遲興，戰(zhàn)強(qiáng)

(北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京，100191)

球形機(jī)器人將驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)、控制電路和感知系統(tǒng)等重要部件封閉在球形外殼的內(nèi)部，對(duì)其形成密閉保護(hù)。該結(jié)構(gòu)特點(diǎn)使得球形機(jī)器人容易適應(yīng)復(fù)雜嚴(yán)苛的外部環(huán)境，在環(huán)境探測(cè)、安保防爆、軍事偵察等領(lǐng)域具有廣闊應(yīng)用前景[1]。傳統(tǒng)的球形機(jī)器人應(yīng)用局限于陸地環(huán)境，通過(guò)配備額外的驅(qū)動(dòng)能力可以拓展球形機(jī)器人的應(yīng)用環(huán)境到水域，使其具有水陸兩棲特性，增強(qiáng)其環(huán)境適應(yīng)性。為此，需要解決傳統(tǒng)球形機(jī)器人在水域中運(yùn)動(dòng)時(shí)驅(qū)動(dòng)能力不足這一關(guān)鍵問(wèn)題。

一些研究者通過(guò)給傳統(tǒng)球形機(jī)器人配備適合于水中運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)裝置，研制了不同類(lèi)型的水陸兩棲球形機(jī)器人。GUO 等[2-4]介紹了一種由復(fù)合驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)提供動(dòng)力的水陸兩棲球形機(jī)器人，該復(fù)合驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)由4個(gè)相同的驅(qū)動(dòng)單元組成，每個(gè)驅(qū)動(dòng)單元使用1 個(gè)噴水推進(jìn)器和2 個(gè)垂直布置的伺服電機(jī)，有四足步行模式和噴水推進(jìn)模式2 種運(yùn)動(dòng)模式，分別用于機(jī)器人的陸地運(yùn)動(dòng)和水中運(yùn)動(dòng)。KAZNOV 等[5]研發(fā)了水陸兩棲球形機(jī)器人GroundBot，該機(jī)器人利用重心偏移原理實(shí)現(xiàn)陸地運(yùn)動(dòng)和水面運(yùn)動(dòng)，球形外殼上設(shè)計(jì)了點(diǎn)狀凸起帶，以提高機(jī)器人的水面移動(dòng)速度。李艷生等[6-7]設(shè)計(jì)了一種利用螺旋槳推進(jìn)的水陸兩棲球形機(jī)器人，機(jī)器人中心位置處安裝了1個(gè)內(nèi)部包含推進(jìn)螺旋槳的柱形涵道，該機(jī)器人在陸地上利用重心偏移實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，在水中時(shí)則利用螺旋槳推進(jìn)的方式運(yùn)動(dòng)。

通過(guò)在球殼兩極地帶黏附輔助鰭，提高水面運(yùn)動(dòng)推進(jìn)力，可實(shí)現(xiàn)利用1套驅(qū)動(dòng)裝置完成球形機(jī)器人兩棲運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)。已有一些研究參考機(jī)翼理論對(duì)輔助鰭進(jìn)行了力學(xué)特性分析[8]。HEALEY 等[9]給出了AUV 葉片整周旋轉(zhuǎn)中的升力和阻力計(jì)算公式，GEORGIADES 等[10]通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究了葉片受力和往復(fù)運(yùn)動(dòng)振幅和周期的關(guān)系，BEHBAHANI等[11-12]研究了仿生魚(yú)胸鰭劃水動(dòng)作時(shí)的水動(dòng)力特性，READ 等[13-14]給出了葉片俯仰和升沉運(yùn)動(dòng)的推進(jìn)力，劉鵬等[15-16]分析了運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)水翼推進(jìn)性能的影響。YANG等[17-18]利用CFD方法給出了水輪機(jī)葉片之間的速度分布和壓力分布，張萬(wàn)超等[19-20]分析了葉輪受浪流擾動(dòng)產(chǎn)生橫搖運(yùn)動(dòng)時(shí)的水動(dòng)力性能。在常規(guī)的葉片水動(dòng)力分析中，葉片通常整體浸入液體中，其濕面積保持不變，壓力中心也不變。

本文提出利用輔助鰭改善球形機(jī)器人水面運(yùn)動(dòng)性能的設(shè)計(jì)方案，通過(guò)在球殼上黏附輔助鰭，設(shè)計(jì)一種緊湊高效的水陸兩棲球形機(jī)器人。分析特殊平面形狀的單片輔助鰭在運(yùn)動(dòng)周期中入水面積和形心的變化規(guī)律，基于機(jī)翼理論推導(dǎo)液體作用在輔助鰭上的升力和阻力計(jì)算公式，給出水平分力和豎直分力表達(dá)式。利用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)水平分力和豎直分力進(jìn)行擬合，針對(duì)球殼上不同數(shù)量輔助鰭配置方式，給出傅里葉級(jí)數(shù)表示的水平分力合力和豎直分力合力計(jì)算公式。

1 水陸兩棲球形機(jī)器人系統(tǒng)簡(jiǎn)介

附加輔助鰭的水陸兩棲球形機(jī)器人由內(nèi)部驅(qū)動(dòng)單元和球殼2部分組成，內(nèi)部驅(qū)動(dòng)單元包括機(jī)器人的動(dòng)力系統(tǒng)和控制電路，球殼由左、右兩半球殼組成，作為運(yùn)動(dòng)執(zhí)行部件，同時(shí)對(duì)內(nèi)部驅(qū)動(dòng)單元形成密閉保護(hù)，如圖1所示。

圖1 水陸兩棲球形機(jī)器人Fig.1 Amphibious spherical robot

黏附在球殼外表面兩極地帶的輔助鰭數(shù)量可靈活配置，一種典型的配置方式是在左右兩半球殼上各安裝8片輔助鰭，且位于半球殼上的輔助鰭關(guān)于中心軸呈放射性分布，其示意圖如圖2所示。圖中O-XYZ為固定在球殼上的隨體坐標(biāo)系，Y軸與中心軸重合，R為球殼半徑；1～8代表8個(gè)輔助鰭，相鄰輔助鰭之間的相位差為45°。輔助鰭ABC區(qū)域的橫截面形狀近似為鈍角三角形，在球殼表面的安裝位置由ζ1和ζ2確定，ζ1，ζ2和頂角ζt共同決定了輔助鰭的平面形狀。

圖2 輔助鰭安裝示意圖Fig.2 Installation diagram of assistant fins

當(dāng)機(jī)器人執(zhí)行陸地運(yùn)動(dòng)時(shí)，位于底部的輔助鰭高于地面，即使機(jī)器人產(chǎn)生沿X軸方向的滾轉(zhuǎn)擾動(dòng)，輔助鰭也不易與地面發(fā)生碰撞；當(dāng)機(jī)器人執(zhí)行水面運(yùn)動(dòng)時(shí)，位于底部的輔助鰭部分浸沒(méi)到液體中，液體會(huì)在輔助鰭上產(chǎn)生額外的推進(jìn)力。

2 單片輔助鰭力學(xué)特性

2.1 單片輔助鰭升力和阻力

輔助鰭受力分析如圖3所示，在輔助鰭上建立慣性坐標(biāo)系P-XYZ，其中原點(diǎn)P為輔助鰭的壓力中心，坐標(biāo)軸Z垂直紙面向外，傾角φ為輔助鰭平面從X軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度。液體作用在輔助鰭上的力可以分解為升力L和阻力D，升力方向垂直于來(lái)流方向，阻力方向與來(lái)流方向一致。

圖3 輔助鰭受力分析Fig.3 Force analysis of a fin

考慮機(jī)器人在靜止液體表面的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球殼繞中心軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，機(jī)器人整體沿X軸負(fù)向以速度Vs移動(dòng)。輔助鰭隨球殼一起平移和旋轉(zhuǎn)，其相對(duì)液體的速度Vf是牽連速度Vs和相對(duì)速度Vn的矢量和，即

相對(duì)速度Vn方向垂直于輔助鰭平面，幅值為|Vn|=ωslPY。ωs為球殼相對(duì)中心軸的旋轉(zhuǎn)角速度，lPY為壓力中心P到中心軸間的距離。

運(yùn)用運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換原理，即認(rèn)為機(jī)器人是固定的，觀察液體相對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，可以認(rèn)為液體以一定速度沖擊到輔助鰭上，從而對(duì)輔助鰭施加力的作用。相對(duì)輔助鰭的來(lái)流速度為Vw，Vw與Vf幅值相等而方向相反，即

記速度矢量Vs和-Vn之間的夾角為β，β∈[0,π/2]，則β與傾角φ之間的關(guān)系如下：

來(lái)流速度Vw的幅值為

Vw和Vn之間的夾角γ的取值范圍為[0,π/2]，γ可通過(guò)下式計(jì)算：

攻角αe為來(lái)流速度Vw與輔助鰭平面之間的夾角，攻角αe和γ之間的關(guān)系如下：

當(dāng)液體以速度Vw沖擊到輔助鰭上時(shí)，液體對(duì)輔助鰭施加的合力作用于壓力中心，合力可以分解為升力L和阻力D[10]：

式中：ρwater為水的密度，S為浸入水中的輔助鰭平面的面積；CLmax為最大升力系數(shù)，CDmax為最大阻力系數(shù)。由式(7)和(8)可知，升力和阻力與來(lái)流速度幅值|Vw|和面積S正相關(guān)。在輔助鰭隨球殼運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，|Vw|和S均為輔助鰭傾角φ的函數(shù)，這使得升力和阻力的計(jì)算變得復(fù)雜。

將作用于輔助鰭上的升力和阻力在慣性坐標(biāo)系P-XYZ中分解為

式中：FX和FY分別為液體對(duì)單片輔助鰭的作用力在水平方向和豎直方向的分量。水平分力FX的方向與機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向相同，表現(xiàn)為機(jī)器人的推進(jìn)力。豎直分力FY對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)影響較小，僅進(jìn)行簡(jiǎn)單討論。

2.2 工作周期中的關(guān)鍵角度

輔助鰭ABC工作周期中臨界狀態(tài)如圖4所示。

圖4 輔助鰭工作周期中的臨界狀態(tài)Fig.4 Critical states in a work cycle of fin

輔助鰭前緣A和中心軸之間的距離為lAY，lAY=Rsinζ2；浸入液面下的球殼高度為h。當(dāng)前緣A剛好和液面接觸，即將開(kāi)始浸入液體的臨界狀態(tài)，傾角φe為

在輔助鰭逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一定角度，前緣A即將離開(kāi)液面的臨界狀態(tài)，傾角φd為

當(dāng)輔助鰭頂點(diǎn)C剛好位于液面上時(shí)，傾角φc為

在機(jī)器人水面運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)某輔助鰭傾角φe≤φ≤φd時(shí)，該輔助鰭部分浸沒(méi)到液體中，液體能夠?qū)ζ涫┘恿Φ淖饔?；否則，該輔助鰭位于液面上方，液體對(duì)其無(wú)力的作用。

2.3 輔助鰭入水面積和形心

輔助鰭的升力和阻力與其浸入液體中部分的面積和形心有關(guān)。以前緣A點(diǎn)為原點(diǎn)，建立局部坐標(biāo)系A(chǔ)-uv，其中uv平面與輔助鰭平面平行，u軸與中心軸平行，如圖5所示。

圖5 輔助鰭入水面積示意圖Fig.5 Wetted surface area of a fin

原點(diǎn)A在隨體坐標(biāo)系O-XYZ中的坐標(biāo)為(Rsinζ2cosφ,Rcosζ2,Rsinζ2sinφ)。在局部坐標(biāo)系A(chǔ)-uv中，直線AC和BC的方程分別為

圓弧的方程為

當(dāng)φe≤φ≤φd時(shí)，浸入液體中的輔助鰭長(zhǎng)度lim為

由于輔助鰭平面形狀近似為三角形，針對(duì)頂點(diǎn)C高于液面或低于液面的情況，計(jì)算浸入液體中的面積和形心。當(dāng)頂點(diǎn)C高于液面時(shí)，即φe≤φ≤φc，浸入液體中的面積Sim1為

形心在局部坐標(biāo)系A(chǔ)-uv中的坐標(biāo)(uP1,vP1)可通過(guò)下式計(jì)算：

式中：MV1和MU1為浸入液體中輔助鰭平面形狀的一階矩：

當(dāng)頂點(diǎn)C低于液面時(shí)，即φc＜φ≤π/2，記LC=R(cosζ1-cosζ2)tan(ζt-π/2)，浸入液體中的輔助鰭面積為

形心的坐標(biāo)(uP2,vP2)為：

式中：MV2和MU2為浸入液體中輔助鰭平面形狀的一階矩：

忽略不同深度壓強(qiáng)不同引起的壓力分布微小差異，假設(shè)液體作用在輔助鰭上的力在浸入液體中的部分均勻分布，則輔助鰭的壓力中心P與浸入液體中的部分的形心重合。基于形心的計(jì)算公式，可以得到壓力中心P到中心軸之間的距離lPY的表達(dá)式：

2.4 數(shù)值分析結(jié)果與討論

水陸兩棲球形機(jī)器人的參數(shù)為R=175 mm，ζ1=13.7°，ζ2=55.2°，ζt=115°，h=116.4 mm，代入式(11)～(13)計(jì)算可得關(guān)鍵角度φe=24.1°，φc=31.9°；φd=155.9°。取CLmax=0.92；CDmax=1.12，進(jìn)行數(shù)值仿真分析。

浸入水中的輔助鰭面積S和lPY隨傾角φ的變化曲線如圖6所示。由圖6可見(jiàn)：面積變化曲線和lPY變化曲線關(guān)于φ=π/2 對(duì)稱(chēng)。在輔助鰭剛浸入液面和即將離開(kāi)液體的階段，S和lPY隨傾角φ變化較為顯著；而在輔助鰭接近與液面垂直的階段，面積和lPY隨傾角φ變化比較平緩。

圖6 面積S和lPY變化曲線Fig.6 Changing curves of area S and length lPY

球形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后，即球殼以額定轉(zhuǎn)速ωs=2π rad/s 旋轉(zhuǎn)，機(jī)器人以額定平移速度|Vs|=0.4 m/s做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，來(lái)流速度幅值|Vw|和攻角αe隨傾角φ變化的曲線如圖7所示。由圖7可知：傾角φ從φe增大到π/2 的過(guò)程中，來(lái)流速度幅值|Vw|快速減小，攻角先減小再逐漸增大；|Vw|的曲線關(guān)于φ=π/2 對(duì)稱(chēng)，攻角的曲線關(guān)于點(diǎn)(π/2,π/2)中心對(duì)稱(chēng)，該點(diǎn)同時(shí)是攻角曲線的拐點(diǎn)；|Vw|持續(xù)減小的主要影響因素為Vs和-Vn之間的夾角β減小。

圖7 來(lái)流速度幅值和攻角變化曲線Fig.7 Changing curves of amplitude of inlet water and angle of attack

運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后，作用在單片輔助鰭上的升力和阻力變化規(guī)律如圖8所示。從圖8可見(jiàn)：在傾角φ從φe增大到π/2的過(guò)程中，由于輔助鰭入水面積增大，阻力先從0增大到最大值，然后，由于來(lái)流速度幅值|Vw|下降成為主導(dǎo)，阻力緩慢下降；在φ=π/2 即輔助鰭平面與液面垂直時(shí)，阻力取得局部極小值，局部極小值約為阻力最大值的一半，此時(shí)，|Vw|也取到極小值；阻力變化曲線關(guān)于φ=π/2 對(duì)稱(chēng)。當(dāng)φe≤φ≤π/2 時(shí)，升力的變化趨勢(shì)與阻力一致，但是在φ＞π/2 后，升力的符號(hào)發(fā)生了變化。原因在于，以從X軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為升力和阻力的相位，當(dāng)φ＜π/2 時(shí)，升力的相位超前阻力的相位，當(dāng)φ＞π/2 后，升力的相位滯后阻力的相位，φ=π/2 時(shí)升力為0，是相位變化的臨界點(diǎn)。升力符號(hào)的改變反映了升力和阻力間相位的變化。

圖8 升力和阻力變化曲線Fig.8 Changing curves of lift force and drag force

水平分力和豎直分力隨傾角φ變化的規(guī)律如圖9所示。從圖9可見(jiàn)：水平分力和阻力有相似的變化規(guī)律，但兩者的符號(hào)相反，豎直分力和升力有相似的變化規(guī)律。根據(jù)水平分力計(jì)算公式，運(yùn)動(dòng)周期中，當(dāng)傾角φ接近φe或φd時(shí)，在水平分力的成分中，升力的水平分量占比較大，阻力的水平分量增大了該階段水平分力的幅值。在傾角φ增大到π/2 的過(guò)程中，升力的水平分量占比減小，阻力的水平分量占比逐漸增大；當(dāng)傾角φ接近π/2 時(shí)，阻力的水平分量在水平分力中起主導(dǎo)作用，該階段升力趨向于0，升力對(duì)水平分力的貢獻(xiàn)很小。在運(yùn)動(dòng)周期的中間階段，水平分力整體變化較為平緩，輔助鰭能給機(jī)器人提供持續(xù)穩(wěn)定的推進(jìn)力。參考升力和阻力計(jì)算公式可知，增大輔助鰭入水面積和球殼旋轉(zhuǎn)速度可提高中間階段水平分力的幅值。

圖9 水平分力和豎直分力變化曲線Fig.9 Changing curves of horizontal force and vertical force

3 液體作用在輔助鰭上的合力

3.1 水平分力和豎直分力計(jì)算公式

水平分力和豎直分力關(guān)于傾角φ的函數(shù)表達(dá)式比較復(fù)雜，為利于進(jìn)一步計(jì)算和分析，有必要對(duì)其形式進(jìn)行簡(jiǎn)化。由于水平分力和豎直分力呈現(xiàn)明顯周期性變化規(guī)律，可用傅里葉方法進(jìn)行擬合，得到水平分力和豎直分力的傅里葉級(jí)數(shù)近似表達(dá)。m階傅里葉級(jí)數(shù)的方程為

將上述方程中的基寫(xiě)為列向量形式：

相應(yīng)的系數(shù)寫(xiě)為行向量形式

則m階傅里葉級(jí)數(shù)可以表示為系數(shù)向量與基向量的積：

液體作用在輔助鰭上的水平分力可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示的分段函數(shù)來(lái)描述：

定義帶通濾波函數(shù)

則上述水平分力又可以表示為

類(lèi)似地，豎直分力可以表示為

其中：AFX(m)和AFY(m)分別為水平分力和豎直分力對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量，基向量BFX(m,φ)和BFY(m,φ)的區(qū)別在于各自的頻率w不同。

3.2 傅里葉級(jí)數(shù)表示的合力計(jì)算公式

當(dāng)半球殼上配置的輔助鰭數(shù)量為n∈N 時(shí)，任意相鄰的輔助鰭之間的相位差為2π/n。以輔助鰭1作為參考基準(zhǔn)，其傾角為φ時(shí)，輔助鰭k的相位為

當(dāng)φe≤φ≤φd且φe≤φk≤φd，輔助鰭1 和輔助鰭k同時(shí)位于液面下方，液體作用在輔助鰭k上的力計(jì)入合力。輔助鰭k相應(yīng)的帶通濾波函數(shù)為

液體作用于輔助鰭k的水平分力為

當(dāng)FkX(φ)≠0時(shí)，將FkX(φ)的表達(dá)式用三角函數(shù)和差公式展開(kāi)，分離出其中的常值系數(shù)項(xiàng)，表示為系數(shù)向量和基向量的積：

式中：WkX(m,k)為系數(shù)矩陣，

對(duì)作用在半球殼上浸入液面下的所有輔助鰭上的水平分力求和：

則水平分力的合力可以簡(jiǎn)化為

類(lèi)似地，豎直分力的合力可簡(jiǎn)化為

3.3 數(shù)值分析結(jié)果與討論

在給定的機(jī)器人參數(shù)下，利用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)單片輔助鰭水平分力和豎直分力進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖10所示。從圖10可見(jiàn)：在φe≤φ≤φd范圍內(nèi)，當(dāng)傅里葉級(jí)數(shù)的階數(shù)m=6 時(shí)，水平分力擬合相應(yīng)的和方差SSE 為0.000 243 2，相關(guān)系數(shù)R2為0.999 8；豎直分力擬合相應(yīng)的SSE為0.004 267，R2為0.999 5，顯示擬合曲線與原始曲線具有較高的匹配度。

圖10 水平分力和豎直分力擬合曲線Fig.10 Fitting curves of horizontal force and vertical force

將水平分力擬合得到的頻率和系數(shù)向量代入水平分力合力表達(dá)式中，計(jì)算輔助鰭數(shù)量n分別為4，8，12時(shí)的水平分力合力，結(jié)果如圖11所示。

圖11 不同輔助鰭數(shù)量對(duì)應(yīng)的水平分力合力Fig.11 Resultant horizontal force of different numbers of fin

從圖11可以看出：對(duì)不同的輔助鰭數(shù)量配置，水平分力合力均呈現(xiàn)周期性變化規(guī)律。增加配置的輔助鰭數(shù)量可以增大合力的平均幅值，平抑合力的波動(dòng)，從而減小振幅，同時(shí)，合力的振蕩頻率也會(huì)增加。其中，當(dāng)輔助鰭數(shù)量為12 時(shí)，水平分力合力平均幅值約為0.72 N，振幅約為平均幅值的3.5%，是較為合適的配置方式。兩半球殼上的輔助鰭相互對(duì)稱(chēng)配置，故作用在球殼整體的合力等于作用于半球殼的合力的2倍。

4 結(jié)論

1)利用輔助鰭改善球形機(jī)器人水面運(yùn)動(dòng)性能，將傳統(tǒng)球形機(jī)器人的應(yīng)用環(huán)境從陸地拓展到水面，增強(qiáng)了其環(huán)境適應(yīng)性。

2)基于機(jī)翼理論推導(dǎo)了液體作用在輔助鰭上的升力和阻力計(jì)算公式，給出了水平分力和豎直分力表達(dá)式，并利用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)水平分力和豎直分力進(jìn)行擬合，給出了傅里葉級(jí)數(shù)表示的水平分力合力和豎直分力合力計(jì)算公式。

3)輔助鰭在入水和出水臨界狀態(tài)之間的中間階段，液體作用在輔助鰭上的水平分力變化平緩，輔助鰭能給機(jī)器人提供持續(xù)穩(wěn)定的推進(jìn)力；提高球殼的旋轉(zhuǎn)角速度和增大輔助鰭的入水面積都可以增大中間階段作用在輔助鰭上的水平分力，從而提升機(jī)器人的推進(jìn)力；作用在半球殼上輔助鰭上的水平分力合力呈現(xiàn)周期性變化規(guī)律，增加輔助鰭數(shù)量，可以增大合力的平均值，減小振幅。