你“選”對(duì)了嗎？

徐永清

方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型，運(yùn)用方程（組）解決實(shí)際問題是常用的方法。在本章的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了從問題到方程（組）——解方程（組）——用方程（組）解決問題，積累了許多解決問題的經(jīng)驗(yàn)。老師收集了部分同學(xué)的容易選錯(cuò)的題目進(jìn)行評(píng)析，希望幫助同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中，不僅僅能選對(duì)答案，還能選對(duì)方法。

一、二元一次方程的概念

例1 若方程（a-4）x[a-3]+3y=1是關(guān)于x、y的二元一次方程，則a的值為（）。

A.4B.-4C.±3D.±4

【錯(cuò)解】D。

【剖析】本題主要考查了二元一次方程的概念，大部分同學(xué)都能發(fā)現(xiàn)[a]-3=1，但忽略了方程中未知數(shù)x的系數(shù)a-4≠0的隱含條件。

【正解】∵方程（a-4）x[a-3]+3y=1是關(guān)于x、y的二元一次方程，∴a-4≠0且[a]-3=1，解得a=-4。故正確的答案為B。

二、二元一次方程組的解

例2 解方程組[ax+by=2，cx-7y=8]時(shí)，一學(xué)生把c看錯(cuò)得[x=-2，y=2，]已知方程組的正確解是[x=3，y=-2，]則a、b、c的值是（）。

A.a、b不能確定，c=-2

B.a=4，b=5，c=-2

C.a=4，b=7，c=-2

D.a，b，c都不能確定

【錯(cuò)解】A。

【剖析】本題主要考查了二元一次方程組的解的概念，我們既要理解方程組的解的概念，又要正確理解題意。題中看錯(cuò)了方程，不是解錯(cuò)了方程。大部分同學(xué)都知道方程組的解是方程組中的兩個(gè)方程的公共解，因此把正確解代入第二個(gè)方程中，就可直接求出c=-2，立即作出判斷。而事實(shí)上由于第一個(gè)方程中沒有字母c，是否看錯(cuò) c，并不影響解滿足第一個(gè)方程，因此[x=-2，y=2，][x=3，y=-2]都滿足第一個(gè)方程，這樣可得到一個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程組，用適當(dāng)?shù)姆椒ń饧纯汕蟪鯽、b的值。

【正解】把[x=3，y=-2]代入cx-7y=8，得c=-2。

把[x=3，y=-2，][x=-2，y=2]代入ax+by=2，

得[3a-2b=2，-2a+2b=2，]解得[a=4，b=5。]

故正確的答案為B。

例3 已知關(guān)于x，y的二元一次方程組[x+3y=4-a，x-y=3a，]下列結(jié)論中正確的是（）。

①當(dāng)這個(gè)方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時(shí)，a=-2;②當(dāng)a=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=4+2a的解;③無論a取什么實(shí)數(shù)，x+2y的值始終不變;④若用x表示y，則y=[-x2]+[32]。

A.①④ B.②③ C.②③④ D.①③④

【錯(cuò)解】A。

【剖析】本題主要考查了二元一次方程（組）的解及應(yīng)用，把兩個(gè)方程相加可以得到x+y=2+a，①x，y的值互為相反數(shù)，則x+y=0，易得a=-2，故①正確;②當(dāng)a=1時(shí)，原方程組的解為[x=3，y=0，]它不是方程x+y=6的解，故②不正確;③解原方程組得[x=2a+1，y=1-a，]∴x+2y=2a+1+2-2a=3，故③正確;④由方程x+3y=4-a得，a=4-x-3y代入方程x-y=3a，得x-y=3（4-x-3y），即y=[-x2]+[32]， 故④正確。故正確的答案為D。

三、用二元一次方程組解決問題

例4 《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，書中有這樣一題：“今有共買物，人出八，盈三;人出七，不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”大意是：有幾個(gè)人一起去買一件物品，每人出8元，多3元;每人出7元，少4元，問有多少人？該物品價(jià)格是多少？設(shè)共有x人，該物品價(jià)格是y元，則下列方程組正確的是（）。

A.[8x+3=y，7x-4=y]B.[8y+3=x，7y-4=x]

C.[8x-3=y，7x+4=y]D.[8y-3=x，7y+4=x]

【錯(cuò)解】A。

【剖析】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程。怎樣把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出問題中的相等關(guān)系是關(guān)鍵。部分同學(xué)在思考過程中會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為多3就是加3，少4就是減4，這是不可取的。我們?cè)诜治鰡栴}時(shí)，可以畫出線形示意圖，以幫助我們理解題意。不難發(fā)現(xiàn)，每人出8元，則比物品的價(jià)格多3元;每人出7元，則比物品的價(jià)格少4元。據(jù)此找出相等關(guān)系列出方程組求解。

【正解】若設(shè)共有x人，物品價(jià)格是y元，根據(jù)題意，可列方程組為[8x-3=y，7x+4=y。]故正確的答案為C。

例5 現(xiàn)用190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或做22個(gè)盒底，而一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)盒子，設(shè)用x張鐵皮做盒身，y張鐵皮做盒底，則可列方程組為（）。

A.[x+y=190，2×8x=22y]B.[x+y=190，2×22y=8x]

C.[2y+x=190，8x=22y]D.[2y+x=190，2×8x=22y]

【錯(cuò)解】B。

【剖析】本題也是考查了由實(shí)際問題中抽象出二元一次方程。題目中的相等關(guān)系有兩個(gè)：①做盒身的鐵皮張數(shù)+做盒底的鐵皮張數(shù)=190;②盒身的個(gè)數(shù)×2=盒底的個(gè)數(shù)。部分同學(xué)錯(cuò)誤地認(rèn)為盒身數(shù)等于盒底數(shù)的2倍。

【正解】依據(jù)相等關(guān)系，列出方程組[x+y=190，2×8x=22y。]故正確的答案為A。

（作者單位：江蘇省鹽城市騰飛路初級(jí)中學(xué)）