負(fù)折射率材料及其成像規(guī)律
——由2020年北京普高適應(yīng)性測試物理卷第14題引發(fā)的思考

趙蕓赫

(首都師范大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100048)

馬宇翰

(中國工程物理研究院研究生院 北京 100193)

2020年北京市普通高中學(xué)業(yè)水平等級性考試適應(yīng)性測試物理卷的第14題描述了一道關(guān)于負(fù)折射率材料的成像問題.筆者注意到這道題目引發(fā)了不少物理教師和學(xué)生的熱議，問題原文如圖1所示.

圖1 北京市普通高中學(xué)業(yè)水平等級性考試適應(yīng)性測試第14題

對于該問題情境，學(xué)生依據(jù)題意及圖2的示例，可判斷出本題的答案為D.

圖2 符合題意的光線3和4所對應(yīng)的成像光路

可以看到，該題在激發(fā)學(xué)生關(guān)注科學(xué)前沿，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維方面起到了很好的促進(jìn)作用.考慮到本題背景所涉及的“負(fù)折射率材料”的研究歷史與前沿進(jìn)展，大家對于本題的爭論點(diǎn)，以及這個(gè)問題中可以繼續(xù)深挖的與中學(xué)物理教學(xué)相結(jié)合的內(nèi)容，本文將對如下3個(gè)問題進(jìn)行討論：(1)問題中所涉及的負(fù)折射率材料是否存在？(2)根據(jù)題目中答案D所顯示的光線方向，部分同學(xué)認(rèn)為這意味著此種材料的相對折射率的絕對值小于1(從圖中看來，折射角大于入射角)，即光在該材料中的光速超過在真空中的光速，如何解釋？(3)這種負(fù)折射率材料的成像與中學(xué)物理中所涉及的正折射率材料的成像(如透鏡的成像)有什么區(qū)別？

1 負(fù)折射率材料的發(fā)展與應(yīng)用

1.1 Veselago和他的“負(fù)折射率材料”

圖3 光在正/負(fù)均勻折射率介質(zhì)中的折射規(guī)律

但在Veselago的研究發(fā)表后的近30年內(nèi)，由于人們在自然界中并沒有找到Veselago所設(shè)想的ε和μ同時(shí)為負(fù)值的材料，對于負(fù)折射率材料的研究也漸漸被擱淺.

1.2 負(fù)折射率材料的實(shí)驗(yàn)研究

1996-1998年間，美國加州大學(xué)圣迭戈分校的Smith等人，在微波實(shí)驗(yàn)中采用Pendry所提出的以一定間距周期排列的銅棒狀陣列結(jié)構(gòu)[2,3]，首次實(shí)現(xiàn)了在同一塊材料里，讓ε和μ同時(shí)為負(fù)值.進(jìn)一步地，Smith等人利用這種復(fù)合材料觀察到了負(fù)折射現(xiàn)象，從實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了左手材料折射率的測量值確實(shí)是負(fù)值[4].

緊接著，2003年，首先是美國Boeing Phantom Works小組的Parazzoli等人重復(fù)并改進(jìn)了Smith等人的實(shí)驗(yàn),他們的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和模擬計(jì)算非常吻合,都顯著而清晰地展示了負(fù)折射現(xiàn)象[5].與此同時(shí)，美國MIT的Houck小組從實(shí)驗(yàn)上得到了不同入射角下測量到的負(fù)折射率是一致的，這一結(jié)果完全符合斯涅耳定律[6].

至此，在21世紀(jì)初的這些實(shí)驗(yàn)從現(xiàn)象和定量的角度驗(yàn)證了Veselago的理論預(yù)言.后來隨著人工光子晶體結(jié)構(gòu)研究的發(fā)展,愛荷華州大學(xué)的S. Foteinopouloud等提出了不借助金屬，完全利用電介質(zhì)材料組成的光子晶體來實(shí)現(xiàn)左手材料.此后，在人工光子晶體中實(shí)現(xiàn)負(fù)折射的現(xiàn)象也得到了科學(xué)家們的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[7].

在此之后，對于負(fù)折射率材料的研究主要集中在可見光波段，2007年，美國加州技術(shù)研究所的H.J.Lezec設(shè)計(jì)完成了一種金屬-絕緣體-金屬的特別波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了該設(shè)計(jì)方式在光譜為藍(lán)綠光譜區(qū)域中的負(fù)折射現(xiàn)象[8],而后其他科學(xué)家也相繼實(shí)現(xiàn)了在不同可見光波段的負(fù)折射率現(xiàn)象[9].

2 對問題爭議點(diǎn)“是否超光速”的討論

實(shí)際上，根據(jù)已有的實(shí)驗(yàn)報(bào)道，現(xiàn)有的左手材料折射率都小于-1.那么首先從這個(gè)問題的題設(shè)角度來說，未特殊說明點(diǎn)光源S所處的介質(zhì)為真空條件，因此，只要滿足該負(fù)折射率材料的折射率絕對值與光源S的背景介質(zhì)折射率之比小于1的條件，就可以實(shí)現(xiàn)光線4的折射方向.在這種情況下，也就不存在介質(zhì)中光速超過真空中光速的悖論.例如，光源所在環(huán)境折射率為n1=2，入射介質(zhì)的折射率為n2=-1.5.

若考慮點(diǎn)光源S所處的介質(zhì)為真空的情形，這時(shí)就需要從波的群速度與相速度的角度來解釋.其實(shí)在中學(xué)階段，對于波來說并未區(qū)分這兩個(gè)概念，這是因?yàn)槿核俣群拖嗨俣戎挥性诜菃晤l波通過頻散介質(zhì)中才有差別，而在中學(xué)物理范圍內(nèi)通常不涉及這種情況.

3 負(fù)折射率材料的成像特點(diǎn)

本文一開始所列出題目的分析中，只定性地討論了成實(shí)像的光路要滿足的條件.現(xiàn)在，本文基于折射定律來具體計(jì)算和討論物S的像S′的位置，進(jìn)而分析對于這樣一塊負(fù)折射率平行板材料而言更為細(xì)致的成像規(guī)律.

首先，如圖4所示，光的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別為A和A′，入射角和折射角的大小分別為θ1和θ2.過S和S′的虛線為光軸，與光入射介質(zhì)的界面交點(diǎn)為B，與光出射介質(zhì)的界面交點(diǎn)為B′.

圖4 物S經(jīng)負(fù)折射率平板介質(zhì)成像光路圖(另一條關(guān)于光軸對稱的光線未作出)

圖4中，SB=L,AB=h1,A′B′=h2,B′S′=x，介質(zhì)的厚度為d，根據(jù)幾何關(guān)系有

(1)

再利用折射定律，可得

(2)

最終得到物像距SS′=L+d+x為

(3)

因此，根據(jù)圖4可知，物體S在介質(zhì)后方成實(shí)像的條件就是SS′>L+d，代入即得

(4)

(5)

上式意味著，當(dāng)

(6)

此外，如圖5所示，若物體沿著平行于介質(zhì)表面移動，則像也會在介質(zhì)后沿著相同方向移動等大的距離.

圖5 物體沿平行于介質(zhì)表面移動時(shí)像的移動

這表明，這種負(fù)折射率介質(zhì)與我們熟知的正折射率介質(zhì)制成的球面透鏡不同，后者一般只有一個(gè)光軸.2003年美國西北大學(xué)的研究組用類似結(jié)構(gòu)的光子晶體實(shí)現(xiàn)了負(fù)平板介質(zhì)的成像，他們?yōu)榱蓑?yàn)證這種透鏡不像傳統(tǒng)透鏡那樣具有一個(gè)確定的主光軸,將光源向上移動了4 cm,結(jié)果像也同樣向上移動了相同的距離.這一現(xiàn)象可以在圖6所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中明顯地看出[10].

圖6 負(fù)折射率材料平板成像實(shí)驗(yàn)

總的來說，當(dāng)處于折射率為n2>0的正折射率介質(zhì)中的物體經(jīng)過這樣一種折射率n2<0的負(fù)折射率材料質(zhì)制成的平板(以下簡稱“負(fù)平板介質(zhì)”)后，與經(jīng)過一正折射率材料制成的平板(以下簡稱“正平板介質(zhì)”)所不同的是，其具有如下5條成像規(guī)律：

(4)無論“負(fù)平板介質(zhì)”成實(shí)像或是虛像時(shí)，物距與像距并不是一一對應(yīng)的關(guān)系，一個(gè)物距所對應(yīng)的像距是一個(gè)范圍，“正平板介質(zhì)”成虛像特點(diǎn)與之相同.在這個(gè)范圍內(nèi)“負(fù)平板介質(zhì)”成實(shí)像時(shí)都能承接到該物體的清晰的像.

(5)這種“負(fù)平板介質(zhì)”的光軸不止一個(gè)，所有垂直于介質(zhì)表面的直線都可以視為光軸.“正平板介質(zhì)”在這一點(diǎn)上與之相同，而與我們熟知的正折射率介質(zhì)制成的球面透鏡不同.

圖7 物體所發(fā)出的不同入射角度的光經(jīng)過不同折射率組合的介質(zhì)后的光路圖

4 總結(jié)與討論

在前三節(jié)中，本文從近期北京普高學(xué)業(yè)水平等級性考試適應(yīng)性測試中的一道物理試題出發(fā)，對其所涉及的關(guān)于“負(fù)折射率”材料的背景，這種材料的前沿研究和應(yīng)用前景，并以負(fù)折射率平板介質(zhì)為例，對其成像規(guī)律進(jìn)行了分析討論.

其實(shí)，關(guān)于負(fù)折射率介質(zhì)還有可以進(jìn)一步拓展考核的方向，例如其全反射性質(zhì)、更多以其制成的不同幾何形狀的透鏡的成像規(guī)律等等，這些都是值得探討和引發(fā)師生深入思考的問題.本文的討論與分析為將“負(fù)折射率介質(zhì)”這一新情境融入中學(xué)物理光學(xué)部分的教學(xué)提供參考.