研究生課程中常用函數(shù)空間的講解探索

謝素英　王陽

摘 ?要：研究生階段的分析類課程大部分與本科階段的數(shù)學(xué)分析相聯(lián)系。這些分析類課程主要以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，拓展了數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)空間到一些更復(fù)雜的函數(shù)空間。而這些復(fù)雜函數(shù)空間理論非常抽象難于理解，對于初學(xué)者掌握帶來了很大困擾。文章針對研究生分析類課程常用函數(shù)空間如何結(jié)合數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)來講解做了初步研究和探索， 給出了一些講解技巧和方法，使同學(xué)更容易理解和掌握。

關(guān)鍵詞：連續(xù)函數(shù);函數(shù)空間;講解探索

中圖分類號：G642 ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2021）13-0071-05

Abstract： Most of the analysis courses in graduate stage are related to Mathematical Analysis in undergraduate stage. These analysis courses are mainly based on Mathematical Analysis， expanding the continuous function space in Mathematical Analysis to some more complex function spaces. But these complex function space theories are very abstract and difficult to understand， which brings great trouble to beginners. A preliminary study and exploration on how to explain the common function space of analysis courses in graduate stage by combining the continuous functions in Mathematical Analysis is given， some explanation skills and methods are shown in this paper， so that students can understand and master it more easily.

Keywords： continuous functions; function space; explanation and exploration

研究生階段分析類課程有很多，主要包括實(shí)分析、復(fù)分析、泛函分析、微分方程、非線性分析等課程。而這些分析類課程的本科基礎(chǔ)課主要是數(shù)學(xué)分析[1-3]、實(shí)變函數(shù)和泛函分析[4]等。我們在研究和講解這些分析類課程時(shí)主要從函數(shù)空間入手。本科階段對數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)主要在連續(xù)函數(shù)空間，各種定義、定理以及運(yùn)算基本都是在連續(xù)函數(shù)空間進(jìn)行的。但隨著實(shí)際研究的需要和課程的深入僅僅停留在連續(xù)函數(shù)空間是不夠的，因此本科的高年級以及研究生階段會用到很多函數(shù)空間理論，例如：Hlder連續(xù)空間，Lipschitz連續(xù)空間，Lebesgue可積空間，L1，Lp（0

一、從連續(xù)函數(shù)空間到Lebesgue可積函數(shù)空間

數(shù)學(xué)分析中最常用的函數(shù)空間分別為C0，C1，C2，Cn，C∞，即分別對應(yīng)函數(shù)連續(xù)，一階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，n階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，任意階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)。數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)階段我們主要在以上這些空間中進(jìn)行微積分的運(yùn)算。而數(shù)學(xué)分析階段對函數(shù)空間要求的條件較強(qiáng)。例如：一些不定積分和定積分以及重積分和曲線、曲面積分存在常用的“充分條件”是被積函數(shù)連續(xù)， 關(guān)于積分的題目主要是針對連續(xù)函數(shù)設(shè)計(jì)的。而尤其一些函數(shù)運(yùn)算需要更強(qiáng)的光滑性質(zhì)即導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，例如： 關(guān)于函數(shù)的泰勒展開的運(yùn)算，不僅需要函數(shù)連續(xù)還需要函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。在泰勒展開中常用的函數(shù)ex，sinx，cosx等都屬于C∞類的充分光滑的函數(shù)。綜上可知，數(shù)學(xué)分析階段主要研究一些“好”函數(shù)，即連續(xù)函數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)仍連續(xù)的函數(shù)。我們還發(fā)現(xiàn)關(guān)于數(shù)學(xué)分析中的定積分，在有限閉區(qū)間上連續(xù)的被積函數(shù)都有很好的Riemann可積性（以下簡稱R-可積），而且R-可積的“必要條件”是被積函數(shù)在積分區(qū)間上必須“有界”。但是處處不連續(xù)的狄里克萊函數(shù)D（x）=1，x∈Q0，x∈Qc，x∈[0，1]，盡管在[0，1]區(qū)間有界，但根據(jù)Riemann積分的定義可知R-積分D（x）dx是不存在的。而且這個(gè)有界非黎曼可積的狄里克萊函數(shù)經(jīng)常作為數(shù)學(xué)分析中的反例來說明“有界”僅僅是可積的必要條件而非充分條件。顯然在給定的區(qū)間內(nèi)狄里克萊函數(shù)是一個(gè)處處不連續(xù)，處處不可導(dǎo)的函數(shù)，也就是數(shù)學(xué)分析中的“好”函數(shù)所對應(yīng)的“壞”函數(shù)。但研究中發(fā)現(xiàn)這樣的“壞”函數(shù)是大量存在的，為了研究這類函數(shù)，因此出現(xiàn)了后續(xù)課程實(shí)變函數(shù)。

在實(shí)變函數(shù)中引入了Lebesgue測度和可測的概念，通過測度可以研究一類處處不連續(xù)，處處不可導(dǎo)的“壞”函數(shù)的測度。有了測度的概念之后，為了研究這類函數(shù)的積分，引出了Lebesgue可積函數(shù)空間（以下簡稱L-可積）。從“好”函數(shù)的黎曼積分過度到“壞”函數(shù)的勒貝格積分，需要在講解時(shí)讓同學(xué)真正理解二者在概念上的差異。我們已經(jīng)知道定義在R1上的狄里克萊函數(shù)是Riemann不可積的最典型的例子，但在實(shí)變函數(shù)中它在R1的任意可測子集上的Lebesgue積分為零。在學(xué)習(xí)和講解過程中同學(xué)最難理解Riemann定積分和Lebesgue積分的區(qū)別，往往把二者相混淆。下面以狄里克萊函數(shù)為例討論Riemann定積分和Lebesgue積分的本質(zhì)，以及兩種積分在應(yīng)用中的差異。

對比R-積分和L-積分，我們發(fā)現(xiàn)二者不僅在定義方式上有很大區(qū)別，而且在后續(xù)應(yīng)用中存在很大的不同。在數(shù)學(xué)分析階段我們經(jīng)常遇到極限與極限換續(xù)、極限與級數(shù)符號換續(xù)、極限與積分號換續(xù)、級數(shù)符號與積分號的換續(xù)題目， 而這些換續(xù)的條件都要求函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級數(shù)“一致收斂”[1-3]。我們發(fā)現(xiàn)在有界函數(shù)范圍內(nèi)R-積分存在以下缺陷：首先R-積分與極限可交換的條件要求太強(qiáng)，即要求一致收斂;而L-積分比R-積分要求的條件要“弱”很多，對于非負(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)幾乎無條件地逐項(xiàng)可積分[4]，即級數(shù)符號與L-積分號的換續(xù)不再需要逐一驗(yàn)證一致收斂了。而常用的Lebesgue-控制收斂定理只需找到一個(gè)控制函數(shù)g（x），使得|f（x）|

此外，若有界函數(shù)f（x）在[a，b]上R-可積，則f（x）在[a，b]上也L-可積。顯然L-積分比R-積分應(yīng)用更廣。我們還發(fā)現(xiàn)在R-積分中，f（x）可積，則有|f（x）|也可積，但反之不然，例如f（x）=1， x∈Q-1，x∈Qc，x∈[0，1]，f（x）在[0，1]的R-積分是不存在的，但|f（x）|=1，其在[0，1]上是R-可積的，且積分值為1。而L-積分中存在比R-積分更好的結(jié)論，即f（x）在集合E上可測，f（x）是L-可積的充要條件是|f（x）|是L-可積的。當(dāng)然對有興趣的研究者還可以更深入地進(jìn)行剖析兩種積分的優(yōu)缺點(diǎn)。通過對比R-積分和L-積分的優(yōu)缺點(diǎn)，不僅使同學(xué)對這兩種積分的認(rèn)識更加深刻，而且在使用兩種積分時(shí)能夠更加靈活。

我們從連續(xù)函數(shù)空間入手，通過“好”函數(shù)和“壞”函數(shù)逐步引出R-積分和L-積分的本質(zhì)區(qū)別，由淺入深使同學(xué)從本科階段的數(shù)學(xué)分析層次逐步過渡到研究生階段的實(shí)分析層次。

H1和BMO的出現(xiàn)不僅有自身的理論價(jià)值，而且為研究算子在其他空間上的作用帶來了方便。BMO和VMO的引入不僅促進(jìn)了復(fù)分析、奇異積分算子、曲線上的Cauchy積分算子領(lǐng)域的飛速發(fā)展，而且對Ap權(quán)理論和微分方程領(lǐng)域的發(fā)展也產(chǎn)生了很大的促進(jìn)作用。

五、結(jié)束語

研究生階段分析類課程中常用的函數(shù)空間講解一定要立足于數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容，由淺入深地講解，把各種現(xiàn)代復(fù)雜的函數(shù)空間與數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)、可導(dǎo)、R-可積等知識點(diǎn)掛鉤，分析異同點(diǎn)、優(yōu)缺點(diǎn)，通過分析對比和應(yīng)用舉例讓學(xué)生很好地掌握和運(yùn)用。

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基金項(xiàng)目：杭州電子科技大學(xué)研究生教育教學(xué)改革項(xiàng)目課題“研究生分析類課程的教學(xué)難點(diǎn)研究”（編號：JXGG2019YB007）

作者簡介：謝素英（1966-），女，漢族，河北保定人，博士，副教授，研究方向：偏微分方程與復(fù)分析。