李 征，陳海東，彭 博，陳建偉

（1. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；2. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

可重復(fù)使用航天器（Reusable Launch Vehicle，RLV）是指可在地球表面和太空之間自由往返、可重復(fù)使用的多用途飛行器。它可以快速、便利地向太空運(yùn)送有效載荷，完成任務(wù)后，又可安全、準(zhǔn)確地降落在著陸場[1]。除了空間運(yùn)輸任務(wù)外，利用較強(qiáng)的機(jī)動能力與較大的航程，RLV在再入大氣層后也可開展區(qū)域探測任務(wù)或者承擔(dān)通信節(jié)點(diǎn)功能。由于能夠搭載的飛行載荷有限，往往只能夠開展單一的飛行任務(wù)，因此可以令多架RLV協(xié)同工作，通過時間協(xié)同飛行，完成更多復(fù)雜功能，提高飛行器的使用效能，符合未來的發(fā)展需求。

制導(dǎo)系統(tǒng)根據(jù)飛行任務(wù)來修正飛行器的狀態(tài)，保證其飛行精度。RLV的再入制導(dǎo)是一個復(fù)雜的多約束問題，RLV的再入過程分為滑翔段與末端能量管理段，現(xiàn)有的滑翔段制導(dǎo)方式以兩種為主：參考軌跡跟蹤和實(shí)時預(yù)測-校正[2]。前者通過參考軌跡和實(shí)際軌跡的偏差來計(jì)算制導(dǎo)指令，只需占用少量的計(jì)算資源，缺點(diǎn)是自主性和精度較差，后者通過預(yù)測飛行器的落點(diǎn)來對制導(dǎo)指令進(jìn)行校正，自主性與精度較高，但是過程約束難以處理，實(shí)時性較差。

文獻(xiàn)[3]在研究滑翔式飛行器彈道特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，分析了多架滑翔式飛行器協(xié)同突防的可行性。文獻(xiàn)[4]研究了多個高超聲速滑翔飛行器在存在多個禁飛區(qū)的情況下同時到達(dá)目標(biāo)的問題，推導(dǎo)了飛行時間的解析公式，實(shí)現(xiàn)了多架滑翔飛行器協(xié)同飛行。文獻(xiàn)[5]研究了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與預(yù)測校正的再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)方法，實(shí)現(xiàn)了多架RLV的再入?yún)f(xié)同，但是飛行器的機(jī)動能力和時間調(diào)節(jié)能力有限。文獻(xiàn)[6]提出一種預(yù)測校正協(xié)同制導(dǎo)律，在高度-速度剖面設(shè)計(jì)參考軌跡，通過數(shù)值算法校正兩個軌跡參數(shù)并求取實(shí)際控制量，實(shí)現(xiàn)了時間協(xié)同再入飛行。

本文設(shè)計(jì)了一種再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)方案，首先研究了基于偽譜法的軌跡設(shè)計(jì)方法，將時間約束加入到軌跡設(shè)計(jì)中，為后續(xù)制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)，之后研究了飛行時間協(xié)調(diào)策略，時間協(xié)調(diào)貫穿整個飛行過程，計(jì)算每架RLV到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的飛行時間區(qū)間，以此為基礎(chǔ)確定協(xié)同飛行時間，之后針對協(xié)同制導(dǎo)問題，以協(xié)同飛行時間為強(qiáng)約束，基于滾動時域控制思想，使用偽譜法生成開環(huán)制導(dǎo)指令，選擇合適的滾動時域周期，通過不斷地生成開環(huán)制導(dǎo)指令，達(dá)到閉環(huán)制導(dǎo)的效果，最終實(shí)現(xiàn)多架RLV再入?yún)f(xié)同飛行。

1 可重復(fù)使用航天器動力學(xué)模型

1.1 三自由度動力學(xué)方程

本文主要研究RLV再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)，RLV為升力體構(gòu)型，飛行過程中使用傾側(cè)角轉(zhuǎn)彎，保證側(cè)滑角為零。認(rèn)為地球模型為旋轉(zhuǎn)圓球，大氣中有陣風(fēng)作用，再入過程中RLV無動力，因此三自由度動力學(xué)方程為[7～8]

式中V為RLV的飛行速度；θ為RLV飛行速度和水平面的夾角；r為RLV和地球中心的距離；ωe為地球轉(zhuǎn)速；υ為速度與垂直平面的夾角；φ，λ分別為RLV彈下點(diǎn)緯度、經(jīng)度；σ為速度方向角；Wx，Wy，Wz分別為3個方向上的陣風(fēng)干擾強(qiáng)度；L，D分別為作用在RLV上的升力、阻力，其計(jì)算方法為

式中DC為氣動阻力系數(shù)；CL為氣動升力系數(shù)；S為RLV的氣動參考面積；ρ為地球空氣密度。

1.2 再入約束條件

可重復(fù)使用航天器再入飛行環(huán)境復(fù)雜，需要滿足多種約束，主要包括再入過程約束、終端狀態(tài)約束和控制量約束。

1.2.1 再入過程需要滿足的約束

RLV在飛行中需要考慮的約束有飛行過載、與大氣摩擦產(chǎn)生的熱流密度、飛行動壓，3種約束的計(jì)算方法為

式中g(shù)0為海平面引力加速度；KQ為與頭部形狀相關(guān)的系數(shù)；nmax，Q˙max，qmax分別為過載約束、熱流密度約束、動壓約束的最大幅值，由航天器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、表面材料和載荷防護(hù)要求決定。以上3個約束RLV在飛行過程中不能突破，否則會造成飛行任務(wù)的失敗。

1.2.2 飛行終端需要滿足的約束

研究多架可重復(fù)使用航天器再入?yún)f(xié)同過程，要求終端時刻一致，所以整個飛行過程的時間約束如下：

式中tf,i為第i個飛行器的終端時刻。

RLV所承擔(dān)的飛行任務(wù)決定了終端時刻位置、速度要求：

式中rf,i，θf,i，σf,i，φf,i為第i個RLV在終端時刻的高度、位置要求。

1.2.3 控制量約束

在RLV飛行過程中，為了保證飛行穩(wěn)定性，攻角和傾側(cè)角的變化范圍必須受限，同時由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)能力有限，攻角和傾側(cè)角的變化速度也受限。

式中αmin，αmax，υmin，υmax，α˙max，υ˙max分別為攻角、傾側(cè)角取值范圍和變化率范圍，在本文中，可重復(fù)使用航天器的攻角和傾側(cè)角約束為-30°≤α≤30°，-80°≤υ≤80°，

2 基于偽譜法的再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)

多RLV再入?yún)f(xié)同的核心任務(wù)是在同一時刻到達(dá)指定的任務(wù)區(qū)域，本文設(shè)計(jì)的再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)方案如圖1所示。

圖1 再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)整體方案Fig.1 Integrated Reentry Cooperative Guidance Scheme

整個再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)方案分3部分：

a）第1部分為再入軌跡設(shè)計(jì)。主要在RLV再入大氣層之前進(jìn)行，根據(jù)初步確定的協(xié)同飛行時間生成再入軌跡。

b）第2部分為飛行時間協(xié)調(diào)。此部分貫穿整個飛行過程，使用偽譜法估計(jì)各架RLV到目標(biāo)區(qū)域的飛行時間區(qū)間，在此基礎(chǔ)上確定整個編隊(duì)統(tǒng)一的飛行時間。

c）第3部分為基于滾動時域控制與Radau偽譜法的再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)。在每個滾動時域周期內(nèi)，以第1部分設(shè)計(jì)的再入軌跡為初始值，分別以當(dāng)前狀態(tài)和終端狀態(tài)為初始條件和終端條件，以第2部分確定的協(xié)同飛行時間為約束條件，以吸熱量最少或軌跡振動最小為優(yōu)化目標(biāo)，使用偽譜法快速生成飛行軌跡和攻角、傾側(cè)角指令序列，并以此指令序列為基礎(chǔ)使用二次樣條插值，以10 ms為制導(dǎo)周期生成制導(dǎo)指令。

在整個飛行過程中，通過不斷的軌跡優(yōu)化，持續(xù)生成開環(huán)制導(dǎo)指令，進(jìn)而達(dá)到閉環(huán)制導(dǎo)的效果，引導(dǎo)RLV飛向目標(biāo)。

2.1 基于偽譜法的再入?yún)f(xié)同軌跡設(shè)計(jì)

軌跡優(yōu)化問題是經(jīng)典的最優(yōu)控制問題，偽譜法是求解最優(yōu)控制問題的有效方法，它同時離散控制變量和狀態(tài)變量，將軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題來進(jìn)行求解。相較于傳統(tǒng)的軌跡優(yōu)化方法，其計(jì)算效率和計(jì)算精度較高，能夠處理多種復(fù)雜約束，因此，本文基于Radau偽譜法來開展再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)算法的設(shè)計(jì)，其計(jì)算過程如下。

a）時間區(qū)間轉(zhuǎn)換。

式中τ為變換后的時間。

b）計(jì)算配點(diǎn)。

Radau偽譜法中，配點(diǎn)為K階 LGR（Legendre-Gauss-Radau）點(diǎn)，它們是K階多項(xiàng)式的解，可以描述為

LGR點(diǎn)的取值范圍是(-1,1]，相較于歸一化后的時間區(qū)間缺少-1點(diǎn)，故Radau偽譜法的配點(diǎn)數(shù)在LGR點(diǎn)的基礎(chǔ)上增加起始時間點(diǎn)，數(shù)目為N＝K+1，區(qū)間變?yōu)閇-11]。

c）使用多項(xiàng)式對控制變量和狀態(tài)變量進(jìn)行近似。

使用式（8）計(jì)算得到的配點(diǎn)，采用K階Lagrange插值多項(xiàng)式來近似計(jì)算控制變量u，可以描述如下：

Lagrange插值多項(xiàng)式一般表述為

按照式（8）計(jì)算得到的配點(diǎn)，增加起始時間點(diǎn)后使用Lagrange插值多項(xiàng)式來近似計(jì)算狀態(tài)變量x，可以描述如下：

d）約束轉(zhuǎn)化。

對離散后擬合得到的近似狀態(tài)變量計(jì)算導(dǎo)數(shù)，得到：

將狀態(tài)變量的近似導(dǎo)數(shù)和狀態(tài)變量代入式（1），即可將動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程：

通過式（14），便將動力學(xué)約束轉(zhuǎn)化為了代數(shù)方程約束，除此之外，還要對終端狀態(tài)約束與過程約束進(jìn)行處理。首先根據(jù)飛行器的初始狀態(tài)，利用高斯積分，RLV的終端狀態(tài)可以描述為

同理，RLV飛行過程中面臨的約束可以描述為

e）性能指標(biāo)。

在一般的最優(yōu)控制問題中，需要確定性能指標(biāo)，在進(jìn)行飛行時間預(yù)測時，以J＝maxmin(tf)為性能指標(biāo)，計(jì)算RLV的飛行時間邊界；在進(jìn)行飛行軌跡設(shè)計(jì)時以或?yàn)樾阅苤笜?biāo)，以減少RLV的吸熱量或抑制再入軌跡的振蕩。

經(jīng)過上述處理方法，便可使用通用的非線性規(guī)劃求解算法來進(jìn)行計(jì)算，得到滿足各項(xiàng)約束的飛行軌跡。

2.2 時間協(xié)調(diào)方法

多RLV的飛行時間協(xié)調(diào)貫穿整個飛行過程，在RLV再入大氣層前，可以根據(jù)預(yù)計(jì)的再入點(diǎn)狀態(tài)和終端目標(biāo)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)各架航天器的飛行時間區(qū)間，以此為基礎(chǔ)初步確定多RLV的協(xié)同飛行時間，為軌跡設(shè)計(jì)提供約束條件。在RLV再入大氣層后，受狀態(tài)偏差、參數(shù)擾動、終端目標(biāo)變更等情況的影響，之前的協(xié)同飛行時間可能不再適用，此時飛行時間協(xié)調(diào)算法會再次根據(jù)各架RLV的當(dāng)前狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)重新規(guī)劃協(xié)同飛行時間。

飛行過程中，時間協(xié)調(diào)算法首先獲取各架RLV的初始狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)，利用偽譜法以飛行時間為性能指標(biāo)，J＝ max (tf)或J＝ min (tf)，計(jì)算各架飛行器到達(dá)目標(biāo)的最長飛行時間tfi,max和最短飛行時間tfi,min。RLV再入大氣層后進(jìn)入無動力滑翔狀態(tài)，可調(diào)節(jié)的飛行時間有限，為了保證多架RLV能夠再入?yún)f(xié)同，必須確定多RLV的公共飛行時間區(qū)間。因此計(jì)算每架RLV飛向目標(biāo)所需的最長飛行時間tfi,max和最短飛行時間tfi,min，以此為基礎(chǔ)得到所有RLV飛向目標(biāo)的可行時間范圍，其中：

最后，根據(jù)實(shí)際飛行任務(wù)要求，在公共飛行時間區(qū)間內(nèi)選擇合適的時間作為多RLV的再入?yún)f(xié)同飛行時間。

2.3 基于偽譜法的再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)

再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)的任務(wù)是導(dǎo)引和控制多架RLV按照規(guī)定的飛行時間飛向目標(biāo)，制導(dǎo)問題本質(zhì)上也屬于控制問題，偽譜法是求解最優(yōu)控制問題的常用方法，可以有效處理多種約束，尤其是時間約束的處理變得更加簡單，便于對RLV的飛行時間進(jìn)行控制，加之偽譜法可以同時得到狀態(tài)變量與控制指令的最優(yōu)解，而其控制變量即可作為制導(dǎo)指令，因此本文設(shè)計(jì)了一種基于偽譜法的再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)律。

由于偽譜法進(jìn)行全程彈道優(yōu)化耗時較長，不能在每個制導(dǎo)周期內(nèi)都使用偽譜法生成制導(dǎo)指令，因此本文在滑翔段制導(dǎo)中引入了滾動時域控制的思想，在每個滾動時域周期內(nèi)，機(jī)載計(jì)算機(jī)進(jìn)行一次彈道計(jì)算，即可生成全程的飛行軌跡和攻角、傾側(cè)角序列。RLV在每個滾動時域周期iT內(nèi)，使用上一個滾動時域周期Ti-1內(nèi)生成的攻角、傾側(cè)角序列，使用二次樣條插值的方法，以10 ms為制導(dǎo)周期，實(shí)時生成制導(dǎo)指令。

在一個滾動時域周期內(nèi)，制導(dǎo)算法流程如圖2所示。

圖2 再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)流程Fig.2 Reentry Cooperative Guidance Process

再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)模塊以再入軌跡設(shè)計(jì)模塊或上一個滾動時域周期生成的軌跡作為偽譜法的初值，可以大大提高偽譜法的計(jì)算效率，另外，滾動時域周期T越短，RLV受干擾偏離最優(yōu)軌跡的程度越低，偽譜法尋優(yōu)速度則越快。

本文設(shè)計(jì)的基于偽譜法的時間再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)本質(zhì)上屬于數(shù)值預(yù)測校正制導(dǎo)，相較于傳統(tǒng)的數(shù)值預(yù)測校正制導(dǎo)，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)方法主要有以下優(yōu)點(diǎn)：

a）傳統(tǒng)的數(shù)值預(yù)測校正制導(dǎo)為了提高制導(dǎo)指令的迭代校正效率，往往要對攻角和傾側(cè)角進(jìn)行參數(shù)化以減小搜索空間維度，這樣大大降低了RLV的機(jī)動能力和時間調(diào)節(jié)能力，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律只對攻角和傾側(cè)角的變化范圍、變化速率進(jìn)行了約束，在不違反過程約束的前提下可以最大化地釋放RLV的機(jī)動性能。

b）傳統(tǒng)的數(shù)值預(yù)測校正制導(dǎo)方法很難對飛行時間進(jìn)行控制，因此實(shí)現(xiàn)協(xié)同飛行較為困難，基于偽譜法的制導(dǎo)律可以很方便地調(diào)節(jié)飛行時間，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)協(xié)同飛行。

3 仿真研究

3.1 基于偽譜法的再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)

本文以國外某型升力式可重復(fù)使用航天器為仿真對象，針對設(shè)計(jì)的再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)方案和時間可控再入制導(dǎo)律，首先進(jìn)行蒙特卡洛仿真，驗(yàn)證再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)律在初始狀態(tài)偏差和參數(shù)擾動狀態(tài)下的魯棒性，最后進(jìn)行多架RLV再入?yún)f(xié)同仿真，驗(yàn)證整個再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)方案的有效性。

針對多架航天器再入?yún)f(xié)同任務(wù)需求，本次仿真的3架航天器初始狀態(tài)與終端狀態(tài)見表1，拉偏參數(shù)見表2，陣風(fēng)干擾強(qiáng)度見表3。

表1 RLV再入?yún)f(xié)同初始與終端狀態(tài)Tab.1 RLV Reentry Cooperative Initial Stateand Terminal State

表2 拉偏參數(shù)Tab.2 Parameter Devistion

表3 陣風(fēng)干擾強(qiáng)度Tab.3 Gust Interference Intensity

3.2 蒙特卡洛仿真

本節(jié)以RLV1為仿真對象，對本文提出的再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)律進(jìn)行仿真，在可行時間范圍內(nèi)（2900～3400 s）隨機(jī)選擇一個期望飛行時間進(jìn)行蒙特卡洛仿真，以驗(yàn)證其時間控制能力與魯棒性，針對滾動時域周期10 s、50 s、100 s 3種情況，制導(dǎo)周期取10 ms，分別進(jìn)行100次仿真，最終在指定的飛行時間下，RLV到達(dá)目標(biāo)區(qū)域，終端位置誤差如圖3～5所示。

圖3 T=100 s時落點(diǎn)誤差Fig.3 Falling Point Error at T=100 s

圖4 T=50 s時落點(diǎn)誤差Fig.4 Falling Point Error at T=50 s

圖5 T=10 s時落點(diǎn)誤差Fig.5 Falling Point Error at T=10 s

通過上述仿真，可知在存在初始狀態(tài)偏差與參數(shù)擾動的情況下，隨著滾動時域周期的減小，落點(diǎn)位置誤差逐漸減小，當(dāng)滾動時域周期為10 s時，落點(diǎn)精度滿足再入飛行任務(wù)要求。以時間可控為目標(biāo)的再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)律可以有效地控制到目標(biāo)點(diǎn)的飛行時間，滿足過程約束與控制約束，并具備較高的制導(dǎo)精度，魯棒性較強(qiáng)，為多RLV再入?yún)f(xié)同飛行創(chuàng)造了條件。

3.3 再入?yún)f(xié)同仿真

針對表1中的再入?yún)f(xié)同任務(wù)，對3架RLV進(jìn)行再入?yún)f(xié)同飛行任務(wù)的仿真，驗(yàn)證整個再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)方案的有效性。3架RLV在同一時刻分別從3個初始再入點(diǎn)再入大氣層，初始狀態(tài)偏差、參數(shù)擾動以陣風(fēng)強(qiáng)度見表2、表3，取期望再入?yún)f(xié)同飛行時間為3300 s，滾動時域周期為10 s，制導(dǎo)周期為10 ms，生成再入?yún)f(xié)同飛行軌跡如圖6～8所示。

圖6 多RLV再入?yún)f(xié)同飛行高度變化Fig.6 Altitude Variation of Multi-RLV Reentry Cooperative Flight

圖7 多RLV再入?yún)f(xié)同飛行經(jīng)緯度變化Fig.7 Longitude and Latitude Changes of Multi-RLV Reentry Cooperative Flight

圖8 多RLV再入?yún)f(xié)同飛行速度變化Fig.8 Variation of Reentry Cooperative Flight Velocity for Multi-RLV

仿真結(jié)果表明，在整個飛行過程中，在存在初始狀態(tài)偏差和參數(shù)擾動的情況下，本文設(shè)計(jì)的多RLV時間協(xié)同制導(dǎo)方案可以有效地對多架RLV的飛行時間進(jìn)行計(jì)算并通過時間協(xié)調(diào)模塊生成統(tǒng)一的再入飛行時間，而再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)律可以有效地將再入飛行時間作為強(qiáng)約束控制飛行器按照一定的軌跡飛向目標(biāo)，整個再入軌跡較為平滑，不存在違反過程約束與控制約束的情況，終端精度滿足制導(dǎo)要求，滿足多RLV再入?yún)f(xié)同任務(wù)需求。

4 結(jié) 論

本文針對RLV再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)問題，設(shè)計(jì)了再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)方案和再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)律，整個再入制導(dǎo)方案分為3部分，分別是再入軌跡設(shè)計(jì)、飛行時間協(xié)調(diào)和再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)。研究分析和仿真結(jié)果表明：

a）飛行時間協(xié)調(diào)模塊以飛行時間可知性為目標(biāo)，使用Radau偽譜法可以快速準(zhǔn)確地估計(jì)各架RLV到目標(biāo)點(diǎn)的飛行時間范圍，在此基礎(chǔ)上，通過統(tǒng)一協(xié)調(diào)，得到整個編隊(duì)的協(xié)同飛行時間，為后續(xù)的飛行時間調(diào)節(jié)與控制打下基礎(chǔ)。

b）再入制導(dǎo)算法以飛行時間可控性為目標(biāo)，將再入飛行時間作為強(qiáng)約束，在整個再入飛行過程中，基于滾動時域控制思想，在每個滾動時域周期內(nèi)，使用Radau偽譜法不斷更新飛行軌跡，以10 ms為制導(dǎo)周期生成制導(dǎo)指令，在滿足落點(diǎn)精度的前提下，實(shí)現(xiàn)了對飛行時間的控制。

c）蒙特卡洛仿真結(jié)果表明，基于偽譜法的再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)律魯棒性較強(qiáng)，能有效克服狀態(tài)偏差與參數(shù)擾動的影響，在控制飛行時間的前提下實(shí)現(xiàn)較高的制導(dǎo)精度，可以應(yīng)用在多架RLV的再入?yún)f(xié)同飛行中。

d）再入?yún)f(xié)同飛行仿真的結(jié)果表明，整體再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)方案可以有效地將多架RLV在規(guī)定時刻導(dǎo)向目標(biāo)，生成的再入軌跡較為平滑，滿足多RLV再入?yún)f(xié)同任務(wù)需求。