以成為該方法今后改進、優(yōu)化的一個方向。

表4 支路無功功率的相對誤差和TICTab.4 Relative error and TIC of branch reactive power

重復上述仿真，得到考慮風電/風電出力相關性的PLF計算結果，如表5所示，表中只給出了幾個指標的平均值。

由表5數(shù)據(jù)可知：RITCM輸出變量的期望具有很高的準確性，也具有較高的預測精度，但輸出變量標準差的準確性有待提高，與考慮風電/光伏出力相關性的分析相一致。

表5 考慮風電/風電出力相關性的PLF仿真結果Tab.5 Simulation results of PLF considering the correlation between wind turbine outputs

以考慮風電/光伏出力相關性的PLF仿真比較2種方法計算時間，MCS用時75.605 s，采用RITCM方法用時2.631 s，計算時間大大減小。

4 結論

本文考慮了接入同一配電網的風電/風電、風電/光伏出力的相關性，提出一種基于Rosenblatt逆變換和半不變量法的概率潮流計算方法RITCM，仿真對比分析結果表明以下結論。

（1）RITCM的適用范圍廣泛，能夠適用于具有正相關性的分布式電源出力，也適用于具有負相關性的分布式電源出力，且都具有較高的準確性。

（2）采用RITCM方法計算考慮分布式電源出力相關性的配電網概率潮流，能夠準確反映節(jié)點電壓幅值、支路潮流的概率特征，具有較高的準確性和預測精度，但該方法在計算輸出變量標準差時的準確性有待提高。

（3）RITCM避免了大量重復性的確定性潮流計算，相比于傳統(tǒng)的MCS方法，RITCM的計算步驟少，計算速度大幅提高。