王拴虎，田穎異，王 民，代富平

(西北工業(yè)大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710129)

固體物理是大多數(shù)國(guó)內(nèi)高校物理學(xué)專業(yè)和材料學(xué)專業(yè)均開設(shè)的本科必修課[1].學(xué)生在學(xué)習(xí)固體物理的過(guò)程中，不僅會(huì)學(xué)到很多將來(lái)在科研中非常重要的實(shí)用知識(shí)，而且還會(huì)加深對(duì)先前所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)[2].

深入分析固體物理研究電子行為的方法，不難看出，固體物理學(xué)處理電子的問(wèn)題依然是基于非相對(duì)論量子力學(xué)，即薛定諤方程展開的.只是在固體物理中，薛定諤方程的勢(shì)能項(xiàng)較為復(fù)雜，通常需要采取各種近似加以求解，才能獲得電子的色散關(guān)系，再結(jié)合能態(tài)密度的分析，從而討論固體中電子的各種特性和行為.因?yàn)楣腆w中電子的速度遠(yuǎn)小于光速，因此電子的相對(duì)論行為通常忽略不計(jì).然而在實(shí)際研究中，一些相對(duì)論效應(yīng)有時(shí)不能忽略，例如電子的自旋軌道耦合[3]或拓?fù)浣^緣體[4,5]中的電子輸運(yùn)行為等.但對(duì)于本科生而言，要深入掌握這些特殊情況的電子相對(duì)論效應(yīng)有一定難度.

筆者在本科物理的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，天體物理[6]中的中子星形成機(jī)理涉及的物理問(wèn)題可以很輕松地將電子的相對(duì)論行為引入到固體物理中，讓學(xué)生對(duì)相對(duì)論量子力學(xué)有所認(rèn)識(shí).同時(shí)該問(wèn)題融合了部分電動(dòng)力學(xué)中狹義相對(duì)論的知識(shí)，以及一些熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的知識(shí)，將它和固體物理中電子行為相互融合和比較，不僅可以鞏固已有的四大力學(xué)的知識(shí)，還能加深學(xué)生對(duì)電子這種費(fèi)米子特性的認(rèn)識(shí)，更重要的是能豐富學(xué)生的物理學(xué)知識(shí)，拓展學(xué)生的視野.

1 非相對(duì)論下的質(zhì)量與體積關(guān)系

在固體物理的索末菲模型(作為零級(jí)近似，把電子當(dāng)做被關(guān)閉在箱體中的自由電子)中[7-9]，由于電子的費(fèi)米速度遠(yuǎn)小于光速，因此不考慮相對(duì)論特性，其色散關(guān)系通?？梢院?jiǎn)單地表述為

(1)

其中me為電子的質(zhì)量，對(duì)于一些可以對(duì)電子做有效質(zhì)量近似的材料，也可以代表電子的有效質(zhì)量.?為狄拉克常數(shù)，k為電子波矢，下角標(biāo)non代表非相對(duì)論，考慮到電子的準(zhǔn)動(dòng)量p=?k，則式(1)也可表示為

(2)

這是我們熟知的晶體中在非相對(duì)論情況下電子動(dòng)量和能量的關(guān)系式.

而在狹義相對(duì)論中，電子的動(dòng)能為

(3)

其中c為真空光速，me為電子的靜質(zhì)量，當(dāng)溫度較低，即電子的速度較低時(shí)，靜止質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子動(dòng)能，mec2>>pc，即為非相對(duì)論情況，式(3)變?yōu)槭?1).

根據(jù)固體物理對(duì)倒空間的定義，可知倒空間的狀態(tài)密度為V/(2π)3，E與E+ΔE等能面之間的體積記為ΔVk，易知

(4)

其中，dSdk⊥為E與E+ΔE等能面之間的體積元，顯然有

dk⊥|kE|=ΔE

(5)

(6)

Δω為E與E+ΔE等能面之間可容納的電子數(shù)，從公式(1)可以看出，能量為各向同性，因此積分后的等能面可取球面，即

dS=4πk2

(7)

根據(jù)式(1)用E表示k，并帶入式(6)，可得非相對(duì)論下電子的態(tài)密度表達(dá)式為

(8)

在T=0時(shí)，費(fèi)米面以下的費(fèi)米分布函數(shù)恒為1，則總電子數(shù)Ne為

(9)

其中f(E)為費(fèi)米狄拉克分布函數(shù)，表達(dá)式為

(10)

(11)

(12)

從而每個(gè)電子的平均能量與電子濃度的關(guān)系為

(13)

同時(shí)在非相對(duì)論情況下，能量與壓強(qiáng)p的關(guān)系如下

(14)

因此

(15)

以上內(nèi)容均是固體物理學(xué)在本科課程中涉及的內(nèi)容，由此可以看出電子的簡(jiǎn)并壓力與濃度的5/3次方成正比.對(duì)于半徑為R質(zhì)量為M的白矮星，其內(nèi)部受到的引力是非常巨大的，如此巨大的壓力只能由電子向外熱膨脹的力與之抗衡，當(dāng)二者平衡時(shí)，則有

(16)

其中α為數(shù)量級(jí)為1的數(shù)值系數(shù)，取決于星體的密度分布.

物質(zhì)的質(zhì)量主要由中子和質(zhì)子，即核子所提供，因此星體質(zhì)量M為

M=NNmN=γNemN

(17)

其中NN為質(zhì)子和中子的總數(shù)，忽略二者的質(zhì)量差，將二者的質(zhì)量均記為mN，γ=NN/Ne為核子數(shù)和電子數(shù)之比.對(duì)于氫原子，γ(H)=1，對(duì)于4He，γ(4He)=2因此，半徑R為

(18)

由此可以看出，質(zhì)量與半徑成負(fù)相關(guān)，質(zhì)量越大的白矮星，體積反倒越小.

同時(shí)值得注意的是，為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，以上的討論過(guò)程中是基于星體處于絕對(duì)零度時(shí)展開的，這與實(shí)際情況有所不同.實(shí)際情況需要考慮高溫下費(fèi)米面的移動(dòng)，但此處的簡(jiǎn)化并不影響最終的定性分析.

2 相對(duì)論下的質(zhì)量與體積關(guān)系

當(dāng)星體質(zhì)量持續(xù)增大，達(dá)到一定極限時(shí)，電子需要更大的熱膨脹力才能抵消相應(yīng)增加的萬(wàn)有引力，此時(shí)電子的運(yùn)動(dòng)更加劇烈，其費(fèi)米速度將逐漸趨向光速極限，就必須要考慮相對(duì)論效應(yīng)[6,10].此時(shí)mc2<

Ere=?c|k|

(19)

下角標(biāo)re代表相對(duì)論.

將公式(19)帶入式(6)，此時(shí)態(tài)密度的表達(dá)式為

(20)

在T=0時(shí)，電子總數(shù)Ne

(21)

可以得到此時(shí)的零點(diǎn)費(fèi)米能為

(22)

單個(gè)電子平均能量為

(23)

而在相對(duì)論情況下，能量與壓強(qiáng)p的關(guān)系如下，

(24)

因此，

(25)

此時(shí)壓強(qiáng)和質(zhì)量的關(guān)系將發(fā)生變化，得到的結(jié)果為

(26)

從式(26)可以看出，此時(shí)星體的質(zhì)量已經(jīng)與半徑?jīng)]有關(guān)系了，這意味著當(dāng)星體的質(zhì)量進(jìn)一步增加時(shí)，星體無(wú)法通過(guò)減小體積的方式來(lái)增加壓強(qiáng)，也就無(wú)法與萬(wàn)有引力對(duì)抗.星體終將因?yàn)槿f(wàn)有引力的作用持續(xù)坍縮下去，原子核內(nèi)的核子被最終擠壓出來(lái)，質(zhì)子與電子碰撞構(gòu)成中子，從而形成中子星.

聯(lián)系到前式，臨界質(zhì)量Mc

(27)

當(dāng)γ=1且α=1時(shí)，

Mc=5×1030kg=2.5M⊙

(28)

其中M⊙為太陽(yáng)質(zhì)量，當(dāng)γ=2時(shí)，Mc=0.625M⊙.值得一提的是，以上的計(jì)算雖然較為粗糙，但白矮星存在一個(gè)質(zhì)量極限的結(jié)論是毋庸置疑的，并且與實(shí)際天文觀察到的白矮星質(zhì)量上限在同一個(gè)量級(jí)上，這一臨界質(zhì)量也被稱之為錢德拉塞卡極限.詳細(xì)的計(jì)算需要考慮α的具體數(shù)值，以及費(fèi)米面在高溫下的變化等因素.深入計(jì)算表明，如果γ=1，即白矮星是由氫構(gòu)成的，則Mc=5.6M⊙，而如果γ=2，即白矮星是由氦構(gòu)成的，則Mc=1.4M⊙.在實(shí)際天文觀察中，白矮星的質(zhì)量均小于1.4M⊙，因此可以判斷白矮星的主要成分為氦.

3 總結(jié)

綜上所述，不難發(fā)現(xiàn)，中子星形成機(jī)理的推算過(guò)程完全可以建立在固體物理中對(duì)電子行為的討論上.在此基礎(chǔ)上引入相對(duì)論修正，即可推導(dǎo)出白矮星的質(zhì)量極限，即錢德拉塞卡極限.將此過(guò)程引入到固體物理的教學(xué)中，不僅可以加深學(xué)生對(duì)固體中電子色散關(guān)系的認(rèn)識(shí)，還能極大地拓展學(xué)生對(duì)于電子相對(duì)論行為的認(rèn)識(shí)，更好地將之前所學(xué)的知識(shí)融合到一起，起到很好的溫故知新的作用.