竇健泰

(江蘇科技大學(xué) 理學(xué)院，鎮(zhèn)江 212100)

相干衍射成像(coherent diffraction imaging，CDI)是一種迭代相位復(fù)原算法，其利用遠(yuǎn)場(chǎng)衍射光強(qiáng)反演待測(cè)物體相位信息.CDI分辨率可不受光學(xué)元件質(zhì)量限制，且無需成像系統(tǒng).基于此特點(diǎn)，CDI可彌補(bǔ)X射線、電子束等短波成像領(lǐng)域中高性能光學(xué)元件缺乏對(duì)成像質(zhì)量的影響[1].常規(guī)CDI的成像視場(chǎng)和收斂速度在實(shí)際使用時(shí)存在明顯不足，為解決其成像視場(chǎng)小和收斂速度慢的問題，文獻(xiàn)[2]提出了疊層成像技術(shù)(ptychographical iterative engine，PIE)，其要求照明光相對(duì)樣品進(jìn)行陣列掃描，且相鄰掃描位置有部分重疊.常規(guī)PIE系統(tǒng)的初始實(shí)驗(yàn)條件是假設(shè)照明光場(chǎng)已知且完全相干，精確已知掃描位置，衍射圖像無噪聲，樣品為薄切片.但是實(shí)際實(shí)驗(yàn)過程中，以上假設(shè)的條件均很難滿足.為成功應(yīng)用PIE，學(xué)者研究了諸多處理方法，如處理部分相干[3-5]，重建照明光場(chǎng)[6-9]，校正掃描位置誤差[10-16]，降低噪聲影響[17-18]，處理厚樣品[19]等.

上述處理方法中，重建照明光場(chǎng)是最先出現(xiàn)的，也是最重要的.共軛梯度(conjugate gradient，CG)算法[20]、差異圖(difference map，DM)算法[7]和擴(kuò)展疊層成像(extended ptychographical iterative engine，ePIE)算法[8]已用于重建照明光場(chǎng)，這些方法均解決了需預(yù)先已知照明光場(chǎng)的問題.ePIE作為全局優(yōu)化方法，在每次迭代時(shí)均將所有采集的衍射光強(qiáng)代入計(jì)算照明光場(chǎng)和物函數(shù)，但是ePIE滿足收斂條件時(shí)仍需要幾十次甚至幾百次迭代，會(huì)消耗大量計(jì)算時(shí)間.

受Shrink-Wrap算法[20]啟發(fā)，文中對(duì)ePIE算法進(jìn)行了優(yōu)化改進(jìn)，提出了基于自適應(yīng)照明光場(chǎng)校正的擴(kuò)展疊層成像方法，該方法可顯著提高收斂速度，縮短計(jì)算時(shí)間.

1 理論分析

在疊層成像實(shí)驗(yàn)裝置中，樣品需放置在二維位移平臺(tái)上，使樣品在垂直于光軸的平面內(nèi)相對(duì)于照明光進(jìn)行陣列掃描，且相鄰掃描位置有部分重疊，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1.

圖1 光路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意

在自適應(yīng)照明光場(chǎng)校正部分，通過給定的強(qiáng)度閾值追蹤孔徑光闌的邊界，確認(rèn)孔徑光闌的形狀，即將照明光在光闌平面處小于閾值的光強(qiáng)或振幅設(shè)置為0，其余設(shè)置為1，即可完成對(duì)光闌形狀的估計(jì).雖然初始估計(jì)的精確度很低，但可由迭代過程中光闌平面的波前不斷閾值化更新光闌形狀，即將迭代過程中更新后的照明光場(chǎng)逆向傳輸?shù)焦怅@平面，對(duì)光闌平面處的光場(chǎng)振幅閾值化進(jìn)一步校正光闌形狀.同時(shí)，將校正后的光闌形狀用于校正照明光場(chǎng)，然后將校正后的光場(chǎng)傳輸?shù)綐悠繁砻妫c樣品作用后傳輸?shù)紺CD，重復(fù)照明光場(chǎng)與樣品的更新過程.

實(shí)驗(yàn)中記錄的衍射圖樣標(biāo)記為I(u,sj)，其中u為探測(cè)器平面的坐標(biāo)，j=1, 2, …,J=M'N，其中：M為橫向移動(dòng)掃描的次數(shù)；N是縱向移動(dòng)掃描的次數(shù).光闌到樣品的距離為Z1，樣品到探測(cè)器平面的距離為Z2，照明波長為λ.假設(shè)初始猜測(cè)的照明光場(chǎng)函數(shù)為P0(r)，物函數(shù)為O0(r)，其中r為物平面的坐標(biāo).第m次迭代詳細(xì)步驟：

(1) 照明光與物體作用后的波前為ψm(r,sj)=Om(r)·Pm(r)，將該波前傳輸?shù)紺CD平面，即Ψm(u,sj)=F{ψm(r,sj)}，其中：F為傅里葉變換；sj表示第j個(gè)衍射圖樣.

(3) 更新物函數(shù)和照明光場(chǎng)函數(shù)：

(1)

(2)

式中：δ=0.000 1，用來確保數(shù)值穩(wěn)定；α和β的取值范圍是[0,1]，文中α=β=0.5.以上步驟與ePIE算法相同，后續(xù)步驟為文中提出的自適應(yīng)光場(chǎng)校正部分.

(5)若迭代次數(shù)m

重復(fù)步驟1～8，直至滿足終止條件.

2 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證文中提出方法的正確性，設(shè)計(jì)了仿真模型，模型選用的系統(tǒng)參數(shù)：工作波長λ=632.8 nm，CCD具有1 024×1 024像素，每個(gè)像素尺寸是4.4 μm×4.4 μm.光闌到物體，物體到CCD之間的軸向距離分別為10、64 mm，掃描步長為46個(gè)像素，共掃描了5×5個(gè)位置，以“Mandrill”作為物體的初始振幅和相位，其模的取值范圍為0～1，相位的取值范圍為0～π rad.圖2給出了光闌的形狀、物體表面的照明光場(chǎng)以及物體振幅和相位.

圖2 仿真數(shù)據(jù)

圖3給出了初始猜測(cè)光闌形狀、迭代20次最終光闌形狀、以及它們分別與理想形狀之間的差異.結(jié)果表明，隨著迭代次數(shù)增多光闌形狀越接近真實(shí)形狀.

圖3 迭代過程中的光闌形狀對(duì)比

為進(jìn)一步說明文中提出方法有利于提高照明光場(chǎng)重建精度，比較了迭代50次后ePIE和文中所提方法的重建照明光場(chǎng)與理想照明光場(chǎng)，圖4給出了相應(yīng)的結(jié)果.為定量分析重建精度，選用復(fù)原結(jié)果與理想結(jié)果差值的均方根(root mean square，RMS)來評(píng)價(jià)重建精度.ePIE方法的重建照明光場(chǎng)的振幅和相位的RMS分別為0.030 2和0.981 5 rad，而文中所提方法分別為0.011 0和0.719 9 rad.相比ePIE，文中所提方法的振幅和相位的重建精度分別提高了63.58%和26.65%.結(jié)果表明，在相同的迭代次數(shù)情況下，文中所提方法相比于ePIE方法具有更高的照明光場(chǎng)重建精度，高精度的照明光場(chǎng)有助于提高待測(cè)物體的重建精度.圖4給出了兩種方法對(duì)相同物體的重建精度.ePIE重建待測(cè)物的振幅和相位的RMS分別為0.111 6和0.343 8 rad，而文中所提方法分別為0.060 4和0.188 5 rad.這結(jié)論表明，在相同的迭代次數(shù)情況下，相比于ePIE方法，所提方法在振幅和相位重建精度上分別提高了45.88%和45.17%.以上結(jié)果表明，在相同的迭代次數(shù)情況下，所提方法可同時(shí)提高照明光場(chǎng)和待測(cè)物的重建精度.

圖4 50次迭代后兩種方法的重建結(jié)果比較

以上分析了重建精度，現(xiàn)分析兩種方法的收斂速度，采用圖2中的仿真數(shù)據(jù)以及式(3)中的均方根誤差(mean-squared error，MSE)評(píng)價(jià)收斂速度和重建精度.圖5比較了已知精確照明光場(chǎng)的PIE、ePIE和文中所提方法的MSE曲線.結(jié)果表明，文中所提方法的收斂速度比ePIE方法的更快，并與已知精確照明光的PIE方法的收斂速度接近.在同樣的迭代次數(shù)情況下，文中所提方法的MSE比ePIE的更小.為進(jìn)一步對(duì)比收斂速度，問將MSE閾值TMSE設(shè)為終止條件，即當(dāng)MSE值小于TMSE，迭代結(jié)束并且計(jì)算時(shí)間.在圖中，當(dāng)達(dá)到閾值TMSE=0.001時(shí)，上述3種算法的耗時(shí)t分別為523.9，1991.2，1115.5 s.結(jié)果表面，已知精確照明光的PIE有最快的收斂速度，但在實(shí)驗(yàn)過程中想要精確獲得照明光場(chǎng)需增加額外測(cè)量裝置，同時(shí)對(duì)環(huán)境、光源等穩(wěn)定性要求高.文中所提方法相比于ePIE的收斂速度提高了43.98%，這說明以固定閾值TMSE為終止條件時(shí)，文中所提方法能有效提高收斂速度，縮短計(jì)算時(shí)間.

(3)

圖5 PIE、ePIE、文中方法的收斂速度

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖6為實(shí)驗(yàn)裝置，其中光源是波長為632.8 nm的He-Ne激光器；8位CCD相機(jī)(DMK 23G274)為1 600×1 200像素，像素尺寸為4.4 μm×4.4 μm；二維位移臺(tái)可實(shí)現(xiàn)相鄰位置的重疊掃描，掃描步長為0.2 mm，光闌的有效半徑為1.35 mm.光闌、物體和CCD之間的距離分別為10.8、65.3 mm.

圖6 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖7展示了標(biāo)準(zhǔn)分辨率版USAF 1951的重建結(jié)果、光闌形狀重建結(jié)果以及不同方法的MSE曲線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.設(shè)置閾值TMSE=0.01作為終止條件，達(dá)到該終止條件時(shí)，文中所提方法和ePIE所需的迭代次數(shù)分別為52、87，相應(yīng)的計(jì)算時(shí)間分別為1 745.8、2 661.1 s.圖7(a、b)是兩種算法的重建結(jié)果，因?yàn)榻K止條件為MSE，其不僅可描述收斂速度也可描述重建精度，當(dāng)以相同MSE作為終止條件時(shí)，不同方法對(duì)應(yīng)的重建質(zhì)量是一致的.結(jié)果表明，物體重建達(dá)到同一質(zhì)量和精度時(shí)，文中所提方法相比于ePIE，所需計(jì)算時(shí)間縮短了34.40%.這一結(jié)果證實(shí)了，所提方法能有效提升收斂速度，縮短計(jì)算時(shí)間.

圖7 分辨率版實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

(1) ePIE是PIE的擴(kuò)展方法，其能夠同時(shí)重建物體和照明光場(chǎng).因此，當(dāng)精確光場(chǎng)很難精確已知時(shí)，它可以大大提高重建質(zhì)量，增加其適用范圍.

(2)文中所述的自適應(yīng)照明光場(chǎng)校正部分，可得到合理且與實(shí)際光場(chǎng)相接近的照明光場(chǎng)函數(shù)，精確的照明光場(chǎng)有助于提升收斂速度.

(3)仿真和實(shí)驗(yàn)表明，在相同迭代下，文中所提方法相比ePIE有更高的重建精度.此外，在以MSE或重建質(zhì)量為終止條件時(shí)，所提方法可減少迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間來提高收斂速度.