包景東

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

“鉤玄提要”系一個(gè)漢語(yǔ)成語(yǔ)，意思是探取精微，摘出綱要.其出于唐·韓愈《進(jìn)學(xué)解》:“記事者必提其要，纂言者必鉤其玄.” 直譯為：對(duì)待記事一類(lèi)著作(知識(shí))，一定要提綱挈領(lǐng)，抓住要點(diǎn)；對(duì)待立論一類(lèi)著作(難點(diǎn))，一定要尋求奧妙，探索精微.有一句掛在嘴邊的話(huà)：教學(xué)要遵循古代思想家和教育家孔子所言“有教無(wú)類(lèi)”“因材施教”的宗旨.然而，時(shí)過(guò)境遷，又復(fù)忘懷，則教育停滯矣.2020年突發(fā)新冠疫情，使得線(xiàn)上教學(xué)成為不可或缺的方式，因而需探索新情境下提高教學(xué)質(zhì)量的方略。

首先，讓我們重溫被譽(yù)為“教師的教師”的三位大師對(duì)物理教研的期許.楊振寧先生比較了中美的教育方式，提到中國(guó)傳統(tǒng)教育提倡按部就班的教學(xué)方法，這有利于學(xué)生打好根基；美國(guó)提倡“滲透式”或稱(chēng)為“體會(huì)式”的教育方式，其特點(diǎn)是讓學(xué)生在過(guò)程中一點(diǎn)一滴地學(xué)到許多東西.趙凱華先生認(rèn)為中美兩種教育方法各有特色，若能將兩者的優(yōu)點(diǎn)和諧統(tǒng)一起來(lái)，則在物理教育上是一個(gè)突破.費(fèi)恩曼先生直白地詮釋了后者：“的確，一個(gè)學(xué)者在一門(mén)課程中所作的全部論證，并不是他從學(xué)習(xí)大學(xué)一年級(jí)物理時(shí)就記住的.完全相反，他只記得某某是正確的，而在說(shuō)明如何去證明的時(shí)候，需要的話(huà)，他就自己想出一個(gè)證明方法.無(wú)論哪個(gè)真正學(xué)過(guò)一門(mén)課程的人，都應(yīng)遵循類(lèi)似的步驟去做，而死記被證明是無(wú)用的.”

具體而言，費(fèi)恩曼希望教學(xué)要兼顧兩點(diǎn)：一是對(duì)于班級(jí)中最聰明的學(xué)生，試圖使所有的陳述盡可能準(zhǔn)確，在每種場(chǎng)合都指出有關(guān)公式和概念在整個(gè)物理學(xué)中占什么地位，以及應(yīng)該做出修正.二是也希望照顧到另一些學(xué)生，對(duì)他們來(lái)說(shuō)，這些額外的五花八門(mén)的內(nèi)容和附帶的應(yīng)用只會(huì)使他們煩惱.對(duì)這些學(xué)生，希望至少有一個(gè)他能夠掌握的中心內(nèi)容或主干材料[1].

以上兩點(diǎn)不失為線(xiàn)上教學(xué)的目標(biāo).在這種教學(xué)過(guò)程中，師生互動(dòng)性難以復(fù)制“You Raise Me UP”的場(chǎng)景，但應(yīng)牢記費(fèi)恩曼最反對(duì)“用字解釋字”的講授方法，此做法未提供給遠(yuǎn)程受眾更加有用的信息.就某些概念和定理來(lái)說(shuō)，最好能跳出原來(lái)的命題，用生動(dòng)的實(shí)例，用建立“思想實(shí)驗(yàn)”和類(lèi)比的方法，借助于已知現(xiàn)象來(lái)解釋新的現(xiàn)象.在費(fèi)恩曼看來(lái)，這是數(shù)學(xué)物理學(xué)的偉大藝術(shù).顯然，這有賴(lài)于師生的知識(shí)儲(chǔ)備和批判性思維能力[2].下面，作者以48學(xué)時(shí)“熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理”的課程實(shí)踐，結(jié)合著向費(fèi)恩曼先生學(xué)習(xí)，談幾點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí).

1 問(wèn)題導(dǎo)向

費(fèi)恩曼在他巴西講學(xué)之旅前，給自己寫(xiě)下了一個(gè)便箋：“首先要搞清楚你為什么要學(xué)生學(xué)這個(gè)專(zhuān)題，以及你要他們知道哪些東西，至于用什么方法，或多或少由常識(shí)給出了.”費(fèi)恩曼所謂的“常識(shí)”其實(shí)就是完全抓住問(wèn)題本質(zhì)的出色技巧.

秉承“沒(méi)有問(wèn)題比問(wèn)題很多更可怕”的負(fù)責(zé)精神，線(xiàn)上授課應(yīng)明確每個(gè)章節(jié)的動(dòng)機(jī)而不僅是要義，使得同學(xué)心中有數(shù)，圍繞著核心知識(shí)點(diǎn)預(yù)習(xí)和自學(xué).適用于少課時(shí)“熱統(tǒng)”教學(xué)，筆者在今年3月14日(π日)出版的文獻(xiàn)[3]中，以【本章提要】的形式，在每章開(kāi)頭寫(xiě)出了如下的摘綱：

第一章熱力學(xué)基本定律.明確熱力學(xué)基本概念，闡述熱力學(xué)4個(gè)實(shí)驗(yàn)定律及其微觀(guān)解讀.已知物態(tài)方程計(jì)算出3個(gè)狀態(tài)參數(shù)及進(jìn)行逆運(yùn)算.基于卡諾定理引入熵，建立可逆過(guò)程的三個(gè)TdS方程；設(shè)計(jì)一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程計(jì)算實(shí)際過(guò)程的兩態(tài)間熵變.

第二章熱力學(xué)函數(shù)及關(guān)系.引入焓、自由能、吉布斯函數(shù)等熱力學(xué)勢(shì)，分析它們的作用.給出選兩個(gè)合適自變量的特性函數(shù)的微分式，用它們導(dǎo)出四個(gè)麥克斯韋關(guān)系式；證明可逆過(guò)程的一些熱力學(xué)等式.還將處理氣體的熱力學(xué)規(guī)律推廣到其他如表面、磁和電介質(zhì)、空腔的熱力學(xué)系統(tǒng).

第三章相平衡與相變.首先給出多元復(fù)相共存與平衡的相律，著重討論無(wú)化學(xué)反應(yīng)的單元二相系的平衡與轉(zhuǎn)變，即平衡相變.導(dǎo)出兩相共存曲線(xiàn)斜率滿(mǎn)足的克拉珀龍方程，將著重分析范德瓦耳斯氣體的等溫曲線(xiàn)與實(shí)驗(yàn)等溫曲線(xiàn)的行為.

第四章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì).導(dǎo)出單個(gè)粒子平衡態(tài)下所遵守的玻耳茲曼分布，找到系統(tǒng)熱力學(xué)函數(shù)與配分函數(shù)的關(guān)系.證明能量均分定理.對(duì)雙原子分子組成的理想氣體的量子熱容量進(jìn)行計(jì)算，分析振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的貢獻(xiàn)，解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果.還將玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)運(yùn)用到兩能級(jí)系統(tǒng)等.

第五章系綜理論.在?？臻g研究粒子平衡態(tài)分布，既能處理粒子間相互作用也可以考慮全同粒子不可分辯性.微正則分布是其他系綜分布的基礎(chǔ)，導(dǎo)出與大熱源接觸的固定溫度系統(tǒng)的正則分布，與大熱源和大粒子源接觸的固定溫度和化學(xué)勢(shì)系統(tǒng)的巨正則分布；分析三種系綜的關(guān)系，特別是系綜理論中的1/N!修正因子，從而解決吉布斯佯謬.

第六章量子統(tǒng)計(jì).應(yīng)掌握量子理想氣體以及滿(mǎn)足的量子統(tǒng)計(jì)，有關(guān)于自旋為半整數(shù)粒子的費(fèi)米-狄拉克和自旋為整數(shù)粒子的玻色-愛(ài)因斯坦兩種分布.給出量子統(tǒng)計(jì)向經(jīng)典統(tǒng)計(jì)過(guò)渡的條件.應(yīng)用于金屬的自由電子模型引出費(fèi)米能量的概念；應(yīng)用于光子和聲子模型，解釋玻色-愛(ài)因斯坦凝聚.

2 寓教于例

費(fèi)恩曼在物理上推崇巴比倫方法而不是希臘方法。作為兩種看待數(shù)學(xué)的方式，希臘方式是從特別簡(jiǎn)單的一組公理出發(fā)，導(dǎo)出幾何學(xué)的所有定理；巴比倫風(fēng)格是知道了所有不同的數(shù)學(xué)定理和它們之間的聯(lián)系，但永遠(yuǎn)也不完全認(rèn)識(shí)到這些都是能夠從一批公理推出來(lái).在巴比倫的數(shù)學(xué)學(xué)校里，學(xué)生們通過(guò)做大量的習(xí)題來(lái)掌握普遍的規(guī)則.

1951年末，費(fèi)恩曼在日本待了幾個(gè)星期，主要接待方是日本京都大學(xué)湯川(Yukawa)研究所.日方安排費(fèi)恩曼訪(fǎng)問(wèn)和參觀(guān)了許多機(jī)構(gòu).費(fèi)恩曼每到一地，只要有研究物理的人，都會(huì)告訴費(fèi)恩曼他們正在做什么，費(fèi)恩曼就和他們討論.日本學(xué)者先概括介紹他們所研究的一般性問(wèn)題，然后就寫(xiě)出一大推公式.

“稍等片刻，”費(fèi)恩曼說(shuō)，“這個(gè)一般性的問(wèn)題，有沒(méi)有一個(gè)特別的例子？”

“怎么沒(méi)有？！當(dāng)然有啊.”

“那好，給我一個(gè)例子，我得看例子.”費(fèi)恩曼接著說(shuō)：“除非我腦子里有一個(gè)具體的例子，看著它怎么演化，否則我是理解不了任何一般性的東西的?！庇行┤碎_(kāi)始時(shí)會(huì)認(rèn)為費(fèi)恩曼遲鈍，以為他不明白那個(gè)問(wèn)題，因?yàn)橘M(fèi)恩曼問(wèn)了許多個(gè)貌似“傻瓜”的問(wèn)題.例如：陰極是正的還是負(fù)的？陰離子是這樣的還是那樣的？

可是稍后，當(dāng)日本學(xué)者掉進(jìn)方程式堆里的時(shí)候，費(fèi)恩曼就說(shuō)：“哪兒有個(gè)錯(cuò)誤！這不可能對(duì)！”這個(gè)日本人看了看他寫(xiě)的方程式，過(guò)了好一陣子，他果然發(fā)現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)誤.他心里犯嘀咕，百思不得其解，費(fèi)恩曼這家伙兒，一開(kāi)始聽(tīng)不明白，可他怎么就能在這么繁瑣的公式中發(fā)現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤呢？

費(fèi)恩曼暗自得意，“他以為我是跟著他走，推演數(shù)學(xué)，但我干的不是這個(gè)活兒.對(duì)于日本人正在努力分析的那個(gè)問(wèn)題，我有一個(gè)具體直觀(guān)的例子，本能地知道問(wèn)題的屬性，所以直覺(jué)就會(huì)告訴我，哪個(gè)地方出了錯(cuò)兒.”因此，費(fèi)恩曼在日本與物理同行的討論并不愉快.他寫(xiě)道：“除非他們能給我一個(gè)可感覺(jué)的例子，但他們大多數(shù)人找不出例子，那我就不能理解任何人的工作，不跟他們討論.或者，有些人倒是能給我一個(gè)例子，但那個(gè)例子非常平凡，你能用一個(gè)簡(jiǎn)單的方式就解決了問(wèn)題，為什么還繞了一個(gè)大圈子，用復(fù)雜的笨方法來(lái)說(shuō)明問(wèn)題呢？”

由于費(fèi)恩曼總是不問(wèn)數(shù)學(xué)方程式的問(wèn)題，而是問(wèn)他們?cè)噲D解決的問(wèn)題的環(huán)境.一份在日本科學(xué)家中流通的油印小報(bào)發(fā)表了一篇文章，題目叫做“費(fèi)的轟炸與我們的反擊.”

3 實(shí)驗(yàn)驅(qū)動(dòng)

費(fèi)恩曼1949年夏天訪(fǎng)問(wèn)了巴西，1951年又在那兒待了半年.在里約的巴西大學(xué)講授電磁學(xué),學(xué)生都畏畏縮縮、不敢發(fā)問(wèn)，令他很失望.他說(shuō)：“學(xué)生學(xué)到的只是名詞和抽象的公式，他們可以背誦布儒斯特定律，可是如果問(wèn)他們，窗外陽(yáng)光照在海水上，拿起一片偏振片做個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)，這樣轉(zhuǎn)和那樣轉(zhuǎn)會(huì)看到什么的時(shí)候，他們卻一臉茫然.”考試題目會(huì)出：望遠(yuǎn)鏡有幾種？學(xué)生答得出來(lái)，可是卻忽略了望遠(yuǎn)鏡的真正意義.遇到諸如此類(lèi)的事情，費(fèi)恩曼會(huì)大發(fā)脾氣，因?yàn)樗Ｍ軌驀L試錯(cuò)誤、發(fā)現(xiàn)、自由地探討，而不是灌輸現(xiàn)成的知識(shí).

費(fèi)恩曼在巴西期間，曾應(yīng)邀到巴西科學(xué)院做過(guò)一次關(guān)于“談巴西的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)”的演講.他拿起一本被公認(rèn)寫(xiě)得非常好的大學(xué)物理教材說(shuō)道：“在這本書(shū)里，從頭到尾都沒(méi)有提及實(shí)驗(yàn)結(jié)果；隨便把書(shū)翻開(kāi)，指到哪一行，我都可以證明書(shū)中包含的不是科學(xué)，而是生吞活剝地背誦而已.”

舉例來(lái)說(shuō)，把熱力學(xué)公式用文字解讀一下等于什么都沒(méi)有說(shuō).在熱學(xué)和熱力學(xué)書(shū)中，焦耳實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理想氣體內(nèi)能僅與溫度有關(guān)，有一個(gè)著名的內(nèi)能公式：

(1)

這個(gè)公式出現(xiàn)在《費(fèi)恩曼物理學(xué)講義(第1卷)》中.體會(huì)一下費(fèi)恩曼所不屑的“用字解釋字”是如何解讀的？在等溫條件下，系統(tǒng)內(nèi)能隨體積的變化，等于定容情況下壓強(qiáng)隨溫度的變化乘以溫度，再減去壓強(qiáng).若這樣對(duì)式(1)進(jìn)行講解，則它包含了有價(jià)值的信息嗎？讓我們學(xué)著像費(fèi)恩曼那樣，一步一步地把此問(wèn)題能夠揭示的物理告訴學(xué)生.

(a) 偏導(dǎo)在物理學(xué)上意味等值過(guò)程的部分變化率，如何實(shí)現(xiàn)熱學(xué)中一些常見(jiàn)的等值過(guò)程呢？例如：將一個(gè)系統(tǒng)與一個(gè)大熱源相接觸就可以實(shí)現(xiàn)等溫；保持定容的話(huà)，你可以想象一個(gè)密封的鋼罐；最好辦的是定壓過(guò)程，只要將系統(tǒng)與外界相連就可以了.對(duì)于像絕熱(adiabatic) 這樣一個(gè)普通的概念，只要有發(fā)揮的空間或者易被人錯(cuò)誤理解的地方，費(fèi)恩曼就不會(huì)放過(guò).它是由希臘字母a(不)+dia(穿)+bainein(過(guò))而來(lái)的.“絕熱”這個(gè)詞在物理上有幾種不同的用法，有時(shí)很難看出它們之間有什么共同的含義.

(b) 人們無(wú)法直接測(cè)量系統(tǒng)的內(nèi)能以及其他熱力學(xué)函數(shù)，有些物理量說(shuō)它有絕對(duì)的數(shù)值是沒(méi)有意義的.所以將熱力學(xué)函數(shù)表示成物態(tài)參量T、p和V的函數(shù)，然后再測(cè)量它們相對(duì)某種變化的變化.

(c) 教師要向?qū)W生提供的最大幫助是，從課程中總結(jié)出一些解決問(wèn)題的規(guī)律來(lái)，比如證明可逆過(guò)程中的熱力學(xué)等式，就有基本的套路可循：數(shù)學(xué)上寫(xiě)出二元函數(shù)的全微分，物理上熱力學(xué)第一定律和第二定律相結(jié)合；將兩個(gè)方程中的自變量轉(zhuǎn)化為相同，對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等；再利用麥克斯韋關(guān)系式，最后抵達(dá)結(jié)果.

(d) 大部分人學(xué)習(xí)熱力學(xué)難免的經(jīng)歷是：裝懂→不懂→真懂。這里的“真懂”不是停留在抽象的公式上，而一定是你將基礎(chǔ)知識(shí)運(yùn)用到了具體的物理過(guò)程，這才是費(fèi)恩曼的風(fēng)格！

有一位學(xué)生發(fā)微信問(wèn)作者：“內(nèi)能公式的結(jié)論是，在溫度保持不變的情況下，若理想氣體的體積發(fā)生變化時(shí)，則它的內(nèi)能不變.是否存在一個(gè)公式，可以用來(lái)驗(yàn)證理想氣體的焓不隨壓強(qiáng)的變化而改變？”出自于學(xué)生的好問(wèn)題！筆者在期中測(cè)驗(yàn)中出了如下的題目：

物性均勻的系統(tǒng)存在一個(gè)內(nèi)能公式，那么對(duì)焓H而言，類(lèi)似的公式具有形式：

(2)

(i)寫(xiě)出A和C的表達(dá)式；(ii)嚴(yán)格證明這一公式；(iii)討論構(gòu)造這一公式的出發(fā)點(diǎn)，并舉例說(shuō)明其正確性。

4 演繹歸納

費(fèi)恩曼先生認(rèn)為學(xué)習(xí)物理有5個(gè)方面的理由，其中他所列的第三個(gè)學(xué)習(xí)物理好處是：認(rèn)識(shí)自然的美妙，感受世界的穩(wěn)定性和實(shí)在性.新冠疫情給世界造成了不穩(wěn)定性，同學(xué)們安靜地跟隨著我們教師線(xiàn)上學(xué)習(xí)，體現(xiàn)出網(wǎng)課的實(shí)在性.最后，作者對(duì)課程進(jìn)行總結(jié)，將核心知識(shí)點(diǎn)鏈接起來(lái)[3]：

一、平衡態(tài)熱力學(xué)：以幾條實(shí)驗(yàn)定律為框架的傳統(tǒng)熱力學(xué)亦稱(chēng)為經(jīng)典熱力學(xué).溫度、能量和熵構(gòu)成了這一學(xué)科的三大要素.

1) 溫度在第零定律以熱接觸方式被定義了，也出現(xiàn)在另3條定律之中，它是區(qū)別于力學(xué)平衡的一種運(yùn)用的非常廣泛的熱平衡和熱漲落的標(biāo)志.

2) 熱力學(xué)第一定律將兩種相互作用能(功和熱量)的變化與體系內(nèi)能(總能量)增減聯(lián)系在一起.第二定律的重要成果是建立了一個(gè)態(tài)函數(shù)熵(熱溫比)，它限制了實(shí)際過(guò)程的進(jìn)行方向，現(xiàn)如今來(lái)看這一概念比能量更為重要.

基于熱力學(xué)第一與第二定律的結(jié)合以及態(tài)函數(shù)存在全微分的條件，可以研究均勻物質(zhì)的熱力學(xué)函數(shù)的關(guān)系.為了用態(tài)函數(shù)的差來(lái)方便計(jì)算某一可逆等值過(guò)程的功和熱量這兩個(gè)過(guò)程量，也為了判斷在某個(gè)量保持不變前提下，不可逆過(guò)程的進(jìn)行方向，引入了一些態(tài)函數(shù)，關(guān)鍵是記住特性函數(shù)的兩個(gè)自變量.特別注意：表面系統(tǒng)和電磁介質(zhì)等廣義功與氣體的體積功相差一個(gè)負(fù)號(hào)，這是因?yàn)槟蹜B(tài)體系必須外界對(duì)它們做功.

3) 熱力學(xué)第三定律(也稱(chēng)能斯特定理)表明當(dāng)熱力學(xué)溫標(biāo)趨于零時(shí)，熵等于零，也告訴人們絕對(duì)零度的不可被達(dá)到.對(duì)于熱力學(xué)態(tài)函數(shù)(內(nèi)能、自由能、焓和吉布斯函數(shù))而言，僅有差才有意義，惟有熵常數(shù)在極限零溫被確定了，即存在絕對(duì)熵概念.

4) 相平衡和轉(zhuǎn)變是經(jīng)典熱力學(xué)最成功應(yīng)用的范例.兩相共存時(shí)的壓強(qiáng)與溫度函數(shù)關(guān)系為相平衡方程，該曲線(xiàn)的斜率遵守克拉珀龍方程.任何氣體物態(tài)方程都不能描寫(xiě)氣液兩相共存的情況，需要實(shí)驗(yàn)測(cè)量繪出等溫曲線(xiàn).不過(guò)，我們以范德瓦耳斯氣體為例，在p-V圖上畫(huà)出等溫曲線(xiàn)，利用兩相化學(xué)勢(shì)相等理論要求，氣液共存的水平直線(xiàn)段使上下曲線(xiàn)與該直線(xiàn)所圍面積相等，此即麥克斯韋法則.

二、統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)：以玻耳茲曼公式(熵與微觀(guān)態(tài)數(shù)關(guān)系)為導(dǎo)引的熱力學(xué)理論現(xiàn)被叫做統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)，牛頓力學(xué)和統(tǒng)計(jì)分布律同時(shí)起作用.它是信息論的出發(fā)點(diǎn).牛頓力學(xué)并沒(méi)有時(shí)間之箭，熱力學(xué)中的時(shí)間之箭從何而來(lái)呢？玻耳茲曼又是如何從無(wú)時(shí)間之箭的力學(xué)結(jié)構(gòu)中無(wú)中生有地得出一個(gè)時(shí)間之箭呢？熱力學(xué)第二定律中的時(shí)間之箭產(chǎn)生于兩個(gè)方面：

① 初始條件與平衡狀態(tài)之間相差一個(gè)很大的、宏觀(guān)上可探測(cè)到的量，一個(gè)朝熵增加方向演變的狀態(tài)，它必定不是一個(gè)其存在只能通過(guò)微觀(guān)方式才能觀(guān)察得到的極其微小漲落.

② 尋求的是系統(tǒng)在一個(gè)特殊條件之后的演變，這一條件由外部方式而非通過(guò)孤立系統(tǒng)自然發(fā)展而得到.當(dāng)然還有概率性和馬爾科夫過(guò)程的解釋.

三、平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)分布律：平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基本假設(shè)只有一條：平衡態(tài)下的孤立系統(tǒng)的各個(gè)微觀(guān)態(tài)出現(xiàn)的概率相等.統(tǒng)計(jì)物理的兩種最基本手段是最概然統(tǒng)計(jì)和系綜理論，都用到了等概率統(tǒng)計(jì)假設(shè).前者利用了平衡態(tài)最為無(wú)序，則所對(duì)應(yīng)的微觀(guān)狀態(tài)數(shù)最多；后者將系統(tǒng)加環(huán)境視為一個(gè)孤立系統(tǒng)，進(jìn)而總分布密度函數(shù)為一常數(shù).

1) 最概然統(tǒng)計(jì)的物理思想生動(dòng).以定域可分辨的單個(gè)粒子為研究對(duì)象，事先在任一能層內(nèi)將μ空間化分成許多小相格，這樣一來(lái)就可以計(jì)算微觀(guān)狀態(tài)數(shù)目，在近獨(dú)立近似條件下，求出使微觀(guān)態(tài)數(shù)極大的宏觀(guān)粒子分布.玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)應(yīng)用到氣體量子熱容量、兩能級(jí)系統(tǒng)的負(fù)溫度和相對(duì)論氣體等情形取得了滿(mǎn)意的結(jié)果.

2) 系綜理論方法令人生趣.構(gòu)造出由N個(gè)存在相互作用的粒子組成的正則系綜和巨正則系綜，前者系一個(gè)系統(tǒng)與一個(gè)大熱庫(kù)接觸；后者的系統(tǒng)不僅與一個(gè)大熱源而且還與一個(gè)大粒子源相接觸.整個(gè)系統(tǒng)加環(huán)境為一孤立系統(tǒng).大熱源的性質(zhì)對(duì)系統(tǒng)行為沒(méi)有影響，因此可以假設(shè)其是由單原子分子組成的理想氣體.從而對(duì)聯(lián)合密度函數(shù)中的熱源變量積分，而獲得關(guān)于系統(tǒng)變量的分布密度函數(shù).

在系綜理論中，也可處理無(wú)相互作用的理想氣體分子，在計(jì)算微觀(guān)狀態(tài)數(shù)時(shí)，相同粒子在不同相格中交換不產(chǎn)生新的微觀(guān)態(tài)，即僅考慮粒子組合引起的狀態(tài)數(shù)而不認(rèn)為不同的排列帶來(lái)新微觀(guān)態(tài).相對(duì)于玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)計(jì)算的微觀(guān)狀態(tài)數(shù)，須乘以吉布斯修正因子1/N!.最初它是作為量子修正引入到經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中，而現(xiàn)在它是自然而然地進(jìn)入到熱力學(xué)公式中，因?yàn)樗ＷC了自由能、熵和吉布斯函數(shù)等三個(gè)熱力學(xué)函數(shù)的可加性或廣延性.歷史上用系綜理論成功地解決了吉布斯佯謬，從此以后這一理論被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.

3) 分布密度函數(shù)的歸一化系數(shù)的倒數(shù)就是系統(tǒng)的配分函數(shù)，諸熱力學(xué)函數(shù)和物態(tài)方程可以通過(guò)對(duì)配分函數(shù)的求導(dǎo)和取自然對(duì)數(shù)而得到；兩種方法給出相同的熱力學(xué)函數(shù)與配分函數(shù)的關(guān)系公式.

四、量子統(tǒng)計(jì)：任何微觀(guān)粒子的重要特征是具有自旋，要么是整數(shù)自旋的玻色子，要么是半整數(shù)自旋的費(fèi)米子(遵守泡利不相容原理).在統(tǒng)計(jì)物理范疇內(nèi)，量子粒子區(qū)別于經(jīng)典粒子在于：全同粒子的不可分辨性和能級(jí)的離散化.物理上凡是不能用經(jīng)典處理的系統(tǒng)稱(chēng)為簡(jiǎn)并系統(tǒng)，這是因?yàn)榱孔恿Ｗ泳凶孕莿?dòng)量自由度，能級(jí)相同但還是其他自由度不相同.量子統(tǒng)計(jì)學(xué)不是完全的量子力學(xué)，卻成功地解決了能均分定理計(jì)算的雙原子分子理想氣體的定容熱容量在低溫與實(shí)驗(yàn)不符的困難；在高溫、低密和重粒子質(zhì)量情況下，即簡(jiǎn)并退化，系統(tǒng)可以用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)來(lái)處理.

費(fèi)米-狄拉克和玻色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)反映了單粒子態(tài)所能填充的平均粒子數(shù)對(duì)能級(jí)和化學(xué)勢(shì)的依賴(lài)關(guān)系.在T=0 K極限下有解析解，我們?cè)趧?dòng)量空間發(fā)現(xiàn)了新的物理量和現(xiàn)象，例如：費(fèi)米面、玻色-愛(ài)因斯坦凝聚等.兩個(gè)量子統(tǒng)計(jì)精確可解的問(wèn)題是：(i)自由電子氣或金屬晶格模型；(ii)光子氣和輻射場(chǎng)模型.

5 結(jié)語(yǔ)

本文依照古人＂鉤玄提要＂的智慧，借鑒諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者費(fèi)恩曼的方法，對(duì)《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》課程的線(xiàn)上教學(xué)進(jìn)行了探索.總結(jié)出問(wèn)題導(dǎo)向—生動(dòng)案例—提綱挈領(lǐng)的實(shí)施方案.希望與同行分享討論，推進(jìn)這門(mén)在本科物理諸多課程中可謂“內(nèi)容繁難、思想深刻、綜合性強(qiáng)”的建設(shè).