孫凱
數(shù)學(xué)在中考中的重要性不言而喻。數(shù)學(xué)老師在中考前總是反復(fù)強(qiáng)調(diào)要規(guī)范解答,避免無謂失分。那么,什么叫規(guī)范解答呢?規(guī)范解答是指在解決“解答類”問題時(shí),根據(jù)試題提供的信息(文字、符號(hào)、圖形等)以及要解決的問題,依據(jù)數(shù)學(xué)本身的規(guī)范要求,把求解的過程及結(jié)論清晰、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔、完整地書寫在規(guī)定的答題區(qū)域內(nèi)。作為考生,我們?cè)诮獯饡r(shí)應(yīng)力求詳略得當(dāng),言必有據(jù),邏輯清晰,結(jié)論明確。下面,我們以兩道圓的中考題為例,談?wù)勅绾我?guī)范解答。
例1 (2020·江蘇鹽城)(本題滿分10分)如圖1,⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,∠DCA=∠B。
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若DE⊥AB,垂足為E,DE交AC與點(diǎn)F,求證:△DCF是等腰三角形。
【規(guī)范解答】
證明:(1)連接OC,如圖2。
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠A。(1分)
(∠OCA與∠A相等是需要證明的,在證明后才可以使用于后續(xù)的證明中。)
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠BCA=90°,
∴∠A+∠B=90°。(2分)
又∵∠DCA=∠B,
∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°,
∴OC⊥CD。(4分)
又∵點(diǎn)C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切線。(5分)
(不規(guī)范的寫法往往會(huì)忽略“點(diǎn)C在⊙O上”這一條件,導(dǎo)致證明的條件不完整。)
(2)∵∠OCA+∠DCA=90°,
∠OCA=∠A,
∴∠A+∠DCA=90°。(6分)
(已經(jīng)證明的結(jié)論,作為條件再次使用時(shí)需要羅列出來。)
∵DE⊥AB,
∴∠A+∠EFA=90°,
∴∠DCA=∠EFA。(8分)
又∵∠EFA=∠DFC,
(“對(duì)頂角相等”作為條件可以直接使用于證明的過程中。)
∴∠DCA=∠DFC,
∴DC=DF,(9分)
∴△DCF是等腰三角形。(10分)
(最后不要忘記說明求證的結(jié)論。)
例2 (2020·江蘇蘇州)(本題滿分10分)如圖3,已知∠MON=90°,OT是∠MON的平分線,A是射線OM上一點(diǎn),OA=8cm。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以1cm/s的速度沿AO水平向左作勻速運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),也以1cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運(yùn)動(dòng)。連接PQ,交OT于點(diǎn)B。經(jīng)過O、P、Q三點(diǎn)作圓,交OT于點(diǎn)C,連接PC、QC。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),其中0 (1)求OP+OQ的值。 (2)是否存在實(shí)數(shù)t,使得線段OB的長(zhǎng)度最大?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由。 (3)求四邊形OPCQ的面積。 【規(guī)范解答】 解:(1)由題意得OP=8-t,OQ=t, ∴OP+OQ=8-t+t=8(cm)。(2分) (2)當(dāng)t=4時(shí),線段OB的長(zhǎng)度最大。(3分) 如圖4,過點(diǎn)B作BD⊥OP,垂足為D,則BD∥OQ。 ∵OT平分∠MON, ∴∠BOD=∠OBD=45°, ∴BD=OD,OB=[2]BD。(4分) 設(shè)線段BD的長(zhǎng)為x,則BD=OD=x,OB=[2]BD=[2]x,PD=8-t-x。 ∵BD∥OQ, ∴[PDOP]=[BDOQ], ∴[8-t-x8-t]=[xt], ∴x=[8t-t28],(5分) ∴OB=[2]·[8t-t28] =[-28](t-4)2+[22], ∴當(dāng)t=4時(shí),線段OB的長(zhǎng)度最大,為[22]cm。(6分) (3)∵∠POQ=90°, ∴PQ是圓的直徑, ∴∠PCQ=90°。 ∵∠PQC=∠POC=45°, ∴△PCQ是等腰直角三角形, ∴S△PCQ=[12]PC·QC =[12]×[22]PQ·[22]PQ =[14]PQ2。(8分) 在Rt△POQ中, PQ2=OP2+OQ2=(8-t)2+t2, ∴四邊形OPCQ的面積 S=S△POQ+S△PCQ =[12]OP·OQ+[14]PQ2 =[12]t(8-t)+[14][(8-t)2+t2] =4t[-12]t2[+12]t2+16-4t =16, ∴四邊形OPCQ的面積為16cm2。(10分) 圓的解答題考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面,會(huì)將三角形、四邊形、函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合在一起進(jìn)行綜合考查,是中考的熱點(diǎn)之一。我們?cè)诮獯疬@一類試題時(shí),首先要弄清題意,充分分析和提取信息,用好試題中的直接條件,找到已知條件與未知之間的聯(lián)系,明確解題步驟,然后分步實(shí)施,做到條理清晰、結(jié)論準(zhǔn)確。我們還要注意書寫的規(guī)范性、證明的邏輯性、過程的完整性,特別注重求解問題過程中關(guān)鍵條件的說明。所謂的“關(guān)鍵條件”就是“得分點(diǎn)”,抓住了解答過程中的關(guān)鍵點(diǎn),才能避免無謂的失分,獲得滿意的答題效果。 (作者單位:江蘇省蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校)